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2023年河南省商丘市柘城县中考数学九模试卷（含解析）
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这是一份2023年河南省商丘市柘城县中考数学九模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省商丘市柘城县中考数学九模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −8的绝对值是( )
A. 18 B. −18 C. 8 D. −8
2. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“科”字所在面相对的面上的汉字是( )
A. 创 B. 造 C. 未 D. 来
3. 2023年“五一”假期，文化和旅游行业复苏势头强劲，据统计，全国国内旅游出游合计2.74亿人次，同比增长70.83%，按可比口径恢复至2019年同期的119.09%，数据“2.74亿”用科学记数法表示为( )
A. 2.74×108 B. 2.74×109 C. 27.4×107 D. 0.274×109
4. 下列运算正确的是( )
A. 4ab−5ab=ab B. (−a)2⋅a3=−a5
C. (−a2b)3=−a6b3 D. (a−2b)2=a2−4b2
5. 如图，已知∠A，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与∠A的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接DC，BC，则四边形ABCD为菱形.其依据是( )
A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形
B. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D. 四条边相等的四边形是菱形
6. 若关于x的方程x2−x=k有两个不相等的实数根，则k的值可以是( )
A. −3 B. −2 C. −1 D. 0
7. 某校食堂有10元、12元、15元三种价格的饭菜供学生们选择(每人限购1份).五月份购买这三种价格饭菜的学生比例分别为30%，50%，20%，则该校五月份学生每餐购买饭菜的平均费用是( )
A. 10元 B. 8元 C. 15元 D. 12元
8. 《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是3x+2y=19x+4y=23在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为( )
A. B. C. D.
9. 如图，正方形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且点C(5,3).将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，得到正方形AEFG，若点D的对应点G恰好落在y轴正半轴上，则点F的坐标是( )
A. ( 5, 5+2) B. ( 5+2, 5) C. (3,5) D. ( 5,5)
10. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的长为a，动点D在AB边上从点A向点B运动，过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，设AD的长为x，矩形CEDF的面积为y，y随x变化的关系图象如图2所示，其中点P为图象的最高点，且纵坐标为 3，则a的值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 写一个经过第一、二、三象限的一次函数表达式：______ ．
12. 不等式组3x+1
14. 如图，在矩形ABCD中，AB= 3cm，AD=2cm，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交BC于点E，交DC的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为______ cm2．
15. 如图，在△ABC中，AB=AC=6 2，∠BAC=90°，AF在∠BAC内部，且AF=AB，分别将AB，AC向AF对折，使得AB，AC都与AF重合，折痕AD，AE分别交BC于点D，E.若DE=5，则AD的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)计算：3−8−(12)−2+( 3)0．
(2)化简：x2−4x÷(x2+4x−4)．
17. (本小题9.0分)
每年的5月12日是全国防灾减灾日.设立“防灾减灾日”一方面顺应社会各界对防灾减灾关注的诉求，另一方面提醒国民前事不忘，后事之师，更加重视防灾减灾，努力减少灾害损失.某校为了迎接“防灾减灾日”的到来，组织该校八年级学生开展了“防灾减灾”知识竞赛，从中随机抽取了30名学生的成绩(满分为100分)，信息如下．
a.成绩频数分布表：
成绩x(分)
x<60
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x≤100
人数
3
5
10
7
5
b.成绩在70≤x<80这一组的是：
70 72 72 73 74 75 77 78 78 79
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在抽取的样本中，成绩的中位数是______ 分，其中小明同学的竞赛成绩为77分，他的成绩______ (填“达到”或“没有达到”)中上等水平．
(2)若该校八年级参与本次竞赛的学生一共有900名，规定成绩达到70分为合格，估计八年级学生本次竞赛成绩合格的学生人数．
(3)若成绩达到80分为良好，请对该校八年级学生“防灾减灾”知识的掌握情况作出合理的评价．
18. (本小题9.0分)
当发动机的输出功率一定时，输出的扭矩M(使物体发生转动的力矩，单位为N⋅m)与发动机转速n(发动机曲轴的转动速度，单位为kr/min)之间成反比例函数关系，某兴趣小组通过对固定输出功率的发动机进行实验，得到对应的扭矩M和转速n的数据如表：
n(kr/min)
1.5
2
2.5
3
4
M(N⋅m)
400
300
240
200
150
(1)求出M关于n的函数表达式.(不必写出n的取值范围)
(2)某个使用场景需要此款发动机输出的扭矩不低于240N⋅m，但不超过500N⋅m，求此场景中该发动机转速n的取值范围．
19. (本小题9.0分)
我国的无人机水平位居世界前列，“大疆”无人机更是风靡海外.小华在一条东西走向的笔直宽阔的沿江大道上玩无人机航拍.已知小华身高AB为1.8m，无人机匀速飞行的速度是2m/s，当小华在B处时，测得无人机在C处的仰角为45°；3s后，小华沿正东方向前进3m到达E处，无人机沿正西方向匀速飞行到达F处，此时测得无人机在F处的仰角为72.6°，已知无人机的飞行路线CF平行于地面(直线l).求无人机在C处时距离地面的高度.(结果精确到0.1m，参考数据：sin72.6°≈0.95，cos72.6°≈0.30，tan72.6°≈3.20)
20. (本小题9.0分)
4月23日是“世界读书日”，随着全民阅读活动的推行，人们读书的热情日益高涨，图书的需求量不断增加，某书店为适应市场的需求决定购进A，B两种新书进行销售，已知每本A种图书的进价比B种图书贵10元，用1600元购进A种图书的数量和用1200元购进B种图书的数量相同．
(1)求A，B两种图书每本的进价．
(2)已知A种图书的售价为每本60元，B种图书的售价为每本45元，该书店决定购进这两种图书共100本，且用于购买这100本图书的资金不超过3600元，若A，B两种图书全部卖完，那么该书店如何进货才能获利最大？最大利润是多少元？
21. (本小题9.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6.在BC上取一点D，以D为圆心，CD长为半径作⊙D，⊙D恰好与AB相切于点E，连接AD，DE．
(1)求证：AD平分∠BAC．
(2)求⊙D的半径．
22. (本小题10.0分)
已知抛物线y=ax2−4ax+b(a>0)与x轴交于A(1,0)，B两点．
(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标．
(2)点P(m,n)是抛物线上的一个动点，当−1≤m≤4时，n的最大值为6，求a的值．
(3)点M(x1,y1)，N(x2,y2)在抛物线上，若x2−x1=4，请直接比较y1和y2的大小．
23. (本小题10.0分)
综合与实践
【操作发现】
甲、乙两位同学对“三角形中的中点问题”进行了讨论，过程如下：
如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是边AB上一点，连接ED．
甲同学：延长ED至点F，使DF=DE，连接CF，如图2所示．
∵D是BC的中点，∴BD=CD．
又∵DE=DF，∠BDE=∠CDF，∴△BDE△CDF.(依据1：______ )
乙同学：过点C作AB的平行线交ED的延长线于点F，如图3所示．
∵CF//AB，∴∠B=∠DCF．
又∵BD=CD，∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF.(依据2：______ )
(1)上述过程中的依据1是______ ，依据2是______ .(填“SAS”“ASA”或“AAS”)
【类比迁移】
(2)如图4，在四边形ABCD中，AD//BC，E是DC的中点，连接AE，BE，AE平分∠BAD，请根据(1)中的方法，判断线段AD，AB，BC之间的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
(3)如图5，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，以A为顶点作Rt△ADE，使∠ADE=90°，∠EAD=∠CAB，AD=2，连接BE，F为线段BE的中点.将△ADE绕点A在平面内旋转，当DE//BC时，请直接写出线段CF的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：|−8|=8，
故选：C．
运用实数绝对值的性质进行求解．
此题考查了实数绝对值的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识．
2.【答案】B
【解析】解：在原正方体中，与“科”字所在面相对的面上的汉字是造，
故选：B．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：2.74亿=274000000=2.74×108．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
本题主要考查科学记数法，掌握形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、4ab−5ab=−ab，故A不符合题意；
B、(−a)2⋅a3=a5，故B不符合题意；
C、(−a2b)3=−a6b3，故C符合题意；
D、(a−2b)2=a2−4ab+4b2，故D不符合题意；
故选：C．
利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】D
【解析】解：由作法得AD=AB=CD=CB，
所以四边形ABCD为菱形．
故选：D．
利用基本作图得到AD=AB=CD=CB，则根据菱形的判定方法可判断四边形ABCD为菱形．从而可对各选项进行判断．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质、菱形的判定．
6.【答案】D
【解析】解：原方程可化为x2−x−k=0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−1)2+4k>0，解得k>−14．
∵−3<−2<−1<−14<0，
∴四个选项中只有D符合．
故选：D．
先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据方程有两个不相等的实数根求出k的取值范围，进而可得出结论．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac的关系是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意得：10×30%+12×50%+15×20%=12(元)，
∴该校五月份学生每餐购买饭菜的平均费用是12元．
故选：D．
利用该校五月份学生每餐购买饭菜的平均费用=10×购买价格为10元饭菜的学生比例+12×购买价格为12元饭菜的学生比例+15×购买价格为15元饭菜的学生比例，即可求出结论．
本题考查了百分数的应用，根据各数量之间的关系，列式计算是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：解方程组3x+2y=19x+4y=23的解为x=3y=5，
设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得，
3x+y=112x+ay=24，
把x=3代入，得9+y=116+ay=24，
解得：y=2，
把y=2代入6+ay=24得，6+2a=24，
∴a=9，
故选：D．
设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意列出方程组，把x=3代入，求得a的值便可．
本题主要考查了二元一次方程组的应用，此题是一道材料分析题，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法，再解方程组．
9.【答案】A
【解析】解：过点F作FH⊥y轴于点H，
∵点C的坐标是(5,3)，
∴OB=5，BC=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=3，
∴OA=2，
由旋转的性质得，AG=GF=AB=3，∠AGF=∠ADC=90°，
在Rt△AOG中，由勾股定理得OG= AG2−OA2= 32−22= 5，
∵FH⊥y轴，
∴∠HFG+∠FGH=90°，
∵∠AGF=90°，
∴∠FGH+∠OGA=90°，
∴∠HFG=∠OGA，
在△HFG和△OGA中，
∠FHG=∠GOA=90°∠HFG=∠OGAGF=AG，
∴△HFG≌△OGA(AAS)，
∴HF=OG= 5，HG=OA=2，
∴OH=OG+HG= 5+2，
∴点F的坐标是( 5, 5+2)，
故选：A．
根据点C的坐标可得出OA=2，根据旋转的性质得出AG=AB=3，利用勾股定理求出OG的长，再证△HFG和△OGA全等，得出HF=OG= 5，HG=OA=2，从而得到点F的坐标．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴DE=12AB=12x，
∴AE= 32x，
∵AB=a，
∴BC=12AB=12a，
∴AC= 32a，
∴EC=AC−AE= 32a− 32x，
∴y=12x⋅( 32a− 32x)=− 34x2+ 34ax=− 34(x−a2)2+ 316a2，
由图2得， 316a2= 3，
∴a=4(舍去负值)．
故选：B．
利用a与x分别表示出DE和EC，列出y与x的函数关系式，化为顶点式结合图2，即可求出a值．
本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合图形分析题意并解答是解题关键．
11.【答案】y=x+1
【解析】解：设一次函数解析式为y=kx+b，
∵一次函数图象经过第一、二、三象限，
∴k>0，b>0，
∴当k=1，b=1时，一次函数解析式为y=x+1．
故答案为：y=x+1．
利用设一次函数解析式为y=kx+b，利用一次函数的性质得到k>0，b>0，然后写出一组满足条件的k、b的值即可．
本题考查了一次函数的性质，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质是解题的关键．
12.【答案】x≤−3
【解析】解：解不等式3x+1
所以，不等式组的解集为：x≤−3．
故答案为：x≤−3．
分别求出每一个不等式的解集，再找到公共部分即可得．
此题主要考查了求一元一次不等式组的解集，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键．
13.【答案】59
【解析】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有9种等可能性，其中摸出的两个球颜色不相同的有5种可能性，
∴摸出的两个球颜色不相同的概率为59，
故答案为：59．
根据两个袋中球的个数和颜色，可以画出相应的树状图，然后即可求得摸出的两个球颜色不相同的概率．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
14.【答案】( 3−13π)
【解析】解：连接DE，
在矩形ABCD中，AB= 3cm，AD=2cm，
∴CD=AB= 3cm，DE=AD=2cm(扇形的半径)，
∴cos∠EDC=CDDE= 32，
∴∠CDE=30°，
∴CE=12DE=1cm，∠ADE=90°−30°=60°，
∴阴影FCE的面积S1=S扇形DEF−S△CDE=30π×22360−12× 3×1=(13π− 32)cm2．
阴影ADE的面积S2=S矩形−S△CDE−S扇形ADE=2× 3−12× 3×1−60π×22360=(3 32−23π)cm2，
则图中阴影部分的面积为=13π− 32+3 32−23π=( 3−13π)cm2．
故答案为：( 3−13π)．
解直角三角形求得∠CDE=30°，进而求得∠ADE=60°；由直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质求出CE，再根据阴影FCE的面积S1=S扇形DEF−S△CDE、阴影ADE的面积S2=S矩形−S△CDE−S扇形ADE列式计算即可得解．
本题考查了矩形的性质，扇形的面积计算，解直角三角形，熟记性质并求出∠EDC=30°是解题的关键，也是本题的难点．
15.【答案】3 5或2 10
【解析】解：如图，过点A作AG⊥BC于G，
∵AB=AC=6 2，∠BAC=90°．
∴BC= 2AB=12，
∵AB=AC=6 2，∠BAC=90°，AG⊥BC，
∴AG=BG=CG=12BC=6，
设BD=x，则EC=BC−DE−BD=12−5−x=7−x，
由折叠得DF=BD，EF=EC，
在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2，
∴52=x2+(7−x)2，
解得x=3或4，
当BD=3时，DG=BG−BD=3，
∴AD= AG2+DG2= 62+32=3 5，
当BD=3时，DG=BG−BD=2，
∴AD= AG2+DG2= 62+22=2 10，
∴AD的长为3 5或2 10，
故答案为：3 5或2 10．
过点A作AG⊥BC于G，根据等腰直角三角形的性质可得AG=BG=CG=12BC=6，设BD=x，则EC=BC−DE−BD=12−5−x=7−x，在Rt△DEF中，利用勾股定理可得x=3或4，分两种情况：当BD=3时，当BD=3时，分别求解即可．
考查考查翻折变换，等腰直角三角形的性质、轴对称的性质、勾股定理，理解轴对称的性质是解决问题的关键．
16.【答案】解：(1)3−8−(12)−2+( 3)0
=−2−4+1
=−5；
(2)x2−4x÷(x2+4x−4)
=(x+2)(x−2)x÷x2+4−4xx
=(x+2)(x−2)x⋅x(x−2)2
=x+2x−2．
【解析】(1)先化简，然后计算加减法即可；
(2)先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】77.5 没有达到
【解析】解：(1)把30名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是77、78，故中位数为77+782=77.5(分)，
因为小明同学的竞赛成绩为77分，小于中位数77.5分，所以他的成绩没有达到中上等水平．
故答案为：77.5，没有达到；
(2)900×10+7+530=660(名)，
答：估计八年级学生本次竞赛成绩合格的学生人数大约为660名；
(3)该校八年级学生“防灾减灾”知识的掌握情况达到良好约占7+530×100%=40%，良好比例不高，学校需要加强“防灾减灾”知识的宣传和学习力度．
(1)根据中位数的定义解答即可；
(2)用900乘样本中达到70分所占比例即可；
(3)求出样本中成绩达到80分所占百分比，再进行合理的评价即可．
本题考查频数分布表、中位数、样本估计总体，理解中位数、样本估计总体的方法是正确求解的前提．
18.【答案】解：(1)∵当发动机的输出功率一定时，输出的扭矩M(使物体发生转动的力矩，单位为N⋅m)与发动机转速n(发动机曲轴的转动速度，单位为kr/min)之间成反比例函数关系，
∴可设M=kn，
将n=2，M=300代入，得k=2×300=600，
∴M关于n的函数表达式为M=600n；
(2)当M=240N⋅m时，n=600240=2.5(kr/min)，
M=500N⋅m时，n=600500=1.2(kr/min)，
∵反比例函数M=600n(n>0)，M随n的增大而减小，
∴此场景中该发动机转数n的取值范围为1.2≤n≤2.5．
【解析】(1)设M=kn，将n=2，M=300代入即可求出函数关系式；
(2)将M=240，M=500代入解析式，求出n的值，即可得到n的取值范围．
本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
19.【答案】解：设点D与点F的水平距离DM=x m．
过点C作CN⊥AD交AD延长线于点N，交直线l于点H，则四边形ABHN，ABED，CFMN是矩形，
则MN=CF=2×3=6m，BE=AD=3m，FM=CN，NH=AB=1.8m，
∴AN=3+x+6=(9+x)m，
在Rt△ACN中，∠CAN=45°，
∴∠ACN=45°=∠CAN，
∴FM=CN=AN=9+x，
在Rt△DFM中，tan∠FDM=FMDM，∠FDM=72.6°，
∴9+xx≈3.2，
解得：x≈4.09，
∴CH=9+4.09+1.8=10.89≈10.9(m)．
即点C离地面的距离约为10.9m．
【解析】设点D与点F的水平距离DM=x m.过点C作CN⊥AD交AD延长线于点N，交直线l于点H，则四边形ABHN，ABED，CFMN是矩形，则MN=CF=2×3=6m，BE=AD=3m，FM=CN，可得AN=(x+9)m，证得FM=CN=AN=9+x，在Rt△DFM中，根据锐角三角函数，可得x的值，即可求解．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设B种图书价格为 x 元，则A种图书价格为 (x+10)元，
由题意得：1600x+10=1200x，
解得：x=30，
检验：当x=30时，x(x+30)≠0，
∴x=30 是原分式方程的解，
∴x+10=30+10=40，
∴A种图书的价格是 40 元，B种图书的价格是 30 元；
(2)设购进A种图书m本，该书店获利w元，则购进B种图书(100−m)本，
∵用于购买这100本图书的资金不超过3600元，
∴40m+30(100−m)≤3600，
解得m≤60，
根据题意得：w=(60−40)m+(45−30)(100−m)=5m+1500，
∵5>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=60时，w取最大值，最大值为5×60+1500=1800，
此时100−m=100−60=40，
∴购进A种图书60本，购进B种图书40本，才能获利最大，最大利润是1800元．
【解析】(1)设B种图书价格为 x 元，可得：1600x+10=1200x，解方程并检验可得答案；
(2)设购进A种图书m本，该书店获利w元，由用于购买这100本图书的资金不超过3600元，知40m+30(100−m)≤3600，m≤60，而w=(60−40)m+(45−30)(100−m)=5m+1500，由一次函数性质可得答案．
本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程，不等式和函数关系式．
21.【答案】(1)证明：∵⊙D恰好与AB相切于点E，
∴∠AED=∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠AED=90°，
∵DC=DE，AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴∠CAD=∠EAD，
∴AD平分∠BAC；
(2)解：设⊙D的半径为r，
在Rt△ACB中，AB=10，AC=6，
∴BC= AB2−AC2= 102−62=8，
∵∠ACD=∠BED=90°，∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴BDBA=DEAC，
∴8−r10=r6，
解得：r=3，
∴⊙D的半径为3．
【解析】(1)先利用切线的性质可得∠AED=∠DEB=90°，然后利用HL证明Rt△ACD≌Rt△AED，从而利用全等三角形的性质可得∠CAD=∠EAD，即可解答；
(2)设⊙D的半径为r，然后在Rt△ACB中，利用勾股定理求出BC的长，再证明△BDE∽△BAC，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)抛物线的对称轴为x=−−4a2a=2，
由中点坐标公式得：2=12(x+1)，
则x=3，
即点B(3,0)；
(2)由(1)可设抛物线的表达式为：y=a(x−1)(x−3)=a(x2−4x+3)，
由(1)大致画出抛物线的图象如下：
抛物线的对称轴为x=2，
从图象看，点离抛物线对称轴越远，其对应的函数值越大，
即在−1≤m≤4时，
当m=−1时，函数取得最大值，
即n=a(m2−4m+3)=8a=6，
解得：a=34；
(3)∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴当点M、N关于直线x=2对称时，x1+x2=4，
∵x2−x1=4，
∴x1=0，x2=4，
此时y1=y2；
当x1<0时，y1>y2；
当x1>0时，y2>y1．
综上，当x1=时，y1=y2；当x1<0时，y1>y2；当x1>0时，y2>y1．
【解析】(1)抛物线的对称轴为x=−−4a2a=2，由中点坐标公式得：2=12(x+1)，则x=3，即可求解；
(2)从图象看，点离抛物线对称轴越远，其对应的函数值越大，即当−1≤m≤4时，当m=−1时，函数取得最大值，即可求解；
(3)抛物线的对称轴为直线x=2，当点M、N关于直线x=2对称时，x1+x2=4，x1=0，x2=4，此时y1=y2，进而分类求解．
此题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、对称性、二次函数与不等式的关系、判断函数值的大小，正确掌握二次函数的知识是解题的关键．
23.【答案】SAS ASA SAS ASA
【解析】解：(1)上述过程中的依据1是SAS；依据2是ASA；
故答案为：SAS，ASA；
(2)AB=BC+AD．
理由如下：延长AE，交BC的延长线于点F，
∵E是DC的中点，
∴DE=CE．
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠F．
又∵∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE(AAS)，
∴AD=FC．
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
又∵∠DAE=∠F，
∴∠BAE=∠F．
∴AB=BF．
(3)1.25或3.75．
当DE//BC时，分两种情况讨论：
①当点D在线段AC上时，CF和ED的延长线交于点G，可得此时点G在AB的中点处，
如图2所示．
∵DE//CB，
∴∠CBF=∠GEF，∠EGF=∠BCF，
∵EF=BF，
∴△CFB≌△GFE(AAS)，
∴CB=GE=3，CF=GF．
∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴AC= AB2−BC2=4．
∵∠EAD=∠CAB，∠ADE=∠ACB，
∴△AED∽△ABC．
∴ED：BC=AD：AC．
又∵AD=2，
∴ED=1.5．
在Rt△CDG中，CD=AC−AD=4−2=2，DG=EG−ED=3−1.5=1.5，
∴CG= 22+1.52=2.5，
∴CF=GF=12CG=1.25；
②当点D在CA的延长线上时，CF和DE的延长线交于点G，
如图3所示．
同理，在Rt△CDG中，CD=AC+AD=4+2=6，DG=EG+ED=3+1.5=4.5，
∴CG= 62+4.52=7.5．
∴CF=GF=12CG=3.75．
综上所述，当DE//BC时，线段CF的长为1.25或3.75．
(1)根据全等三角形的判定可得出结论；
(2)延长AE，交BC的延长线于点F，证明△ADE≌△FCE(AAS)，由全等三角形的性质得出AD=FC.证出∠BAE=∠F.则可得出结论；
(3)分两种情况：①当点D在线段AC上时，CF和ED的延长线交于点G，可得此时点G在AB的中点处；②当点D在CA的延长线上时，CF和DE的延长线交于点G，由勾股定理可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
2023年河南省商丘市柘城县中考数学九模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −8的绝对值是( )
A. 18 B. −18 C. 8 D. −8
2. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“科”字所在面相对的面上的汉字是( )
A. 创 B. 造 C. 未 D. 来
3. 2023年“五一”假期，文化和旅游行业复苏势头强劲，据统计，全国国内旅游出游合计2.74亿人次，同比增长70.83%，按可比口径恢复至2019年同期的119.09%，数据“2.74亿”用科学记数法表示为( )
A. 2.74×108 B. 2.74×109 C. 27.4×107 D. 0.274×109
4. 下列运算正确的是( )
A. 4ab−5ab=ab B. (−a)2⋅a3=−a5
C. (−a2b)3=−a6b3 D. (a−2b)2=a2−4b2
5. 如图，已知∠A，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与∠A的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接DC，BC，则四边形ABCD为菱形.其依据是( )
A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形
B. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D. 四条边相等的四边形是菱形
6. 若关于x的方程x2−x=k有两个不相等的实数根，则k的值可以是( )
A. −3 B. −2 C. −1 D. 0
7. 某校食堂有10元、12元、15元三种价格的饭菜供学生们选择(每人限购1份).五月份购买这三种价格饭菜的学生比例分别为30%，50%，20%，则该校五月份学生每餐购买饭菜的平均费用是( )
A. 10元 B. 8元 C. 15元 D. 12元
8. 《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是3x+2y=19x+4y=23在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为( )
A. B. C. D.
9. 如图，正方形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且点C(5,3).将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，得到正方形AEFG，若点D的对应点G恰好落在y轴正半轴上，则点F的坐标是( )
A. ( 5, 5+2) B. ( 5+2, 5) C. (3,5) D. ( 5,5)
10. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的长为a，动点D在AB边上从点A向点B运动，过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，设AD的长为x，矩形CEDF的面积为y，y随x变化的关系图象如图2所示，其中点P为图象的最高点，且纵坐标为 3，则a的值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 写一个经过第一、二、三象限的一次函数表达式：______ ．
12. 不等式组3x+1
14. 如图，在矩形ABCD中，AB= 3cm，AD=2cm，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交BC于点E，交DC的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为______ cm2．
15. 如图，在△ABC中，AB=AC=6 2，∠BAC=90°，AF在∠BAC内部，且AF=AB，分别将AB，AC向AF对折，使得AB，AC都与AF重合，折痕AD，AE分别交BC于点D，E.若DE=5，则AD的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)计算：3−8−(12)−2+( 3)0．
(2)化简：x2−4x÷(x2+4x−4)．
17. (本小题9.0分)
每年的5月12日是全国防灾减灾日.设立“防灾减灾日”一方面顺应社会各界对防灾减灾关注的诉求，另一方面提醒国民前事不忘，后事之师，更加重视防灾减灾，努力减少灾害损失.某校为了迎接“防灾减灾日”的到来，组织该校八年级学生开展了“防灾减灾”知识竞赛，从中随机抽取了30名学生的成绩(满分为100分)，信息如下．
a.成绩频数分布表：
成绩x(分)
x<60
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x≤100
人数
3
5
10
7
5
b.成绩在70≤x<80这一组的是：
70 72 72 73 74 75 77 78 78 79
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在抽取的样本中，成绩的中位数是______ 分，其中小明同学的竞赛成绩为77分，他的成绩______ (填“达到”或“没有达到”)中上等水平．
(2)若该校八年级参与本次竞赛的学生一共有900名，规定成绩达到70分为合格，估计八年级学生本次竞赛成绩合格的学生人数．
(3)若成绩达到80分为良好，请对该校八年级学生“防灾减灾”知识的掌握情况作出合理的评价．
18. (本小题9.0分)
当发动机的输出功率一定时，输出的扭矩M(使物体发生转动的力矩，单位为N⋅m)与发动机转速n(发动机曲轴的转动速度，单位为kr/min)之间成反比例函数关系，某兴趣小组通过对固定输出功率的发动机进行实验，得到对应的扭矩M和转速n的数据如表：
n(kr/min)
1.5
2
2.5
3
4
M(N⋅m)
400
300
240
200
150
(1)求出M关于n的函数表达式.(不必写出n的取值范围)
(2)某个使用场景需要此款发动机输出的扭矩不低于240N⋅m，但不超过500N⋅m，求此场景中该发动机转速n的取值范围．
19. (本小题9.0分)
我国的无人机水平位居世界前列，“大疆”无人机更是风靡海外.小华在一条东西走向的笔直宽阔的沿江大道上玩无人机航拍.已知小华身高AB为1.8m，无人机匀速飞行的速度是2m/s，当小华在B处时，测得无人机在C处的仰角为45°；3s后，小华沿正东方向前进3m到达E处，无人机沿正西方向匀速飞行到达F处，此时测得无人机在F处的仰角为72.6°，已知无人机的飞行路线CF平行于地面(直线l).求无人机在C处时距离地面的高度.(结果精确到0.1m，参考数据：sin72.6°≈0.95，cos72.6°≈0.30，tan72.6°≈3.20)
20. (本小题9.0分)
4月23日是“世界读书日”，随着全民阅读活动的推行，人们读书的热情日益高涨，图书的需求量不断增加，某书店为适应市场的需求决定购进A，B两种新书进行销售，已知每本A种图书的进价比B种图书贵10元，用1600元购进A种图书的数量和用1200元购进B种图书的数量相同．
(1)求A，B两种图书每本的进价．
(2)已知A种图书的售价为每本60元，B种图书的售价为每本45元，该书店决定购进这两种图书共100本，且用于购买这100本图书的资金不超过3600元，若A，B两种图书全部卖完，那么该书店如何进货才能获利最大？最大利润是多少元？
21. (本小题9.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6.在BC上取一点D，以D为圆心，CD长为半径作⊙D，⊙D恰好与AB相切于点E，连接AD，DE．
(1)求证：AD平分∠BAC．
(2)求⊙D的半径．
22. (本小题10.0分)
已知抛物线y=ax2−4ax+b(a>0)与x轴交于A(1,0)，B两点．
(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标．
(2)点P(m,n)是抛物线上的一个动点，当−1≤m≤4时，n的最大值为6，求a的值．
(3)点M(x1,y1)，N(x2,y2)在抛物线上，若x2−x1=4，请直接比较y1和y2的大小．
23. (本小题10.0分)
综合与实践
【操作发现】
甲、乙两位同学对“三角形中的中点问题”进行了讨论，过程如下：
如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是边AB上一点，连接ED．
甲同学：延长ED至点F，使DF=DE，连接CF，如图2所示．
∵D是BC的中点，∴BD=CD．
又∵DE=DF，∠BDE=∠CDF，∴△BDE△CDF.(依据1：______ )
乙同学：过点C作AB的平行线交ED的延长线于点F，如图3所示．
∵CF//AB，∴∠B=∠DCF．
又∵BD=CD，∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF.(依据2：______ )
(1)上述过程中的依据1是______ ，依据2是______ .(填“SAS”“ASA”或“AAS”)
【类比迁移】
(2)如图4，在四边形ABCD中，AD//BC，E是DC的中点，连接AE，BE，AE平分∠BAD，请根据(1)中的方法，判断线段AD，AB，BC之间的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
(3)如图5，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，以A为顶点作Rt△ADE，使∠ADE=90°，∠EAD=∠CAB，AD=2，连接BE，F为线段BE的中点.将△ADE绕点A在平面内旋转，当DE//BC时，请直接写出线段CF的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：|−8|=8，
故选：C．
运用实数绝对值的性质进行求解．
此题考查了实数绝对值的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识．
2.【答案】B
【解析】解：在原正方体中，与“科”字所在面相对的面上的汉字是造，
故选：B．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：2.74亿=274000000=2.74×108．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
本题主要考查科学记数法，掌握形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、4ab−5ab=−ab，故A不符合题意；
B、(−a)2⋅a3=a5，故B不符合题意；
C、(−a2b)3=−a6b3，故C符合题意；
D、(a−2b)2=a2−4ab+4b2，故D不符合题意；
故选：C．
利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】D
【解析】解：由作法得AD=AB=CD=CB，
所以四边形ABCD为菱形．
故选：D．
利用基本作图得到AD=AB=CD=CB，则根据菱形的判定方法可判断四边形ABCD为菱形．从而可对各选项进行判断．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质、菱形的判定．
6.【答案】D
【解析】解：原方程可化为x2−x−k=0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−1)2+4k>0，解得k>−14．
∵−3<−2<−1<−14<0，
∴四个选项中只有D符合．
故选：D．
先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据方程有两个不相等的实数根求出k的取值范围，进而可得出结论．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac的关系是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意得：10×30%+12×50%+15×20%=12(元)，
∴该校五月份学生每餐购买饭菜的平均费用是12元．
故选：D．
利用该校五月份学生每餐购买饭菜的平均费用=10×购买价格为10元饭菜的学生比例+12×购买价格为12元饭菜的学生比例+15×购买价格为15元饭菜的学生比例，即可求出结论．
本题考查了百分数的应用，根据各数量之间的关系，列式计算是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：解方程组3x+2y=19x+4y=23的解为x=3y=5，
设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得，
3x+y=112x+ay=24，
把x=3代入，得9+y=116+ay=24，
解得：y=2，
把y=2代入6+ay=24得，6+2a=24，
∴a=9，
故选：D．
设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意列出方程组，把x=3代入，求得a的值便可．
本题主要考查了二元一次方程组的应用，此题是一道材料分析题，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法，再解方程组．
9.【答案】A
【解析】解：过点F作FH⊥y轴于点H，
∵点C的坐标是(5,3)，
∴OB=5，BC=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=3，
∴OA=2，
由旋转的性质得，AG=GF=AB=3，∠AGF=∠ADC=90°，
在Rt△AOG中，由勾股定理得OG= AG2−OA2= 32−22= 5，
∵FH⊥y轴，
∴∠HFG+∠FGH=90°，
∵∠AGF=90°，
∴∠FGH+∠OGA=90°，
∴∠HFG=∠OGA，
在△HFG和△OGA中，
∠FHG=∠GOA=90°∠HFG=∠OGAGF=AG，
∴△HFG≌△OGA(AAS)，
∴HF=OG= 5，HG=OA=2，
∴OH=OG+HG= 5+2，
∴点F的坐标是( 5, 5+2)，
故选：A．
根据点C的坐标可得出OA=2，根据旋转的性质得出AG=AB=3，利用勾股定理求出OG的长，再证△HFG和△OGA全等，得出HF=OG= 5，HG=OA=2，从而得到点F的坐标．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴DE=12AB=12x，
∴AE= 32x，
∵AB=a，
∴BC=12AB=12a，
∴AC= 32a，
∴EC=AC−AE= 32a− 32x，
∴y=12x⋅( 32a− 32x)=− 34x2+ 34ax=− 34(x−a2)2+ 316a2，
由图2得， 316a2= 3，
∴a=4(舍去负值)．
故选：B．
利用a与x分别表示出DE和EC，列出y与x的函数关系式，化为顶点式结合图2，即可求出a值．
本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合图形分析题意并解答是解题关键．
11.【答案】y=x+1
【解析】解：设一次函数解析式为y=kx+b，
∵一次函数图象经过第一、二、三象限，
∴k>0，b>0，
∴当k=1，b=1时，一次函数解析式为y=x+1．
故答案为：y=x+1．
利用设一次函数解析式为y=kx+b，利用一次函数的性质得到k>0，b>0，然后写出一组满足条件的k、b的值即可．
本题考查了一次函数的性质，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质是解题的关键．
12.【答案】x≤−3
【解析】解：解不等式3x+1
所以，不等式组的解集为：x≤−3．
故答案为：x≤−3．
分别求出每一个不等式的解集，再找到公共部分即可得．
此题主要考查了求一元一次不等式组的解集，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键．
13.【答案】59
【解析】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有9种等可能性，其中摸出的两个球颜色不相同的有5种可能性，
∴摸出的两个球颜色不相同的概率为59，
故答案为：59．
根据两个袋中球的个数和颜色，可以画出相应的树状图，然后即可求得摸出的两个球颜色不相同的概率．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
14.【答案】( 3−13π)
【解析】解：连接DE，
在矩形ABCD中，AB= 3cm，AD=2cm，
∴CD=AB= 3cm，DE=AD=2cm(扇形的半径)，
∴cos∠EDC=CDDE= 32，
∴∠CDE=30°，
∴CE=12DE=1cm，∠ADE=90°−30°=60°，
∴阴影FCE的面积S1=S扇形DEF−S△CDE=30π×22360−12× 3×1=(13π− 32)cm2．
阴影ADE的面积S2=S矩形−S△CDE−S扇形ADE=2× 3−12× 3×1−60π×22360=(3 32−23π)cm2，
则图中阴影部分的面积为=13π− 32+3 32−23π=( 3−13π)cm2．
故答案为：( 3−13π)．
解直角三角形求得∠CDE=30°，进而求得∠ADE=60°；由直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质求出CE，再根据阴影FCE的面积S1=S扇形DEF−S△CDE、阴影ADE的面积S2=S矩形−S△CDE−S扇形ADE列式计算即可得解．
本题考查了矩形的性质，扇形的面积计算，解直角三角形，熟记性质并求出∠EDC=30°是解题的关键，也是本题的难点．
15.【答案】3 5或2 10
【解析】解：如图，过点A作AG⊥BC于G，
∵AB=AC=6 2，∠BAC=90°．
∴BC= 2AB=12，
∵AB=AC=6 2，∠BAC=90°，AG⊥BC，
∴AG=BG=CG=12BC=6，
设BD=x，则EC=BC−DE−BD=12−5−x=7−x，
由折叠得DF=BD，EF=EC，
在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2，
∴52=x2+(7−x)2，
解得x=3或4，
当BD=3时，DG=BG−BD=3，
∴AD= AG2+DG2= 62+32=3 5，
当BD=3时，DG=BG−BD=2，
∴AD= AG2+DG2= 62+22=2 10，
∴AD的长为3 5或2 10，
故答案为：3 5或2 10．
过点A作AG⊥BC于G，根据等腰直角三角形的性质可得AG=BG=CG=12BC=6，设BD=x，则EC=BC−DE−BD=12−5−x=7−x，在Rt△DEF中，利用勾股定理可得x=3或4，分两种情况：当BD=3时，当BD=3时，分别求解即可．
考查考查翻折变换，等腰直角三角形的性质、轴对称的性质、勾股定理，理解轴对称的性质是解决问题的关键．
16.【答案】解：(1)3−8−(12)−2+( 3)0
=−2−4+1
=−5；
(2)x2−4x÷(x2+4x−4)
=(x+2)(x−2)x÷x2+4−4xx
=(x+2)(x−2)x⋅x(x−2)2
=x+2x−2．
【解析】(1)先化简，然后计算加减法即可；
(2)先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】77.5 没有达到
【解析】解：(1)把30名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是77、78，故中位数为77+782=77.5(分)，
因为小明同学的竞赛成绩为77分，小于中位数77.5分，所以他的成绩没有达到中上等水平．
故答案为：77.5，没有达到；
(2)900×10+7+530=660(名)，
答：估计八年级学生本次竞赛成绩合格的学生人数大约为660名；
(3)该校八年级学生“防灾减灾”知识的掌握情况达到良好约占7+530×100%=40%，良好比例不高，学校需要加强“防灾减灾”知识的宣传和学习力度．
(1)根据中位数的定义解答即可；
(2)用900乘样本中达到70分所占比例即可；
(3)求出样本中成绩达到80分所占百分比，再进行合理的评价即可．
本题考查频数分布表、中位数、样本估计总体，理解中位数、样本估计总体的方法是正确求解的前提．
18.【答案】解：(1)∵当发动机的输出功率一定时，输出的扭矩M(使物体发生转动的力矩，单位为N⋅m)与发动机转速n(发动机曲轴的转动速度，单位为kr/min)之间成反比例函数关系，
∴可设M=kn，
将n=2，M=300代入，得k=2×300=600，
∴M关于n的函数表达式为M=600n；
(2)当M=240N⋅m时，n=600240=2.5(kr/min)，
M=500N⋅m时，n=600500=1.2(kr/min)，
∵反比例函数M=600n(n>0)，M随n的增大而减小，
∴此场景中该发动机转数n的取值范围为1.2≤n≤2.5．
【解析】(1)设M=kn，将n=2，M=300代入即可求出函数关系式；
(2)将M=240，M=500代入解析式，求出n的值，即可得到n的取值范围．
本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
19.【答案】解：设点D与点F的水平距离DM=x m．
过点C作CN⊥AD交AD延长线于点N，交直线l于点H，则四边形ABHN，ABED，CFMN是矩形，
则MN=CF=2×3=6m，BE=AD=3m，FM=CN，NH=AB=1.8m，
∴AN=3+x+6=(9+x)m，
在Rt△ACN中，∠CAN=45°，
∴∠ACN=45°=∠CAN，
∴FM=CN=AN=9+x，
在Rt△DFM中，tan∠FDM=FMDM，∠FDM=72.6°，
∴9+xx≈3.2，
解得：x≈4.09，
∴CH=9+4.09+1.8=10.89≈10.9(m)．
即点C离地面的距离约为10.9m．
【解析】设点D与点F的水平距离DM=x m.过点C作CN⊥AD交AD延长线于点N，交直线l于点H，则四边形ABHN，ABED，CFMN是矩形，则MN=CF=2×3=6m，BE=AD=3m，FM=CN，可得AN=(x+9)m，证得FM=CN=AN=9+x，在Rt△DFM中，根据锐角三角函数，可得x的值，即可求解．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设B种图书价格为 x 元，则A种图书价格为 (x+10)元，
由题意得：1600x+10=1200x，
解得：x=30，
检验：当x=30时，x(x+30)≠0，
∴x=30 是原分式方程的解，
∴x+10=30+10=40，
∴A种图书的价格是 40 元，B种图书的价格是 30 元；
(2)设购进A种图书m本，该书店获利w元，则购进B种图书(100−m)本，
∵用于购买这100本图书的资金不超过3600元，
∴40m+30(100−m)≤3600，
解得m≤60，
根据题意得：w=(60−40)m+(45−30)(100−m)=5m+1500，
∵5>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=60时，w取最大值，最大值为5×60+1500=1800，
此时100−m=100−60=40，
∴购进A种图书60本，购进B种图书40本，才能获利最大，最大利润是1800元．
【解析】(1)设B种图书价格为 x 元，可得：1600x+10=1200x，解方程并检验可得答案；
(2)设购进A种图书m本，该书店获利w元，由用于购买这100本图书的资金不超过3600元，知40m+30(100−m)≤3600，m≤60，而w=(60−40)m+(45−30)(100−m)=5m+1500，由一次函数性质可得答案．
本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程，不等式和函数关系式．
21.【答案】(1)证明：∵⊙D恰好与AB相切于点E，
∴∠AED=∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠AED=90°，
∵DC=DE，AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴∠CAD=∠EAD，
∴AD平分∠BAC；
(2)解：设⊙D的半径为r，
在Rt△ACB中，AB=10，AC=6，
∴BC= AB2−AC2= 102−62=8，
∵∠ACD=∠BED=90°，∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴BDBA=DEAC，
∴8−r10=r6，
解得：r=3，
∴⊙D的半径为3．
【解析】(1)先利用切线的性质可得∠AED=∠DEB=90°，然后利用HL证明Rt△ACD≌Rt△AED，从而利用全等三角形的性质可得∠CAD=∠EAD，即可解答；
(2)设⊙D的半径为r，然后在Rt△ACB中，利用勾股定理求出BC的长，再证明△BDE∽△BAC，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)抛物线的对称轴为x=−−4a2a=2，
由中点坐标公式得：2=12(x+1)，
则x=3，
即点B(3,0)；
(2)由(1)可设抛物线的表达式为：y=a(x−1)(x−3)=a(x2−4x+3)，
由(1)大致画出抛物线的图象如下：
抛物线的对称轴为x=2，
从图象看，点离抛物线对称轴越远，其对应的函数值越大，
即在−1≤m≤4时，
当m=−1时，函数取得最大值，
即n=a(m2−4m+3)=8a=6，
解得：a=34；
(3)∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴当点M、N关于直线x=2对称时，x1+x2=4，
∵x2−x1=4，
∴x1=0，x2=4，
此时y1=y2；
当x1<0时，y1>y2；
当x1>0时，y2>y1．
综上，当x1=时，y1=y2；当x1<0时，y1>y2；当x1>0时，y2>y1．
【解析】(1)抛物线的对称轴为x=−−4a2a=2，由中点坐标公式得：2=12(x+1)，则x=3，即可求解；
(2)从图象看，点离抛物线对称轴越远，其对应的函数值越大，即当−1≤m≤4时，当m=−1时，函数取得最大值，即可求解；
(3)抛物线的对称轴为直线x=2，当点M、N关于直线x=2对称时，x1+x2=4，x1=0，x2=4，此时y1=y2，进而分类求解．
此题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、对称性、二次函数与不等式的关系、判断函数值的大小，正确掌握二次函数的知识是解题的关键．
23.【答案】SAS ASA SAS ASA
【解析】解：(1)上述过程中的依据1是SAS；依据2是ASA；
故答案为：SAS，ASA；
(2)AB=BC+AD．
理由如下：延长AE，交BC的延长线于点F，
∵E是DC的中点，
∴DE=CE．
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠F．
又∵∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE(AAS)，
∴AD=FC．
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
又∵∠DAE=∠F，
∴∠BAE=∠F．
∴AB=BF．
(3)1.25或3.75．
当DE//BC时，分两种情况讨论：
①当点D在线段AC上时，CF和ED的延长线交于点G，可得此时点G在AB的中点处，
如图2所示．
∵DE//CB，
∴∠CBF=∠GEF，∠EGF=∠BCF，
∵EF=BF，
∴△CFB≌△GFE(AAS)，
∴CB=GE=3，CF=GF．
∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴AC= AB2−BC2=4．
∵∠EAD=∠CAB，∠ADE=∠ACB，
∴△AED∽△ABC．
∴ED：BC=AD：AC．
又∵AD=2，
∴ED=1.5．
在Rt△CDG中，CD=AC−AD=4−2=2，DG=EG−ED=3−1.5=1.5，
∴CG= 22+1.52=2.5，
∴CF=GF=12CG=1.25；
②当点D在CA的延长线上时，CF和DE的延长线交于点G，
如图3所示．
同理，在Rt△CDG中，CD=AC+AD=4+2=6，DG=EG+ED=3+1.5=4.5，
∴CG= 62+4.52=7.5．
∴CF=GF=12CG=3.75．
综上所述，当DE//BC时，线段CF的长为1.25或3.75．
(1)根据全等三角形的判定可得出结论；
(2)延长AE，交BC的延长线于点F，证明△ADE≌△FCE(AAS)，由全等三角形的性质得出AD=FC.证出∠BAE=∠F.则可得出结论；
(3)分两种情况：①当点D在线段AC上时，CF和ED的延长线交于点G，可得此时点G在AB的中点处；②当点D在CA的延长线上时，CF和DE的延长线交于点G，由勾股定理可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
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