还剩28页未读，
继续阅读
2023年四川省绵阳市三台县中考数学模拟试卷（三）（含解析）
展开
这是一份2023年四川省绵阳市三台县中考数学模拟试卷（三）（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省绵阳市三台县中考数学模拟试卷（三）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的绝对值是( )
A. −12023 B. −2023 C. 12023 D. 2023
2. 如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为( )
A.
B.
C.
D.
3. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为355113，它与π的误差小于0.0000003.将0.0000003用科学记数法可以表示为( )
A. 0.3×10−6 B. 3×10−6 C. 3×10−7 D. 3×107
4. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，O是矩形的对称中心，点E、F分别在边AD、BC上，连接OE、OF，若AE=BF=2，则OE+OF的值为( )
A. 2 2 B. 5 2 C. 5 D. 2 5
5. 如图，把直角三角形ABO放置在平面直角坐标系中，已知∠OAB=30°，B点的坐标为(0,2)，将△ABO沿着斜边AB翻折后得到△ABC，则点C的坐标是( )
A. (2 3,4) B. (2,2 3) C. ( 3,3) D. ( 3, 3)
6. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为( )
A. 2π
B. 3π
C. 33π
D. 2 33π
7. 若关于x的方程2x2−(k−1)x+k+1=0的两个实数根满足关系式|x1−x2|=1，则k的值为( )
A. 11 B. −1 C. 11或−1 D. 11或−1或1
8. 某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制作如下表格：对于不同的x，下列统计量中不会发生改变的是( )
年龄(岁)
16
15
14
13
12
人数
2
9
8−x
x
1
A. 中位数，众数 B. 平均数，方差 C. 平均数，中位数 D. 众数，方差
9. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图(1)就是一个幻方．图(2)是一个未完成的幻方，则x与y的和是( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
10. 如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，△APC的面积S(cm2)随运动时间t(s)变化的函数图象如图2所示，则AB的长是( )
A. 32cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm
11. 如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(−1,0)，对称轴为直线x=1.则下列结论正确的有( )
①2a+b=0；
②函数y=ax2+bx+c的最大值为−4a；
③若关于x的方程ax2+bx+c=a+1无实数根，则−15
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
12. 已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3.若S1+S2+S3=2S0，则线段OP长的最小值是( )
A. 3 32 B. 5 32 C. 3 3 D. 7 32
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 因式分解：4x3−12x2+9x=______．
14. 如图，E为△ABC的边CA延长线上一点，过点E作DE//BC.若∠BAC=80°，∠CED=55°，则∠B=______．
15. 若二次根式 2−m有意义，且关于x的分式方程m1−x+2=3x−1有正整数解，则符合条件的整数m的和是______．
16. 小丽测量了斜坡上一棵垂直于地面的大树的高度.如图，小丽先在坡角为30°的斜坡AB上的点A处，测得树尖E的仰角为15°，然后沿斜坡走了10米到达坡脚B处，又在水平路面上行走20米到达大树所在的斜坡坡脚C处，大树所在斜坡的坡度i=3：4，且大树的底端与坡脚的距离CD为15米，则大树ED的高度约为______ .(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27， 3≈1.73.结果精确到0.1)
17. 不等式组x−2<3a−2x>−2a+8的解集是x
三、解答题（本大题共7小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题16.0分)
(1)计算：cos245°−(−2)−1−|−12|+3−8+|2− 3|；
(2)先化简，再求值：m2−2m+1m2−1÷(m−1−m−1m+1)，其中m= 3．
20. (本小题12.0分)
6月5日是世界环境日．某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了n名学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图(如图所示)．
学生成绩分布统计表
成绩/分
组中值
频率
75.5≤x<80.5
78
0.05
80.5≤x<85.5
83
a
85.5≤x<90.5
88
0.375
90.5≤x<95.5
93
0.275
95.5≤x<100.5
98
0.05
请根据以上图表信息，解答下列问题：
(1)填空：n=______，a=______；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)求这n名学生成绩的平均分；
(4)从成绩在75.5≤x<80.5和95.5≤x<100.5的学生中任选两名学生．请用列表法或画树状图的方法，求选取的学生成绩在75.5≤x<80.5和95.5≤x<100.5中各一名的概率．
21. (本小题12.0分)
列方程组和不等式(组)解应用题：
某中学准备购进A、B两种教学用具共40件，A种每件价格比B种每件贵6元，同时购进3件A种教学用具和2件B种教学用具恰好用去113元．
(1)求购买5件A和8件B两种教学用具共用了多少元？
(2)学校准备用不少于830元且不多于850元的金额购买A、B两种教学用具，问至少能购买多少件A种教学用具？
22. (本小题12.0分)
定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．
如图1，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF=CE，连结BE、CF.求证：BE=CF；
如图2，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB=2，∠ABC=45°，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG.若∠CDG=90°，求BC的长．
23. (本小题12.0分)
如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图象与反比例函数y=8x(x>0)的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB=CD，点C关于直线AD的对称点为点E．
(1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形.点P在y轴上，当|PE−PB|最大时，求点P的坐标．
24. (本小题12.0分)
如图，点E，F分别为矩形ABCD边AD，CD上的点，以BE为直径作⊙O交BF于点G，且EF与⊙O相切，连结EG．
(1)若AE=EG，求证：△ABE≌△GBE．
(2)若AB=2，tan∠EBF=12．
①求DE的长．
②连结AG，若△ABG是以AG为腰的等腰三角形，求所有满足条件的BC的长．
(3)连结CG，若CG的延长线经过点A，且ED=EG，求CGEF的值．
25. (本小题14.0分)
如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象交x轴于点A(−1,0)，B(5,0)，交y轴于点C．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，点M从点B出发，以每秒 2个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒(0
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：|−2023|=2023，
故选：D．
根据绝对值的定义进行计算即可．
本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．
2.【答案】B
【解析】解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，
故选：B．
根据从上面看得到的图形是俯视图，据此可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
3.【答案】C
【解析】解：0.0000003=3×10−7．
故选：C．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n(1≤|a|<10,n是正整数)，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法−表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
4.【答案】D
【解析】解：如图，连接，AC，BD.过点O作OM⊥AD于点M交BC于点N．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD=OB，
∵OM⊥AD，
∴AM=DM=3，
∴OM=12AB=2，
∵AE=2，
∴EM=AM−AE=1，
∴OE= EM2+OM2= 12+22= 5，
同法可得OF= 5，
∴OE+OF=2 5，
故选：D．
如图，连接，AC，BD.过点O作OM⊥AD于点M交BC于点N.利用勾股定理，求出OE，可得结论．
本题考查中心对称，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠OAB=∠ABC=30°，∠BOA=∠BCA=90°，AB=AB，
∴△BOA≌△BCA．
∴OB=BC=2，∠CBA=∠OBA=60°，
过点C作CD⊥y轴，垂直为D，则∠DCB=30°．
∴DB=12BC=1，DC= 32BC= 3．
∴C( 3,3)．
故选：C．
过点C作CD⊥y轴，垂直为D，首先证明△BOA≌△BCA，从而可求得BC的长，然后再求得∠DCB=30°，接下来，依据在Rt△BCD中，求得BD、DC的长，从而可得到点C的坐标．
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、含30°直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴AB=BC=2，∠ABC=∠BAF=(6−2)×180°6=120°，
∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴∠BAC=12(180°−∠ABC)=12×(180°−120°)=30°，
过B作BH⊥AC于H，
∴AH=CH，BH=12AB=12×2=1，
在Rt△ABH中，
AH= AB2−BH2= 22−12= 3，
∴AC=2 3，
同理可证，∠EAF=30°，
∴∠CAE=∠BAF−∠BAC−∠EAF=120°−30°−30°=60°，
∴S扇形CAE=60π⋅(2 3)2360=2π，
∴图中阴影部分的面积为2π，
故选：A．
由正六边形ABCDEF的边长为2，可得AB=BC=2，∠ABC=∠BAF=120°，进而求出∠BAC=30°，∠CAE=60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH=CH，BH=1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH= 3，得到AC=2 3，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积．
本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：由题意得：x1+x2=k−12，x1x2=k+12，
∵|x1−x2|=1，
∴(x1−x2)2=1，
(x1+x2)2−4x1x2=1，
(k−12)2−4×k+12=1，
解得：k=−1或k=11．
故选：C．
由根与系数的关系可得x1+x2=k−12，x1x2=k+12，再结合|x1−x2|=1，两边进行平方整理得到(x1+x2)2−4x1x2=1，从而可求解．
本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是明确根与系数的关系并灵活运用．
8.【答案】A
【解析】解：由表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为8−x+x=8，
故该组数据的众数为15岁，
总数为20，按大小排列后，第10个和第11个数为15，15，
则中位数为：15+152=15岁，
即对于不同的x，统计量不会发生改变的是众数和中位数．
故选：A．
根据频数表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为8，即可知出现次数最多的数据及第10、11个数据的平均数，可得答案．
本题考查了频数分布表及统计量的选择，掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，
∴最左下角的数为：6+20−22=4，
∴最中间的数为：x+6−4=x+2，或x+6+20−22−y=x−y+4，
最右下角的数为：6+20−(x+2)=24−x，或x+6−y=x−y+6，
∴x+2=x−y+424−x=x−y+6，
解得：x=10y=2，
∴x+y=12，
故选：D．
由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由图2可知，AB=a，BC=4，当点P到达点B时，△APC的面积为6，
∴12⋅AB⋅BC=6，即12⋅a×4=6，
解得a=3．
即AB的长为3cm．
故选：B．
由图2可知，AB=a，BC=4，当点P到达点B时，△APC的面积为6，可得出等式12⋅a×4=6，求出a的值，即线段AB的长．
本题主要考查动点问题中三角形的面积，函数图象与点的运动相结合，注意转折点，即面积表示发生改变的点的含义是解题关键．
11.【答案】C
【解析】解：∵抛物线的对称轴是直线x=1，
∴−b2a=1，
∴2a+b=0，故①正确．
∵抛物线交x轴于点(−1,0)，(3,0)，
∴可以假设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，
当x=1时，y的值最大，最大值为−4a，故②正确．
∵ax2+bx+c=a+1无实数根，
∴a(x+1)(x−3)=a+1无实数根，
∴ax2−2ax−4a−1=0，Δ<0，
∴4a2−4a(−4a−1)<0，
∴a(5a+1)<0，
∴−15
∴a<0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c>0，
∵−b2a>0，
∴b>0，
当x=−1时，a−b+c=0，
∴b−c=a，
∴a−b<0，b−c<0，c−a>0，
∴(a−b)(b−c)(c−a)>0，故④错误．
故选：C．
①正确．利用抛物线的对称轴公式求解；
②正确．把问题转化为一元二次方程，利用判别式<0，解不等式即可；
③正确．设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，当x=1时，y的值最大，最大值为−4a；
④错误．根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置，当x=−1的情况一一判断即可求解．
本题考查二次函数的性质，根的判别式，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型，
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查等边三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是证明△PAB的面积是定值．
不妨假设点P在AB的左侧，证明△PAB的面积是定值，过点P作AB的平行线PM，连接CO并延长CO交AB于点R，交PM于点T.因为△PAB的面积是定值，推出点P的运动轨迹是直线PM，求出OT的值，可得结论．
【解答】
解：如图，不妨假设点P在AB的左侧，
∵S△PAB+S△ABC=S△PBC+S△PAC，
∴S1+S0=S2+S3，
∵S1+S2+S3=2S0，
∴S1+S1+S0=2S0，
∴S1=12S0，
∵△ABC是等边三角形，边长为6，
∴S0= 34×62=9 3，
∴S1=9 32，
过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．
∵△PAB的面积是定值，
∴点P的运动轨迹是直线PM，
∵O是△ABC的中心，
∴CT⊥AB，CT⊥PM，
∴12⋅AB⋅RT=9 32，CR=3 3，OR= 3，
∴RT=3 32，
∴OT=OR+TR=5 32，
∵OP≥OT，
∴OP的最小值为5 32，
当点P在 ②区域时，同法可得OP的最小值为7 32，
当点P在 ① ③ ⑤区域时，OP的最小值为5 32，当点P在 ② ④ ⑥区域时，最小值为7 32，
∵5 32<7 32，
∴OP的最小值为5 32．
13.【答案】x(2x−3)2
【解析】解：原式=x(4x2−12x+9)
=x(2x−3)2．
故答案为：x(2x−3)2．
先提取公因式，再套用完全平方公式．
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和完全平方公式是解决本题的关键．
14.【答案】45°
【解析】解：∵ED//BC，
∴∠C=∠CED=55°，
又∵∠BAC=80°，
在△ABC中，∠B=180°−55°−80°=45°．
故答案为：45°．
利用平行线的性质，即可得到∠C=∠CED=55°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用两直线平行，内错角相等．
15.【答案】0
【解析】解：m1−x+2=3x−1，
去分母得，−m+2(x−1)=3，
解得x=m+52，
∵关于x的分式方程m1−x+2=3x−1有正整数解，
∴m+52>0，
∴m>−5，
又∵x=1是增根，当x=1时，m+52=1，即m=−3，
∴m≠−3，
∵ 2−m有意义，
∴2−m≥0，
∴m≤2，
因此−5
∴m可以为−1，1，其和为−1+1=0．
故答案为：0．
根据二次根式 2−m有有意义，可得m≤2，解出关于x的分式方程m1−x+2=3x−1的解为x=m+52，解为正整数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．
本题考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，理解正整数解，整数m的意义是正确解答的关键．
16.【答案】7.0米
【解析】解：延长BC与ED相交于点F，过点A作AG⊥EF，垂足为G，过点A作AH⊥CB，交CB的延长线于点H，
由题意得：AH=FG，AG=HF，BC=20米，EF⊥BF，
在Rt△ABH中，∠ABH=30°，AB=10米，
∴AH=12AB=5(米)，BH= 3AH=5 3(米)，
∴GF=AH=5米，
∵斜坡CD的坡度i=3：4，
∴DFCF=34，
∴设DF=3x米，则CF=4x米，
在Rt△CDF中，CD= CF2+DF2= (4x)2+(3x)2=5x(米)，
∵CD=15米，
∴5x=15，
解得：x=3，
∴CF=12米，DF=9米，
∴AG=HF=BH+BC+CF=(32+5 3)米，
在Rt△AGE中，∠EAG=15°，
∴EG=AG⋅tan15°≈(32+5 3)×0.27≈10.98(米)，
∴DE=EG+FG−DF=10.98+5−9≈7.0(米)，
∴大树ED的高度约为7.0米，
故答案为：7.0米．
延长BC与ED相交于点F，过点A作AG⊥EF，垂足为G，过点A作AH⊥CB，交CB的延长线于点H，根据题意可得：AH=FG，AG=HF，BC=20米，EF⊥BF，在Rt△ABH中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AH和BH的长，从而求出GF的长，再根据已知斜坡CD的坡度i=3：4，可设DF=3x米，则CF=4x米，然后在Rt△CDF中，利用勾股定理进行计算可求出CF和DF的长，从而求出AG的长，最后在Rt△AGE中，利用锐角三角函数的定义求出EG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加是的辅助线是解题的关键．
17.【答案】a≥−3
【解析】解：由x−2<3a，得：x<3a+2，
由−2x>−2a+8，得：x
解得a≥−3，
故答案为：a≥−3．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小并结合不等式组的解集得到关于a的不等式，解之即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】32
【解析】解：连接CD，过C作CG⊥CD交AD于G，
∵∠ACB=∠GCD=90°，
∴∠ACB−∠GCB=∠GCD−∠GCB，
即∠ACG=∠BCD，
∵BD⊥AD，
∴∠∠ADB=90°，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAG=∠CBD，
在△ACG与△BCD中，
∠CAG=∠CBDAC=BC∠ACG=∠BCD，
∴△ACG≌△BCD(ASA)，
∴AG=BD= 2，CG=CD，
∵CE⊥DG，
∴CE=12DG，
∵AD=3+ 2，
∴DG=AD−AG=3，
∴CE=12×3=32，
故答案为：32．
连接CD，过C作CG⊥CD交AD于G，根据全等三角形的性质得到AG=BD= 2，CG=CD，然后根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：(1)cos245°−(−2)−1−|−12|+3−8+|2− 3|
=( 22)2−(−12)−12−2+2− 3
=12+12−12−2+2− 3
=12− 3；
(2)m2−2m+1m2−1÷(m−1−m−1m+1)
=(m−1)2(m+1)(m−1)÷(m2−1m+1−m−1m+1)
=m−1m+1÷m2−mm+1
=m−1m+1⋅m+1m(m−1)
=1m，
当m= 3时，
原式=1 3= 33．
【解析】(1)先代入三角函数值、计算负整数指数幂、去绝对值符号、计算立方根，再计算乘方，最后计算加减即可；
(2)先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算即可．
本题主要考查实数的混合运算和分式的化简求值，解题的关键是掌握实数与分式的混合运算顺序和运算法则．
20.【答案】(1)40 ; 0.25;
(2)成绩在80.5≤x<85.5的人数为 40×0.25=10(人)
分布直方图如图示：
(3)78×0.05+83×0.25+88×0.375+93×0.275+98×0.05=88.125(分)，
所以这n名学生成绩的平均分为88.125分；
(4)用a，b表示成绩在75.5≤x<80.5的学生，用m，n表示成绩在95.5≤x<100.5的学生，树状图如下：
选取的学生成绩在75.5≤x<80.5和95.5≤x<100.5中各一名的概率为：812=23．
【解析】解：(1)a=1−0.05−0.375−0.275−0.05=0.25；
n=2÷0.05=40；
故答案为：40，0.25；
(2)成绩在80.5≤x<85.5的人数为40×0.25=10(人)
分布直方图如图示：
(3)78×0.05+83×0.25+88×0.375+93×0.275+98×0.05=88.125(分)，
所以这n名学生成绩的平均分为88.125分；
(4)用a，b表示成绩在75.5≤x<80.5的学生，用m，n表示成绩在95.5≤x<100.5的学生，树状图如下：
选取的学生成绩在75.5≤x<80.5和95.5≤x<100.5中各一名的概率为：812=23．
(1)根据频率之和等于1，频数除以百分比等于总人数求解；
(2)先求频数，再补全频数分布直方图；
(3)用组中值代表数据求解；
(4)利用树状图求概率．
本题考查了频数分布表和频数分布直方图及概率，掌握各组人数、总人数与各组的百分数间关系是解决本题的关键．
21.【答案】解：(1)设A种教学用具的单价为x元，B种教学用具的单价为y元，
依题意得：x−y=63x+2y=113，
解得：x=25y=19，
∴5x+8y=5×25+8×19=277．
答：购买5件A和8件B两种教学用具共用了277元．
(2)设购买m件A种教学用具，则购买(40−m)件B种教学用具，
依题意得：25m+19(40−m)≥83025m+19(40−m)≤850，
解得：353≤m≤15，
又∵m为整数，
∴m可取的最小值为12．
答：至少能购买12件A种教学用具．
【解析】(1)设A种教学用具的单价为x元，B种教学用具的单价为y元，根据“A种每件价格比B种每件贵6元，购进3件A种教学用具和2件B种教学用具恰好用去113元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入(5x+8y)中即可求出结论；
(2)设购买m件A种教学用具，则购买(40−m)件B种教学用具，利用总价=单价×数量，结合总价不少于830元且不多于850元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE//BC，
∵四边形BCEF是等腰梯形，
∴BF=CE，∠FBC=∠ECB，
在△BFC与△CEB中，
BF=CE∠FBC=∠ECBBC=CB，
∴△BFC≌△CEB(SAS)，
∴BE=CF；
(2)解：连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
∵GO⊥AC，
∴AC=CG，
∵AB//CD，∠ABC=45°，
∴∠DCG=45°，
∴∠CDG=90°，
∴CD=DG，
∴BA=DG=2，
∵∠CDG=90°，
∴CG=2 2，
∴AG=2 2，
∵∠ADC=∠DCG=45°，
∴∠CDM=135°，
∴∠GDM=45°，
∴GM=DM= 2，
在Rt△AGM中，(2 2)2=(AD+ 2)2+( 2)2，
∴AD= 6− 2，
∴BC= 6− 2．
【解析】(1)根据矩形的性质和等腰梯形的性质得出BF=CE，∠FBC=∠ECB，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可；
(2)连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，根据平行四边形的性质和勾股定理解答即可．
此题考查梯形的性质，平行四边形的性质，关键是根据全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质和勾股定理解答．
23.【答案】解：(1)点E在这个反比例函数的图象上，
理由：
∵一次函数y=kx+b(k>0)的图象与反比例函数y=8x(x>0)的图象交于点A，
∴设点A的坐标为(m,8m)，
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴AD⊥CE，AD平分CE，
如图．连接CE交AD于H，
∴CH=EH，
∵BC=CD，OC⊥BD，
∴OB=OD，
∴OC=12AD，
∵AD⊥x轴于D，
∴CE//x轴，
∴E(2m,4m)，
∵2m×4m=8，
∴点E在这个反比例函数的图象上；
(2)∵四边形ACDE为正方形，
∴AD=CE，AD垂直平分CE，
∴CH=12AD，
设点A的坐标为(m,8m)，
∴CH=m，AD=8m，
∴m=12×8m，
∴m=2，或m=−2(负值舍去)，
∴A(2,4)，C(0,2)，
延长ED交y轴于P，
∵CB=CD，OC⊥BD，
∴点B与点D关于y轴对称，
∴|PE−PD|=|PE−PB|，
则点P即为符合条件的点，
由上可知，A(2,4)，C(0,2)，
∴D(2,0)，E(4,2)，
设直线DE的解析式为y=ax+n，
∴2a+n=04a+n=2，∴a=1n=−2，
∴直线DE的解析式为y=x−2，
当x=0时，y=−2，
∴P(0,−2)．
故当|PE−PB|最大时，点P的坐标为(0,−2)．
【解析】(1)设点A的坐标为(m,8 m)，根据轴对称的性质得到AD⊥CE，AD平分CE，如图，连接CE交AD于H，得到CH=EH，求得E(2m,4m)，于是得到点E在这个反比例函数的图象上；
(2)根据正方形的性质得到AD=CE，AD垂直平分CE，求得CH=12AD，设点A的坐标为(m,8 m)，得到m=2(负值舍去)，求得A(2,4)，C(0,2)；延长ED交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得|PE−PD|=|PE−PB|，则点P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为y=x−2，于是得到结论．
本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵BE为直径，
∴∠BAE=∠BGE=90°．
在Rt△ABE和Rt△GBE中，
AE=GEBE=BE，
∴Rt△ABE和Rt△GBE(HL)；
(2)解：①∵EF与⊙O相切，
∴BE⊥EF，
∴∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠DEF=90°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAE=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
∵∠BAE=∠D=90°，
∴△ABE∽△DEF，
∴ABDE=BEEF．
在Rt△BEF中，
∵tan∠EBF=12，
∴EFBE=12，
∴DE=12AB=12×2=1；
②若△ABG是以AG为腰的等腰三角形，
Ⅰ.当GA=GB时，
∵GA=GB，
∴∠GAB=∠GBA，
∵∠DAB=∠CBA=90°，
∴∠EAG=∠FBC．
∵∠EAG=∠EBG，
∴∠EBG=∠FBC．
在△BEF和△BCF中，
∠BEF=∠C=90°∠EBG=∠CBFBF=FB，
∴△BEF≌△BCF(AAS)，
∴BE=BC．
设BC=x，则AD=BC=x，
∴AE=AD−DE=x−1，
∵AB2+AE2=BE2，
∴22+(x−1)2=x2，
解得：x=52，
∴BC=52；
Ⅱ.当GA=AB=2时，
∵GA=AB，
∴∠ABG=∠AGB．
∵∠AEB=∠AGB．
∴∠AEB=∠ABG．
∵∠AEB+∠ABE=90°，∠ABG+∠FBC=90°，
∴∠ABE=∠FBC，
∵∠BAE=∠C=90°，
∴△BAE∽△BCF，
∴ABBC=BEBF．
由(2)知：EFBF=12，
∴BEBF=2 5，
∴2BC=2 5，
∴BC= 5．
综上，若△ABG是以AG为腰的等腰三角形，满足条件的BC的长为52或 5；
(3)解：∵BE为圆的直径，
∴∠EGF=90°．
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
EG=EDEF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF(HL)，
∴∠DEF=∠GEF，DF=FG．
∵∠AEG+∠GEF=90°，∠DEF+∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠GEB．
在Rt△EAB和Rt△EGB中，
∠EAB=∠EGB=90°∠AEB=∠GEBEB=EB，
∴Rt△EAB≌Rt△EGB(AAS)，
∴AB=BG，AE=EG，
∴AE=EG=DE，
∴BE⊥AC．
∵BE⊥EF，
∴EF//AC．
∴EF为△DAC的中位线，
∴DF=FC，
∴DF=FC=FG．
设DF=FC=FG=a，则AB=CD=BG=2a，
∴BF=BG+GF=3a．
取BF的中点H，连接EH，如图，
则EH为梯形ABFD的中位线，
∴EF=AB+DF2=32a.
∵EF//AC，
∴∠FGC=∠EFH．
∵EH//CD，
∴∠CFG=∠EHF，
∴△CFG∽△EHF，
∴CGEF=CFEH=a32a=23．
【解析】(1)利用圆周角定理和全等三角形的判定定理解答即可；
(2)①利用切线的性质定理，矩形的性质和相似三角形的判定与性质，通过证明△ABE∽△DEF得到ABDE=BEEF，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；
②利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：Ⅰ.当GA=GB时，利用全等三角形的判定与性质得到BE=BC，设BC=x，则AD=BC=x，则AE=AD−DE=x−1，利用勾股定理列出方程解答即可；Ⅱ.当GA=AB=2时，利用相似三角形的判定得到△BAE∽△BCF，进而得到ABBC=BEBF，再利用(2)①的结论，利用勾股定理解答即可得出结论；
(3)利用全等三角形的判定定理证明得到Rt△EGF≌Rt△EDF和Rt△EAB≌Rt△EGB，得到AE=EG=DE，利用三角形的中位线得到DF=FC=FG，设DF=FC=FG=a，则AB=CD=BG=2a，则BF=BG+GF=3a，取BF的中点H，连接EH，利用梯形的中位线定理得到EF，最后利用相似三角形的判定定理得到△CFG∽△EHF，由相似三角形的性质即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质三角形的中位线定理，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
25.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，B(5,0)代入y=−x2+bx+c中，
得0=−1−b+c0=−25+5b+c，
解这个方程组得b=4c=5，
∴二次函数的表达式为y=−x2+4x+5；
(2)过点M作ME⊥x轴于点E，如图：
设△BMN面积为S，
根据题意得：ON=t，BM= 2t．
∵B(5,0)，
∴BN=5−t，
在y=−x2+4x+5中，令x=0得y=5，
∴C(0,5)，
∴OC=OB=5，
∴∠OBC=45°．
∴ME=BMsin45°= 2t⋅ 22=t，
∴S=12BN⋅ME=12(5−t)⋅t=−12t2+52t=−12(t−52)2+258，
∵0
(3)存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由B(5,0)，C(0,5)得直线BC解析式为y=−x+5，
设Q(m,−m+5)，P(n,−n2+4n+5)，又A(−1,0)，C(0,5)，
①当PQ，AC是对角线，则PQ，AC的中点重合，
∴m+n=−1+0−m+5−n2+4n+5=0+5，
解得m=0(与C重合，舍去)或m=−7，
∴Q(−7,12)；
②当QA，PC为对角线，则QA，PC的中点重合，
∴m−1=n+0−m+5+0=−n2+4n+5+5，
解得m=0(舍去)或m=7，
∴Q(7,−2)；
③当QC，PA为对角线，则QC，PA的中点重合，
∴m+0=n−1−m+5+5=−n2+4n+5+0，
解得m=1或m=2，
∴Q(1,4)或(2,3)，
综上所述，Q的坐标为(−7,12)或(7,−2)或(1,4)或(2,3)．
【解析】(1)用待定系数法可得二次函数的表达式为y=−x2+4x+5；
(2)过点M作ME⊥x轴于点E，设△BMN面积为S，由ON=t，BM= 2t，可得BN=5−t，ME=BMsin45°= 2t⋅ 22=t，即得S=12BN⋅ME=12(5−t)⋅t=−12(t−52)2+258，由二次函数性质可得当t=52秒时，△BMN的面积最大，最大面积是258；
(3)由B(5,0)，C(0,5)得直线BC解析式为y=−x+5，设Q(m,−m+5)，P(n,−n2+4n+5)，分三种情况：①当PQ，AC是对角线，有m+n=−1+0−m+5−n2+4n+5=0+5，解得Q(−7,12)；②当QA，PC为对角线，有m−1=n+0−m+5+0=−n2+4n+5+5，解得Q(7,−2)；③当QC，PA为对角线，有m+0=n−1−m+5+5=−n2+4n+5+0，解得Q(1,4)或(2,3)．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度．
2023年四川省绵阳市三台县中考数学模拟试卷（三）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的绝对值是( )
A. −12023 B. −2023 C. 12023 D. 2023
2. 如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为( )
A.
B.
C.
D.
3. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为355113，它与π的误差小于0.0000003.将0.0000003用科学记数法可以表示为( )
A. 0.3×10−6 B. 3×10−6 C. 3×10−7 D. 3×107
4. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，O是矩形的对称中心，点E、F分别在边AD、BC上，连接OE、OF，若AE=BF=2，则OE+OF的值为( )
A. 2 2 B. 5 2 C. 5 D. 2 5
5. 如图，把直角三角形ABO放置在平面直角坐标系中，已知∠OAB=30°，B点的坐标为(0,2)，将△ABO沿着斜边AB翻折后得到△ABC，则点C的坐标是( )
A. (2 3,4) B. (2,2 3) C. ( 3,3) D. ( 3, 3)
6. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为( )
A. 2π
B. 3π
C. 33π
D. 2 33π
7. 若关于x的方程2x2−(k−1)x+k+1=0的两个实数根满足关系式|x1−x2|=1，则k的值为( )
A. 11 B. −1 C. 11或−1 D. 11或−1或1
8. 某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制作如下表格：对于不同的x，下列统计量中不会发生改变的是( )
年龄(岁)
16
15
14
13
12
人数
2
9
8−x
x
1
A. 中位数，众数 B. 平均数，方差 C. 平均数，中位数 D. 众数，方差
9. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图(1)就是一个幻方．图(2)是一个未完成的幻方，则x与y的和是( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
10. 如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，△APC的面积S(cm2)随运动时间t(s)变化的函数图象如图2所示，则AB的长是( )
A. 32cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm
11. 如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(−1,0)，对称轴为直线x=1.则下列结论正确的有( )
①2a+b=0；
②函数y=ax2+bx+c的最大值为−4a；
③若关于x的方程ax2+bx+c=a+1无实数根，则−15
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
12. 已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3.若S1+S2+S3=2S0，则线段OP长的最小值是( )
A. 3 32 B. 5 32 C. 3 3 D. 7 32
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 因式分解：4x3−12x2+9x=______．
14. 如图，E为△ABC的边CA延长线上一点，过点E作DE//BC.若∠BAC=80°，∠CED=55°，则∠B=______．
15. 若二次根式 2−m有意义，且关于x的分式方程m1−x+2=3x−1有正整数解，则符合条件的整数m的和是______．
16. 小丽测量了斜坡上一棵垂直于地面的大树的高度.如图，小丽先在坡角为30°的斜坡AB上的点A处，测得树尖E的仰角为15°，然后沿斜坡走了10米到达坡脚B处，又在水平路面上行走20米到达大树所在的斜坡坡脚C处，大树所在斜坡的坡度i=3：4，且大树的底端与坡脚的距离CD为15米，则大树ED的高度约为______ .(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27， 3≈1.73.结果精确到0.1)
17. 不等式组x−2<3a−2x>−2a+8的解集是x
三、解答题（本大题共7小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题16.0分)
(1)计算：cos245°−(−2)−1−|−12|+3−8+|2− 3|；
(2)先化简，再求值：m2−2m+1m2−1÷(m−1−m−1m+1)，其中m= 3．
20. (本小题12.0分)
6月5日是世界环境日．某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了n名学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图(如图所示)．
学生成绩分布统计表
成绩/分
组中值
频率
75.5≤x<80.5
78
0.05
80.5≤x<85.5
83
a
85.5≤x<90.5
88
0.375
90.5≤x<95.5
93
0.275
95.5≤x<100.5
98
0.05
请根据以上图表信息，解答下列问题：
(1)填空：n=______，a=______；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)求这n名学生成绩的平均分；
(4)从成绩在75.5≤x<80.5和95.5≤x<100.5的学生中任选两名学生．请用列表法或画树状图的方法，求选取的学生成绩在75.5≤x<80.5和95.5≤x<100.5中各一名的概率．
21. (本小题12.0分)
列方程组和不等式(组)解应用题：
某中学准备购进A、B两种教学用具共40件，A种每件价格比B种每件贵6元，同时购进3件A种教学用具和2件B种教学用具恰好用去113元．
(1)求购买5件A和8件B两种教学用具共用了多少元？
(2)学校准备用不少于830元且不多于850元的金额购买A、B两种教学用具，问至少能购买多少件A种教学用具？
22. (本小题12.0分)
定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．
如图1，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF=CE，连结BE、CF.求证：BE=CF；
如图2，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB=2，∠ABC=45°，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG.若∠CDG=90°，求BC的长．
23. (本小题12.0分)
如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图象与反比例函数y=8x(x>0)的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB=CD，点C关于直线AD的对称点为点E．
(1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形.点P在y轴上，当|PE−PB|最大时，求点P的坐标．
24. (本小题12.0分)
如图，点E，F分别为矩形ABCD边AD，CD上的点，以BE为直径作⊙O交BF于点G，且EF与⊙O相切，连结EG．
(1)若AE=EG，求证：△ABE≌△GBE．
(2)若AB=2，tan∠EBF=12．
①求DE的长．
②连结AG，若△ABG是以AG为腰的等腰三角形，求所有满足条件的BC的长．
(3)连结CG，若CG的延长线经过点A，且ED=EG，求CGEF的值．
25. (本小题14.0分)
如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象交x轴于点A(−1,0)，B(5,0)，交y轴于点C．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，点M从点B出发，以每秒 2个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒(0
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：|−2023|=2023，
故选：D．
根据绝对值的定义进行计算即可．
本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．
2.【答案】B
【解析】解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，
故选：B．
根据从上面看得到的图形是俯视图，据此可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
3.【答案】C
【解析】解：0.0000003=3×10−7．
故选：C．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n(1≤|a|<10,n是正整数)，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法−表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
4.【答案】D
【解析】解：如图，连接，AC，BD.过点O作OM⊥AD于点M交BC于点N．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD=OB，
∵OM⊥AD，
∴AM=DM=3，
∴OM=12AB=2，
∵AE=2，
∴EM=AM−AE=1，
∴OE= EM2+OM2= 12+22= 5，
同法可得OF= 5，
∴OE+OF=2 5，
故选：D．
如图，连接，AC，BD.过点O作OM⊥AD于点M交BC于点N.利用勾股定理，求出OE，可得结论．
本题考查中心对称，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠OAB=∠ABC=30°，∠BOA=∠BCA=90°，AB=AB，
∴△BOA≌△BCA．
∴OB=BC=2，∠CBA=∠OBA=60°，
过点C作CD⊥y轴，垂直为D，则∠DCB=30°．
∴DB=12BC=1，DC= 32BC= 3．
∴C( 3,3)．
故选：C．
过点C作CD⊥y轴，垂直为D，首先证明△BOA≌△BCA，从而可求得BC的长，然后再求得∠DCB=30°，接下来，依据在Rt△BCD中，求得BD、DC的长，从而可得到点C的坐标．
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、含30°直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴AB=BC=2，∠ABC=∠BAF=(6−2)×180°6=120°，
∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴∠BAC=12(180°−∠ABC)=12×(180°−120°)=30°，
过B作BH⊥AC于H，
∴AH=CH，BH=12AB=12×2=1，
在Rt△ABH中，
AH= AB2−BH2= 22−12= 3，
∴AC=2 3，
同理可证，∠EAF=30°，
∴∠CAE=∠BAF−∠BAC−∠EAF=120°−30°−30°=60°，
∴S扇形CAE=60π⋅(2 3)2360=2π，
∴图中阴影部分的面积为2π，
故选：A．
由正六边形ABCDEF的边长为2，可得AB=BC=2，∠ABC=∠BAF=120°，进而求出∠BAC=30°，∠CAE=60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH=CH，BH=1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH= 3，得到AC=2 3，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积．
本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：由题意得：x1+x2=k−12，x1x2=k+12，
∵|x1−x2|=1，
∴(x1−x2)2=1，
(x1+x2)2−4x1x2=1，
(k−12)2−4×k+12=1，
解得：k=−1或k=11．
故选：C．
由根与系数的关系可得x1+x2=k−12，x1x2=k+12，再结合|x1−x2|=1，两边进行平方整理得到(x1+x2)2−4x1x2=1，从而可求解．
本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是明确根与系数的关系并灵活运用．
8.【答案】A
【解析】解：由表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为8−x+x=8，
故该组数据的众数为15岁，
总数为20，按大小排列后，第10个和第11个数为15，15，
则中位数为：15+152=15岁，
即对于不同的x，统计量不会发生改变的是众数和中位数．
故选：A．
根据频数表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为8，即可知出现次数最多的数据及第10、11个数据的平均数，可得答案．
本题考查了频数分布表及统计量的选择，掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，
∴最左下角的数为：6+20−22=4，
∴最中间的数为：x+6−4=x+2，或x+6+20−22−y=x−y+4，
最右下角的数为：6+20−(x+2)=24−x，或x+6−y=x−y+6，
∴x+2=x−y+424−x=x−y+6，
解得：x=10y=2，
∴x+y=12，
故选：D．
由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由图2可知，AB=a，BC=4，当点P到达点B时，△APC的面积为6，
∴12⋅AB⋅BC=6，即12⋅a×4=6，
解得a=3．
即AB的长为3cm．
故选：B．
由图2可知，AB=a，BC=4，当点P到达点B时，△APC的面积为6，可得出等式12⋅a×4=6，求出a的值，即线段AB的长．
本题主要考查动点问题中三角形的面积，函数图象与点的运动相结合，注意转折点，即面积表示发生改变的点的含义是解题关键．
11.【答案】C
【解析】解：∵抛物线的对称轴是直线x=1，
∴−b2a=1，
∴2a+b=0，故①正确．
∵抛物线交x轴于点(−1,0)，(3,0)，
∴可以假设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，
当x=1时，y的值最大，最大值为−4a，故②正确．
∵ax2+bx+c=a+1无实数根，
∴a(x+1)(x−3)=a+1无实数根，
∴ax2−2ax−4a−1=0，Δ<0，
∴4a2−4a(−4a−1)<0，
∴a(5a+1)<0，
∴−15
∴a<0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c>0，
∵−b2a>0，
∴b>0，
当x=−1时，a−b+c=0，
∴b−c=a，
∴a−b<0，b−c<0，c−a>0，
∴(a−b)(b−c)(c−a)>0，故④错误．
故选：C．
①正确．利用抛物线的对称轴公式求解；
②正确．把问题转化为一元二次方程，利用判别式<0，解不等式即可；
③正确．设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，当x=1时，y的值最大，最大值为−4a；
④错误．根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置，当x=−1的情况一一判断即可求解．
本题考查二次函数的性质，根的判别式，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型，
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查等边三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是证明△PAB的面积是定值．
不妨假设点P在AB的左侧，证明△PAB的面积是定值，过点P作AB的平行线PM，连接CO并延长CO交AB于点R，交PM于点T.因为△PAB的面积是定值，推出点P的运动轨迹是直线PM，求出OT的值，可得结论．
【解答】
解：如图，不妨假设点P在AB的左侧，
∵S△PAB+S△ABC=S△PBC+S△PAC，
∴S1+S0=S2+S3，
∵S1+S2+S3=2S0，
∴S1+S1+S0=2S0，
∴S1=12S0，
∵△ABC是等边三角形，边长为6，
∴S0= 34×62=9 3，
∴S1=9 32，
过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．
∵△PAB的面积是定值，
∴点P的运动轨迹是直线PM，
∵O是△ABC的中心，
∴CT⊥AB，CT⊥PM，
∴12⋅AB⋅RT=9 32，CR=3 3，OR= 3，
∴RT=3 32，
∴OT=OR+TR=5 32，
∵OP≥OT，
∴OP的最小值为5 32，
当点P在 ②区域时，同法可得OP的最小值为7 32，
当点P在 ① ③ ⑤区域时，OP的最小值为5 32，当点P在 ② ④ ⑥区域时，最小值为7 32，
∵5 32<7 32，
∴OP的最小值为5 32．
13.【答案】x(2x−3)2
【解析】解：原式=x(4x2−12x+9)
=x(2x−3)2．
故答案为：x(2x−3)2．
先提取公因式，再套用完全平方公式．
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和完全平方公式是解决本题的关键．
14.【答案】45°
【解析】解：∵ED//BC，
∴∠C=∠CED=55°，
又∵∠BAC=80°，
在△ABC中，∠B=180°−55°−80°=45°．
故答案为：45°．
利用平行线的性质，即可得到∠C=∠CED=55°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用两直线平行，内错角相等．
15.【答案】0
【解析】解：m1−x+2=3x−1，
去分母得，−m+2(x−1)=3，
解得x=m+52，
∵关于x的分式方程m1−x+2=3x−1有正整数解，
∴m+52>0，
∴m>−5，
又∵x=1是增根，当x=1时，m+52=1，即m=−3，
∴m≠−3，
∵ 2−m有意义，
∴2−m≥0，
∴m≤2，
因此−5
∴m可以为−1，1，其和为−1+1=0．
故答案为：0．
根据二次根式 2−m有有意义，可得m≤2，解出关于x的分式方程m1−x+2=3x−1的解为x=m+52，解为正整数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．
本题考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，理解正整数解，整数m的意义是正确解答的关键．
16.【答案】7.0米
【解析】解：延长BC与ED相交于点F，过点A作AG⊥EF，垂足为G，过点A作AH⊥CB，交CB的延长线于点H，
由题意得：AH=FG，AG=HF，BC=20米，EF⊥BF，
在Rt△ABH中，∠ABH=30°，AB=10米，
∴AH=12AB=5(米)，BH= 3AH=5 3(米)，
∴GF=AH=5米，
∵斜坡CD的坡度i=3：4，
∴DFCF=34，
∴设DF=3x米，则CF=4x米，
在Rt△CDF中，CD= CF2+DF2= (4x)2+(3x)2=5x(米)，
∵CD=15米，
∴5x=15，
解得：x=3，
∴CF=12米，DF=9米，
∴AG=HF=BH+BC+CF=(32+5 3)米，
在Rt△AGE中，∠EAG=15°，
∴EG=AG⋅tan15°≈(32+5 3)×0.27≈10.98(米)，
∴DE=EG+FG−DF=10.98+5−9≈7.0(米)，
∴大树ED的高度约为7.0米，
故答案为：7.0米．
延长BC与ED相交于点F，过点A作AG⊥EF，垂足为G，过点A作AH⊥CB，交CB的延长线于点H，根据题意可得：AH=FG，AG=HF，BC=20米，EF⊥BF，在Rt△ABH中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AH和BH的长，从而求出GF的长，再根据已知斜坡CD的坡度i=3：4，可设DF=3x米，则CF=4x米，然后在Rt△CDF中，利用勾股定理进行计算可求出CF和DF的长，从而求出AG的长，最后在Rt△AGE中，利用锐角三角函数的定义求出EG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加是的辅助线是解题的关键．
17.【答案】a≥−3
【解析】解：由x−2<3a，得：x<3a+2，
由−2x>−2a+8，得：x
解得a≥−3，
故答案为：a≥−3．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小并结合不等式组的解集得到关于a的不等式，解之即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】32
【解析】解：连接CD，过C作CG⊥CD交AD于G，
∵∠ACB=∠GCD=90°，
∴∠ACB−∠GCB=∠GCD−∠GCB，
即∠ACG=∠BCD，
∵BD⊥AD，
∴∠∠ADB=90°，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAG=∠CBD，
在△ACG与△BCD中，
∠CAG=∠CBDAC=BC∠ACG=∠BCD，
∴△ACG≌△BCD(ASA)，
∴AG=BD= 2，CG=CD，
∵CE⊥DG，
∴CE=12DG，
∵AD=3+ 2，
∴DG=AD−AG=3，
∴CE=12×3=32，
故答案为：32．
连接CD，过C作CG⊥CD交AD于G，根据全等三角形的性质得到AG=BD= 2，CG=CD，然后根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：(1)cos245°−(−2)−1−|−12|+3−8+|2− 3|
=( 22)2−(−12)−12−2+2− 3
=12+12−12−2+2− 3
=12− 3；
(2)m2−2m+1m2−1÷(m−1−m−1m+1)
=(m−1)2(m+1)(m−1)÷(m2−1m+1−m−1m+1)
=m−1m+1÷m2−mm+1
=m−1m+1⋅m+1m(m−1)
=1m，
当m= 3时，
原式=1 3= 33．
【解析】(1)先代入三角函数值、计算负整数指数幂、去绝对值符号、计算立方根，再计算乘方，最后计算加减即可；
(2)先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算即可．
本题主要考查实数的混合运算和分式的化简求值，解题的关键是掌握实数与分式的混合运算顺序和运算法则．
20.【答案】(1)40 ; 0.25;
(2)成绩在80.5≤x<85.5的人数为 40×0.25=10(人)
分布直方图如图示：
(3)78×0.05+83×0.25+88×0.375+93×0.275+98×0.05=88.125(分)，
所以这n名学生成绩的平均分为88.125分；
(4)用a，b表示成绩在75.5≤x<80.5的学生，用m，n表示成绩在95.5≤x<100.5的学生，树状图如下：
选取的学生成绩在75.5≤x<80.5和95.5≤x<100.5中各一名的概率为：812=23．
【解析】解：(1)a=1−0.05−0.375−0.275−0.05=0.25；
n=2÷0.05=40；
故答案为：40，0.25；
(2)成绩在80.5≤x<85.5的人数为40×0.25=10(人)
分布直方图如图示：
(3)78×0.05+83×0.25+88×0.375+93×0.275+98×0.05=88.125(分)，
所以这n名学生成绩的平均分为88.125分；
(4)用a，b表示成绩在75.5≤x<80.5的学生，用m，n表示成绩在95.5≤x<100.5的学生，树状图如下：
选取的学生成绩在75.5≤x<80.5和95.5≤x<100.5中各一名的概率为：812=23．
(1)根据频率之和等于1，频数除以百分比等于总人数求解；
(2)先求频数，再补全频数分布直方图；
(3)用组中值代表数据求解；
(4)利用树状图求概率．
本题考查了频数分布表和频数分布直方图及概率，掌握各组人数、总人数与各组的百分数间关系是解决本题的关键．
21.【答案】解：(1)设A种教学用具的单价为x元，B种教学用具的单价为y元，
依题意得：x−y=63x+2y=113，
解得：x=25y=19，
∴5x+8y=5×25+8×19=277．
答：购买5件A和8件B两种教学用具共用了277元．
(2)设购买m件A种教学用具，则购买(40−m)件B种教学用具，
依题意得：25m+19(40−m)≥83025m+19(40−m)≤850，
解得：353≤m≤15，
又∵m为整数，
∴m可取的最小值为12．
答：至少能购买12件A种教学用具．
【解析】(1)设A种教学用具的单价为x元，B种教学用具的单价为y元，根据“A种每件价格比B种每件贵6元，购进3件A种教学用具和2件B种教学用具恰好用去113元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入(5x+8y)中即可求出结论；
(2)设购买m件A种教学用具，则购买(40−m)件B种教学用具，利用总价=单价×数量，结合总价不少于830元且不多于850元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE//BC，
∵四边形BCEF是等腰梯形，
∴BF=CE，∠FBC=∠ECB，
在△BFC与△CEB中，
BF=CE∠FBC=∠ECBBC=CB，
∴△BFC≌△CEB(SAS)，
∴BE=CF；
(2)解：连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
∵GO⊥AC，
∴AC=CG，
∵AB//CD，∠ABC=45°，
∴∠DCG=45°，
∴∠CDG=90°，
∴CD=DG，
∴BA=DG=2，
∵∠CDG=90°，
∴CG=2 2，
∴AG=2 2，
∵∠ADC=∠DCG=45°，
∴∠CDM=135°，
∴∠GDM=45°，
∴GM=DM= 2，
在Rt△AGM中，(2 2)2=(AD+ 2)2+( 2)2，
∴AD= 6− 2，
∴BC= 6− 2．
【解析】(1)根据矩形的性质和等腰梯形的性质得出BF=CE，∠FBC=∠ECB，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可；
(2)连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，根据平行四边形的性质和勾股定理解答即可．
此题考查梯形的性质，平行四边形的性质，关键是根据全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质和勾股定理解答．
23.【答案】解：(1)点E在这个反比例函数的图象上，
理由：
∵一次函数y=kx+b(k>0)的图象与反比例函数y=8x(x>0)的图象交于点A，
∴设点A的坐标为(m,8m)，
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴AD⊥CE，AD平分CE，
如图．连接CE交AD于H，
∴CH=EH，
∵BC=CD，OC⊥BD，
∴OB=OD，
∴OC=12AD，
∵AD⊥x轴于D，
∴CE//x轴，
∴E(2m,4m)，
∵2m×4m=8，
∴点E在这个反比例函数的图象上；
(2)∵四边形ACDE为正方形，
∴AD=CE，AD垂直平分CE，
∴CH=12AD，
设点A的坐标为(m,8m)，
∴CH=m，AD=8m，
∴m=12×8m，
∴m=2，或m=−2(负值舍去)，
∴A(2,4)，C(0,2)，
延长ED交y轴于P，
∵CB=CD，OC⊥BD，
∴点B与点D关于y轴对称，
∴|PE−PD|=|PE−PB|，
则点P即为符合条件的点，
由上可知，A(2,4)，C(0,2)，
∴D(2,0)，E(4,2)，
设直线DE的解析式为y=ax+n，
∴2a+n=04a+n=2，∴a=1n=−2，
∴直线DE的解析式为y=x−2，
当x=0时，y=−2，
∴P(0,−2)．
故当|PE−PB|最大时，点P的坐标为(0,−2)．
【解析】(1)设点A的坐标为(m,8 m)，根据轴对称的性质得到AD⊥CE，AD平分CE，如图，连接CE交AD于H，得到CH=EH，求得E(2m,4m)，于是得到点E在这个反比例函数的图象上；
(2)根据正方形的性质得到AD=CE，AD垂直平分CE，求得CH=12AD，设点A的坐标为(m,8 m)，得到m=2(负值舍去)，求得A(2,4)，C(0,2)；延长ED交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得|PE−PD|=|PE−PB|，则点P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为y=x−2，于是得到结论．
本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵BE为直径，
∴∠BAE=∠BGE=90°．
在Rt△ABE和Rt△GBE中，
AE=GEBE=BE，
∴Rt△ABE和Rt△GBE(HL)；
(2)解：①∵EF与⊙O相切，
∴BE⊥EF，
∴∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠DEF=90°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAE=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
∵∠BAE=∠D=90°，
∴△ABE∽△DEF，
∴ABDE=BEEF．
在Rt△BEF中，
∵tan∠EBF=12，
∴EFBE=12，
∴DE=12AB=12×2=1；
②若△ABG是以AG为腰的等腰三角形，
Ⅰ.当GA=GB时，
∵GA=GB，
∴∠GAB=∠GBA，
∵∠DAB=∠CBA=90°，
∴∠EAG=∠FBC．
∵∠EAG=∠EBG，
∴∠EBG=∠FBC．
在△BEF和△BCF中，
∠BEF=∠C=90°∠EBG=∠CBFBF=FB，
∴△BEF≌△BCF(AAS)，
∴BE=BC．
设BC=x，则AD=BC=x，
∴AE=AD−DE=x−1，
∵AB2+AE2=BE2，
∴22+(x−1)2=x2，
解得：x=52，
∴BC=52；
Ⅱ.当GA=AB=2时，
∵GA=AB，
∴∠ABG=∠AGB．
∵∠AEB=∠AGB．
∴∠AEB=∠ABG．
∵∠AEB+∠ABE=90°，∠ABG+∠FBC=90°，
∴∠ABE=∠FBC，
∵∠BAE=∠C=90°，
∴△BAE∽△BCF，
∴ABBC=BEBF．
由(2)知：EFBF=12，
∴BEBF=2 5，
∴2BC=2 5，
∴BC= 5．
综上，若△ABG是以AG为腰的等腰三角形，满足条件的BC的长为52或 5；
(3)解：∵BE为圆的直径，
∴∠EGF=90°．
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
EG=EDEF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF(HL)，
∴∠DEF=∠GEF，DF=FG．
∵∠AEG+∠GEF=90°，∠DEF+∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠GEB．
在Rt△EAB和Rt△EGB中，
∠EAB=∠EGB=90°∠AEB=∠GEBEB=EB，
∴Rt△EAB≌Rt△EGB(AAS)，
∴AB=BG，AE=EG，
∴AE=EG=DE，
∴BE⊥AC．
∵BE⊥EF，
∴EF//AC．
∴EF为△DAC的中位线，
∴DF=FC，
∴DF=FC=FG．
设DF=FC=FG=a，则AB=CD=BG=2a，
∴BF=BG+GF=3a．
取BF的中点H，连接EH，如图，
则EH为梯形ABFD的中位线，
∴EF=AB+DF2=32a.
∵EF//AC，
∴∠FGC=∠EFH．
∵EH//CD，
∴∠CFG=∠EHF，
∴△CFG∽△EHF，
∴CGEF=CFEH=a32a=23．
【解析】(1)利用圆周角定理和全等三角形的判定定理解答即可；
(2)①利用切线的性质定理，矩形的性质和相似三角形的判定与性质，通过证明△ABE∽△DEF得到ABDE=BEEF，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；
②利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：Ⅰ.当GA=GB时，利用全等三角形的判定与性质得到BE=BC，设BC=x，则AD=BC=x，则AE=AD−DE=x−1，利用勾股定理列出方程解答即可；Ⅱ.当GA=AB=2时，利用相似三角形的判定得到△BAE∽△BCF，进而得到ABBC=BEBF，再利用(2)①的结论，利用勾股定理解答即可得出结论；
(3)利用全等三角形的判定定理证明得到Rt△EGF≌Rt△EDF和Rt△EAB≌Rt△EGB，得到AE=EG=DE，利用三角形的中位线得到DF=FC=FG，设DF=FC=FG=a，则AB=CD=BG=2a，则BF=BG+GF=3a，取BF的中点H，连接EH，利用梯形的中位线定理得到EF，最后利用相似三角形的判定定理得到△CFG∽△EHF，由相似三角形的性质即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质三角形的中位线定理，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
25.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，B(5,0)代入y=−x2+bx+c中，
得0=−1−b+c0=−25+5b+c，
解这个方程组得b=4c=5，
∴二次函数的表达式为y=−x2+4x+5；
(2)过点M作ME⊥x轴于点E，如图：
设△BMN面积为S，
根据题意得：ON=t，BM= 2t．
∵B(5,0)，
∴BN=5−t，
在y=−x2+4x+5中，令x=0得y=5，
∴C(0,5)，
∴OC=OB=5，
∴∠OBC=45°．
∴ME=BMsin45°= 2t⋅ 22=t，
∴S=12BN⋅ME=12(5−t)⋅t=−12t2+52t=−12(t−52)2+258，
∵0
(3)存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由B(5,0)，C(0,5)得直线BC解析式为y=−x+5，
设Q(m,−m+5)，P(n,−n2+4n+5)，又A(−1,0)，C(0,5)，
①当PQ，AC是对角线，则PQ，AC的中点重合，
∴m+n=−1+0−m+5−n2+4n+5=0+5，
解得m=0(与C重合，舍去)或m=−7，
∴Q(−7,12)；
②当QA，PC为对角线，则QA，PC的中点重合，
∴m−1=n+0−m+5+0=−n2+4n+5+5，
解得m=0(舍去)或m=7，
∴Q(7,−2)；
③当QC，PA为对角线，则QC，PA的中点重合，
∴m+0=n−1−m+5+5=−n2+4n+5+0，
解得m=1或m=2，
∴Q(1,4)或(2,3)，
综上所述，Q的坐标为(−7,12)或(7,−2)或(1,4)或(2,3)．
【解析】(1)用待定系数法可得二次函数的表达式为y=−x2+4x+5；
(2)过点M作ME⊥x轴于点E，设△BMN面积为S，由ON=t，BM= 2t，可得BN=5−t，ME=BMsin45°= 2t⋅ 22=t，即得S=12BN⋅ME=12(5−t)⋅t=−12(t−52)2+258，由二次函数性质可得当t=52秒时，△BMN的面积最大，最大面积是258；
(3)由B(5,0)，C(0,5)得直线BC解析式为y=−x+5，设Q(m,−m+5)，P(n,−n2+4n+5)，分三种情况：①当PQ，AC是对角线，有m+n=−1+0−m+5−n2+4n+5=0+5，解得Q(−7,12)；②当QA，PC为对角线，有m−1=n+0−m+5+0=−n2+4n+5+5，解得Q(7,−2)；③当QC，PA为对角线，有m+0=n−1−m+5+5=−n2+4n+5+0，解得Q(1,4)或(2,3)．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度．
相关试卷
2023年四川省绵阳市三台县中考二模数学试题（含解析）： 这是一份2023年四川省绵阳市三台县中考二模数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省绵阳市三台县中考数学模拟试卷（二）(含答案)： 这是一份2023年四川省绵阳市三台县中考数学模拟试卷（二）(含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省绵阳市三台县中考数学模拟试卷（二）（含解析）： 这是一份2023年四川省绵阳市三台县中考数学模拟试卷（二）（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
