湘教版2.5 直线与圆的位置关系精品教学设计及反思

2.5.4 三角形的内切圆

【知识与技能】

1.理解三角形内切圆的定义，会求三角形的内切圆的半径.

2.能用尺规作三角形的内切圆.

【过程与方法】

经历作一个三角形的内切圆的过程,培养学生的作图能力.

【教学重点】

三角形内切圆的定义及有关计算.

【教学难点】

作三角形的内切圆及有关计算.

一、情境导入，初步认识

如图,已知△ABC,请作出△ABC的三条角平分线.

问:所作的三条角平分线是否相交于一点,这一点到三角形三边的距离是否相等,为什么?

归纳:三角形三条角平分线交点到三边距离相等.

二、思考探究，获取新知

1.三角形内切圆的作法

如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？

教师引导学生，作与三角形三边相切的圆，圆心到三角形的三条边的距离相等.

学生思考下列问题:

圆心如何确定?

学生回答:

【教学说明】分别作出∠B、∠C的平分线BM和CN.设它们相交于点I,那么点I到三边的距离相等.以点I为圆心,点I到BC的距离ID为半径作圆,则⊙I与△ABC的三条边都相切.

2.三角形内切圆的相关概念

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.

【教学说明】要将三角形的外心与内心区别开来,三角形的外心是三边垂直平分线的交点,三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,三角形的外心可以在三角形的内部、外部和边上,而三角形的内心只能在三角形内部.

3.例题讲解

例1如图,⊙O是△ABC的内切圆,已知∠A=70°,求∠BOC的度数.

解:∵⊙O是△ABC的内切圆，

∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB.

∵∠A=70°.∴∠ABC+∠ACB=110°.

∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)

=180°- (∠ABC+∠ACB)

=180°-×110°=125°.

例2如图所示，已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为______.

【解析】作OD⊥BC,OE⊥AB,连结OB,OC.由点O为内切圆的圆心,得∠ABO=∠CBO=∠BCO=30°,所以OB=OC，点D为BC的中点，即BD=1.设OD=r,则OB=2r.根据勾股定理，得12+r2=(2r)2,解得r= (舍去负值）.

答案:

【教学说明】本题还可以利用Rt△BOD中的条件，用三角函数或解直角三角形来解决比较容易.

四、运用新知，深化理解

1.下面说法正确的是()

A.与三角形两边相切的圆一定是三角形的内切圆

B.经过三角形的三个顶点的圆一定是三角形的内切圆

C.任意一个三角形都有且只有一个内切圆

D.任意一个三角形都有无数个内切圆

2.如图,△ABC的内切圆的半径为2cm,三边的切点分另为D、E、F,△ABC的周长为10cm，那么S△ABC=______cm2.

 第2题图    第3题图

3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC相切于D、E、F，半径r=2，则△ABC的周长为______.

4.如图，△ABC的内切圆分别与BC、AC、AB相切于点D、E、F，且AB=9cm,BC=14cm,AC=13cm,求AF、BD、CE的长.

第4题图       第5题图

5.如图,点E为△ABC的内心,AE交△ABC的外接圆于点D,求证:BD=ED=CD.

【教学说明】学生自主完成,加深对新知的理解.

【答案】1.C 2.10 3.30

4.解:AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm，

提示：设AF=AE=x,BF=BD=y,CE=CD=z,则有

解之即可.

5.解:连接BE,E为△ABC的内心,

∴∠BAD=∠CAD,

∴,

∴BD=CD.

又∠ABE=∠CBE,∠BED=∠BAD+∠ABE,

而∠EBD=∠CBE+∠CBD,

又∠CBD=∠CAD,

∴∠BED=∠EBD,

∴ED=BD,∴BD=ED=CD.

四、师生互动，课堂小结

1.这节课你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问，请与同学们交流一下.

2.本节课先学习了三角形内切圆的作法,接着讲述了三角形内切圆的相关概念,然后是三角形内心的有关计算.

1.教材P75第6、7题，P76第8题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课通过学生动手画三角形的内切圆,解决三角形的内切圆有关的题目,常和切线长定理相联系,学习时要体会到这一点.