高考数学一轮复习检测：第3章第3节 三角函数的图象与性质 含解析

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1．(2018·河北枣强中学二模)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为减函数的是(　　)

A．y＝sin 2x　　　　　　　 B．y＝2|cos x|

C．y＝cos   D．y＝tan(－x)

解析：选D.A选项，函数在上单调递减，在上单调递增，故排除A；B选项，函数在上单调递增，故排除B；C选项，函数的周期是4π，故排除C.故选D.

2．(2018·银川二模)函数y＝－2cos2＋1是(　　)

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为的奇函数

D．最小正周期为的非奇非偶函数

解析：选A.因为y＝－2cos2＋1

＝－＋1＝sin 2x.y＝sin 2x是最小正周期为π的奇函数．故选A.

3．(2018·北京东城质检)若函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，则|φ|的最小值为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选A.由题意得3cos＝3cos(＋φ＋2π)＝3cos＝0，

∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z.

取k＝0，得|φ|的最小值为.

4．(2018·兰州模拟)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a<b<c  B．c<a<b

C．b<a<c  D．b<c<a

解析：选B.f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，因为函数f(x)在上单调递增，所以f<f，而c＝f＝2sin ＝2sin ＝f(0)<f，所以c＜a＜b.

5．函数y＝sin x2的图象是(　　)

解析：选D.因为y＝sin x2为偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，排除A，C选项；当x2＝，即x＝± 时，ymax＝1，排除B选项．

6．(2018·安徽师大附中月考)设ω>0，m>0，若函数f(x)＝msin cos 在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D．[1，＋∞)

解析：选B.f(x)＝msin cos ＝msin ωx，若函数在区间上单调递增，则＝≥＋＝，即ω∈.

7．(2018·江南十校联考)已知函数f(x)＝cos－cos 2x，其中x∈R，给出下列四个结论：①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数；②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x＝；③函数f(x)图象的一个对称中心为；④函数f(x)的递增区间为，k∈Z.则正确结论的个数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选C.由已知得，f(x)＝cos－cos 2x＝cos 2xcos －sin 2xsin －cos 2x＝－sin，不是奇函数，故①错误；当x＝时f＝－sin＝1，故②正确；当x＝时f＝－sin π＝0，故③正确；令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，故④正确．综上，正确的结论个数为3.

8．(2018·北京卷)设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．

解析：∵f(x)≤f对任意x∈R恒成立，∴f为f(x)的最大值，∴f＝cos＝1，∴ω－＝2kπ，解得ω＝8k＋，k∈Z，又∵ω>0，∴当k＝0时，ω的最小值为.

答案：

9．(2018·广东茂名二模)已知ω＞0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________．

解析：由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易知|PQ|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，其中|y2－y1|＝－(－)＝2，|x2－x1|为函数y＝2sin ωx－2cos ωx＝2sin的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(2)2＝＋(2)2，ω＝.

答案：

10．(2017·浙江卷)已知函数f(x)＝sin2 x－cos2 x－2sin xcos x(x∈R)．

(1)求f的值；

(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．

解：(1)由sin ＝，cos ＝－，得

f＝－－2××，

所以f＝2.

(2)由cos 2x＝cos2 x－sin2 x与sin 2x＝2sin xcos x得

f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin.

所以f(x)的最小正周期是π.

由正弦函数的性质得

＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

所以f(x)的单调递增区间是

(k∈Z)．

B级　能力提升练

11．(2018·厦门质检)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为(　　)

A.  B．2

C.  D．

解析：选D.因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，

所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，

所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤·，

即ω2≤，即ω2＝，所以ω＝.

12．(2018·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，f(α)＝－1，f(β)＝1，若|α－β|的最小值为，且f(x)的图象关于点对称，则函数f(x)的单调递增区间是(　　)

A.，k∈Z

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

解析：选B.由题意可知f(x)的最小正周期T＝4|α－β|min＝4×＝3π，则＝3π，ω＝，

因为f(x)的图象关于点对称，所以

2sin＋1＝1，即sin＝0.

因为|φ|<，所以φ＝－，

则f(x)＝2sin ＋1.

令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，

解得3kπ－≤x≤3kπ＋π，k∈Z，

所以函数f(x)的单调递增区间是[－＋3kπ，π＋3kπ]，k∈Z，选B.

13．(2018·唐山调研)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．

解析：由f(x)在区间上具有单调性，且f＝－f知f(x)有对称中心，由f＝f知，f(x)有对称轴x＝＝π.记f(x)的最小正周期为T，则T≥－，即T≥π.故π－＝＝，解得T＝π.

答案：π

14．已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos(x－)－.

(1)求f(x)的定义域与最小正周期；

(2)讨论f(x)在区间上的单调性．

解：(1)f(x)的定义域为.

f(x)＝4tan xcos xcos－

＝4sin xcos－

＝4sin x－

＝2sin xcos x＋2sin2 x－

＝sin 2x＋(1－cos 2x)－

＝sin 2x－cos 2x

＝2sin.

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)令z＝2x－，函数y＝2sin z的单调递增区间是，k∈Z.

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，

得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

设A＝，

B＝，易知A∩B＝.

所以，当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．

15．(2017·山东卷)设函数f(x)＝sin＋sin(ωx－)，其中0<ω<3，已知f＝0.

(1)求ω；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．

解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx

＝sin ωx－cos ωx

＝

＝sin.

由题设知f＝0，

所以－＝kπ，k∈Z.

故ω＝6k＋2，k∈Z，又0<ω<3，

所以ω＝2.

(2)由(1)得f(x)＝sin，

所以g(x)＝sin＝sin

因为x∈，

所以x－∈.

当x－＝－，

即x＝－时，g(x)取得最小值－.

C级　素养加强练

16．已知a>0，函数f(x)＝－2a·sin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.

(1)求常数a，b的值；

(2)设g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．

解：(1)∵x∈，

∴2x＋∈.

∴sin∈，

∴－2asin∈[－2a，a]．

∴f(x)∈[b，3a＋b]，

又∵－5≤f(x)≤1，

∴b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.

(2)由(1)得，f(x)＝－4sin－1，

g(x)＝f

＝－4sin－1

＝4sin－1，又由lg g(x)>0，得g(x)>1，

∴4sin－1>1，

∴sin>，

∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，

其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，

g(x)单调递增，即kπ<x≤kπ＋，k∈Z，

∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.

又∵当2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z时，

g(x)单调递减，即kπ＋<x<kπ＋，k∈Z.

∴g(x)的单调减区间为，k∈Z.