高考数学一轮复习课时作业：23 三角函数的性质 Word版含解析

课时作业23　三角函数的性质

一、选择题

1．已知函数y＝2cosx的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是(　B　)

A．2   B．3

C.＋2   D．2－

解析：因为x∈，所以cosx∈－1，，故y＝2cosx的值域为[－2,1]，所以b－a＝3.

2．y＝|cosx|的一个单调增区间是(　D　)

A.   B．[0，π]

C.   D.

解析：将y＝cosx的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cosx|的图象(如图)．故选D.

3．下列函数中，周期为π的奇函数为(　A　)

A．y＝sinxcosx   B．y＝sin2x

C．y＝tan2x   D．y＝sin2x＋cos2x

解析：y＝sin2x为偶函数；y＝tan2x的周期为；y＝sin2x＋cos2x为非奇非偶函数，故B、C、D都不正确，故选A.

4．设函数f(x)＝(x∈R)，则f(x)(　A　)

A．在区间上是增函数

B．在区间上是减函数

C．在区间上是增函数

D．在区间上是减函数

解析：函数f(x)＝(x∈R)的图象如图所示，

由图可知函数f(x)＝(x∈R)在区间上是增函数．故选A.

5．(2019·西安八校联考)已知函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝时取得最小值，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是(　A　)

A．[，π]   B．[，]

C．[0，]   D．[，π]

解析：因为0<θ<π，所以<＋θ<，又f(x)＝cos(x＋θ)在x＝时取得最小值，所以＋θ＝π，θ＝，所以f(x)＝cos(x＋)．由0≤x≤π，得≤x＋≤.由π≤x＋≤，得≤x≤π，所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间是[，π]，故选A.

6．将函数f(x)＝sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象关于直线x＝对称，则ω的最小值是(　D　)

A．6   B.

C.   D.

解析：将函数f(x)＝sinωx的图象向右平移个单位长度，可得到函数f(x)＝sinωx－＝sin的图象．因为所得图象关于直线x＝对称，所以ω·－＝＋kπ，k∈Z，即ω＝－－3k，k∈Z.因为ω>0，所以当k＝－1时，ω取得最小值，故选D.

7．(2019·福州四校联考)函数f(x)＝sinωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，并且函数g(x)在区间[，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则实数ω的值为(　C　)

A.   B.

C．2   D.

解析：因为将函数f(x)＝sinωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，所以g(x)＝sinω(x－)，又函数g(x)在区间[，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，所以g()＝sin＝1且≥，所以所以ω＝2，故选C.

二、填空题

8．若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝.

解析：因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ(k∈Z)，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.

9．设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为2.

解析：f(x)＝3sin的周期T＝2π×＝4，f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为＝2.

10．(2019·内蒙古包头一模)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，，若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则φ＝.

解析：由f(x)的最小正周期大于2π，得>.又f＝2，f＝0，得＝－＝，所以T＝3π，则＝3π⇒ω＝，所以f(x)＝2sin(ωx＋φ)＝2sin.由f＝2sin＝2⇒sin＋φ＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又|φ|<，取k＝0，得φ＝.

三、解答题

11．(2019·吉林长春调研)已知函数f(x)＝a·sin＋b＋a.

(1)当a＝1时，求f(x)的单调递增区间；

(2)当a<0，且x∈[0，π]时，f(x)的值域是[3,4]，求a，b的值．

解：(1)当a＝1时，f(x)＝sin＋b＋1，

所以当2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，即2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，f(x)是增函数，故f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．

(2)因为x∈[0，π]，所以≤x＋≤，

所以－≤sin≤1.

又因为a<0，所以a≤asin≤－a，

所以a＋a＋b≤f(x)≤b.

而f(x)的值域是[3,4]，所以a＋a＋b＝3，b＝4，解得a＝1－，b＝4.

12．(2019·北京东城区检测)已知函数f(x)＝2sinax·cosax＋2cos2ax－1(0<a≤1)．

(1)当a＝1时，求函数f(x)在区间上的最大值与最小值；

(2)当f(x)的图象经过点时，求a的值及函数f(x)的最小正周期．

解：(1)当a＝1时，f(x)＝2sinx·cosx＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin.

因为≤x≤，所以≤2x＋≤.所以当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2，

当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1.

(2)因为f(x)＝2sinax·cosax＋2cos2ax－1(0<a≤1)，所以f(x)＝sin2ax＋cos2ax＝2sin.

因为f(x)的图象经过点，

所以2sin＝2，即sin＝1.

所以＋＝＋2kπ(k∈Z)．

所以a＝3k＋(k∈Z)．

因为0<a≤1，所以a＝.

所以f(x)的最小正周期T＝＝2π.

13．(2019·北京汇文中学月考)设函数f(x)＝cos2x＋bsinx＋c，则f(x)的最小正周期(　B　)

A．与b有关，且与c有关  B．与b有关，但与c无关

C．与b无关，且与c无关  D．与b无关，但与c有关

解析：f(x)＝cos2x＋bsinx＋c＝＋bsinx＋c＝cos2x＋bsinx＋c＋，若b＝0，f(x)＝cos2x＋c＋，此时最小正周期为π，若b≠0，则显然有f(x＋2π)＝f(x)，故其最小正周期是2π，而c不影响周期．

综上所述，f(x)的最小正周期与b有关，但与c无关，故选B.

14．(2019·西北师大附中二模)已知函数f(x)＝sin(2x＋θ)－cos(2x＋θ)(－π<θ<0)的图象关于点对称，记f(x)在区间上的最大值为n，且f(x)在[mπ，nπ](m<n)上单调递增，则实数m的最小值是.

解析：由题意知f(x)＝2sin2x＋θ－，又其图象关于点对称，所以2×＋θ－＝kπ，k∈Z.

又－π<θ<0，得θ＝－，所以f(x)＝2sin.

当x∈时，2x－∈，在此区间上，f(x)max＝2，所以n＝2.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得f(x)的单调递增区间为，k∈Z.又f(x)在[mπ，2π]上单调递增，所以k＝2，则m的最小值为.

15．(2019·河北、河南重点中学联考)若对于任意x∈R都有f(x)＋2f(－x)＝3cosx－sinx，则函数f(2x)图象的对称中心为(　D　)

A.(k∈Z)  B.(k∈Z)

C.(k∈Z)  D.(k∈Z)

解析：因为f(x)＋2f(－x)＝3cosx－sinx，所以f(－x)＋2f(x)＝3cosx＋sinx.

解得f(x)＝cosx＋sinx＝sin，

所以f(2x)＝sin.

令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)．所以f(2x)图象的对称中心为(k∈Z)．

16．(2019·河北衡水中学、河南顶级名校联考)若函数f(x)＝2asin(2x＋θ)(0<θ<π)，a是不为零的常数，f(x)在R上的值域为[－2,2]，且在区间上是单调减函数，则a和θ的值是(　B　)

A．a＝1，θ＝  B．a＝－1，θ＝

C．a＝1，θ＝  D．a＝－1，θ＝

解析：∵sin(2x＋θ)∈[－1,1]，且f(x)∈[－2，2]，∴2|a|＝2，∴a＝±1.当a＝1时，f(x)＝2sin(2x＋θ)，其最小正周期T＝＝π，∵f(x)在区间内单调递减，且－＝，为半个周期，∴f(x)max＝f＝2sinθ－π＝2，∴θ－π＝2kπ＋(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋π(k∈Z)．又0<θ<π，∴a＝1不符合题意，舍去．当a＝－1时，f(x)＝－2sin(2x＋θ)在上单调递减，∴f(x)max＝f＝－2sinθ－π＝2，∴sinθ－π＝－1，∴θ－π＝2kπ－(k∈Z)，θ＝2kπ＋(k∈Z)．又∵0<θ<π，∴当k＝0时，θ＝，∴a＝－1，θ＝.故选B.