备战2024年新高考五省新高考数学复习之大题精编 专题3 立体几何 解答题30题专项提分计划（安徽、吉林、黑龙江、云南、山西备战2024年新高考五省通用）

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专题3 立体几何

1．（云南省德宏州2023届高三上学期期末教学质量统一监测数学试题）如下图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点E，F分别是，上的动点，且．

(1)求证：平面；
(2)如果，PC与底面ABCD所成角的正弦值为，求平面PAE与平面AED夹角的余弦值．
2．（山西省吕梁市孝义市2023届高三上学期期末模拟数学试题）如图，在棱长为的正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC边上的中点，现以EF为折痕将点C旋转至点P的位置，使得为直二面角.

(1)证明：；
(2)求与面所成角的正弦值.
3．（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，点F在棱上，且P与E位于平面的两侧．

(1)证明：平面．
(2)若，且在上的投影向量为，求平面与平面夹角的余弦值．
4．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）如图，在四棱台中，底面四边形为菱形，，，平面.

(1)证明：；
(2)若是棱上一动点（含端点），平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值.
5．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）如图，在直三棱柱中，．

(1)若，求直线与直线所成角的余弦值；
(2)若为线段上一点，且，当时，求的长．
6．（2023·安徽淮北·统考一模）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，，，．

(1)求证：面面ABCD；
(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且平面BEQF，是否存在点Q，使得平面平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由．
7．（云南省红河州2023届高三第一次复习统一检测（一模）数学试题）如图，在多面体ABCDEF中，A，B，C，D四点共面，，，AF⊥平面ABCD，．

(1)求证：CD⊥平面ADF；
(2)若，，求平面和平面的夹角的余弦值．
8．（云南省曲靖市2023届高三第一次教学质量监测数学试题）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，M，N分别是线段AB，PC的中点．

(1)求证：MN平面PAD；
(2)在线段CD上是否存在一点Q，使得直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
9．（云南省楚雄州2023届高三上学期期末教育学业质量监测数学试题）如图，在边长为2的菱形ABCD中，，DE⊥平面ABCD，DE∥AF，BDE为等腰三角形，E，F在平面ABCD的同侧，且DE＝2AF，P为线段EF的中点.

(1)证明：AC⊥BE.
(2)在线段AC上是否存在点Q，使得PQ∥平面BEC?若存在，指出点Q的位置；若不存在，请说明理由.
(3)求二面角的余弦值.
10．（云南师范大学附属中学2023届高三上学期高考适应性月考卷（六）数学试题）如图，在四棱锥中，底面是矩形且，M为的中点，，．

(1)证明：平面；
(2)若，与平面所成的角为45°，求二面角的正弦值．
11．（云南民族大学附属中学2023届高三上学期期中诊断数学试题）如图，正三棱柱中，底面三角形ABC是边长为2的等边三角形，D为BC的中点.

(1)证明直线平面；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求该三棱柱的体积.
12．（云南省昆明市第一中学2023届高三第五次二轮复习检测数学试题）已知直四棱柱中，底面ABCD为菱形，E为线段上一点.

(1)证明：平面；
(2)若，则当点E在何处时，CE与所成角的正弦值为？
13．（吉林省梅河口市第五中学2023届高三下学期第一次模拟考试数学试题）如图，在正三棱柱中，D为棱上的点，E，F，G分别为AC，，的中点，．

(1)求证：；
(2)若直线FG与平面BCD所成角的正弦值为，求AD的长．
14．（吉林省（东北师大附中,长春十一高中,吉林一中,四平一中,松原实验中学）五校2023届高三上学期联合模拟考试数学试题）如图，在三棱柱中，平面ABC，D为线段AB的中点，，，，三棱锥的体积为8．

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
15．（吉林省长春市长春外国语学校2022-2023学年高三上学期期末数学试题）如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，平面平面ABCD，是斜边PA的长为的等腰直角三角形，E，F分别是棱PA，PC的中点，M是棱BC上一点．

(1)求证：平面平面PBC；
(2)若直线MF与平面ABCD所成角的正切值为，求锐二面角的余弦值．
16．（吉林省东北师范大学附属中学净月实验学校2022-2023学年高三上学期第二次校内摸底考试数学试题）如图，在三棱锥中，是外接圆的直径，垂直于圆所在的平面，、分别是棱、的中点．

(1)求证：平面；
(2)若二面角为，，求与平面所成角的正弦值．
17．（北京市人大附中2022届高三上学期数学收官考试之期末模拟试题）如图，在四棱锥中，面，，且.

(1)求证：；
(2)求锐二面角的余弦值；
(3)若的中点为M，判断直线与平面是否相交，如果相交，求出P到交点H的距离，如果不相交，说明理由.
18．（黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高三下学期开学测试数学试卷）已知在长方形中，，点是的中点，沿折起平面，使平面平面.

(1)求证：在四棱锥中，；
(2)若在线段上存在点，使二面角的余弦值为，求的值；
(3)在（2）的条件下，求点到平面的距离.
19．（黑龙江省实验中学2022-2023学年度高三下学期第一次模拟考试数学试题）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，，，E是PB的中点．

(1)求证：平面平面PBC；
(2)若二面角的余弦值为，求a的值；
(3)在（2）的条件下求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
20．（黑龙江省牡丹江市第一高级中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题）如图，在正方体中，分别是的中点.

(1)证明：平面；
(2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21．（黑龙江省鹤岗市第一中学2022-2023学年高三上学期第三次考试数学试题）如图1，在等腰直角三角形中，，点、分别在、上，且，，点，在上，且，把沿，折起，使得点，重合于点，如图2.

(1)求证：平面；
(2)记直线与平面所成角为，求证：.
22．（黑龙江省绥化市海伦市第一中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是DC的中点，将沿AE折起，使得点D到达点P的位置，且PB＝PC，如图2所示．F是棱PB上的一点．

(1)若F是棱PB的中点，求证：平面PAE；
(2)是否存在点F，使得二面角的余弦值为？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由．
23．（山西省忻州市2023届高三下学期百日冲刺数学试题）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，，平面ADE⊥平面ABCD，，．

(1)证明：BD⊥平面ACE．
(2)若平面CEF与平面ABFE夹角的余弦值为，求BF的长．
24．（山西省部分学校2023届高三上学期第五次联考数学试题）如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，，，，点E是棱上的一点（与，不重合）.

(1)求证：；
(2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
25．（山西大学附属中学校2023届高三上学期1月（总第七次）模块诊断数学试题）如图，等腰梯形中，//，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）.

(1)证明：；
(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.
26．（山西省太原市2023届高三上学期期末数学试题）如图，在三棱锥中，平面平面，，O为的中点．

(1)证明：；
(2)若是边长为1的等边三角形，点E在棱上，，且二面角
的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
27．（山西省2023届高三一模数学试题）如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，.

(1)求到平面的距离；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
28．（山西省阳泉市2023届高三上学期期末数学试题）如图，在三棱柱中，，，，D是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若三棱柱的体积是8，求平面与平面的夹角的大小．
29．（2023·吉林·统考二模）如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，，．

(1)记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；
(2)设点F在线段AP上，，求二面角的余弦值．
30．（云南省昆明市第一中学2023届高三第六次考前基础强化数学试题）在三棱锥中，，，M为棱BC的中点.

(1)证明：；
(2)若平面平面ABC，，，E为线段PC上一点，，求点E到平面PAM的距离.