备战2024年新高考五省新高考数学复习之大题精编 专题6 导数 解答题30题专项提分计划（安徽、吉林、黑龙江、云南、山西备战2024年新高考五省通用）

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【大题精编】备战2024五省新高考数学复习
专题6 导数 解答题30题专项提分计划
（安徽、吉林、黑龙江、云南、山西五省通用）

1．（山西省太原市2023届高三上学期期末数学试题）已知函数．
(1)若在处取得极大值，求的单调区间；
(2)若恰有三个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)的单调减区间为，单调增区间为和；
(2)

【分析】（1）求导之后，分解因式求出导函数的零点，按零点的大小分类讨论即可求解（2），显然是的零点，
则问题转化为方程，即恰有两个不为2的实数根，构造函数数形结合即可求解
【详解】（1）由题意得，
令，则或，
①当时，即时，
令，则：令，则，或，
∴在上递减，在上递增，
∴在处取得极小值，此时不符合题意；
②当时，即时，则，
∴在上递增，
∴在处不取极值，比时不符合题意
③当时，即时，
令，则；令，则，或，
∴在和上递增，在上递减，
∴在处取得极大值，此时符合题意；
综上，的单调减区间为，单调增区间为和
（2）由题意得，显然是的零点，
则方程，即恰有两个不为2的实数根，
令，则，
令，则；令，则，
∴在上递增，在上递减，
当时，的值域为；当时，的值域为，
∴，且，∴，且，
综上，实数a的取值范围为．
2．（2023山西太原期末数学试题）已知函数.
(1)若当时，直线与函数的图象相切，求实数a的值；
(2)设，若有两个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)2
(2)

【分析】（1）设切点为，由题意可得和，消去a得，，设，对求导，求出的单调性，最值即可得出实数a的值；
（2）对求导，讨论，和时的单调性，结合零点存在性定理，即可求出实数a的取值范围.
【详解】（1）设直线与函数的图象相切于点，
求导，得，
则，即①.
由题意知②，
由①②消去a得，.
设，，
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，，
所以有唯一零点1，即有唯一根1，
所以.
（2）由题意，知，，
则.
当时，，无零点；
当时，若，则，单调递增，若，则，
单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，，
欲使有两个零点，则，解得.
又，
且，所以，使.
易证当时，，所以，，
所以，
所以，使，故有两个零点.
当时，若，则，单调递增，若，则，
单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，，
欲使有两个零点，则，解得，
又，，且，
所以，，使.
综上，实数a的取值范围是.
3．（山西省运城市稷山县稷山中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题）设函数，且.
(1)求的取值范围；
(2)若，且，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）首先利用导数得到在内单调递增，再根据求解即可.
（2）首先根据得到，结合第（1）问得到，令，得到，即可证明结论.
【详解】（1）函数的定义域为，
因为，
故在内单调递增，
由，可知.
（2）因为，所以，
即，
即，
由（1）可知对任意，有，即，
因为，所以，
令，则有，
即，
则，
即，
即
故.
4．（黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）当时，对求导，求出，由点斜式方程即可得出答案；
（2）要使恒成立，即，对求导，讨论的单调性，即可求出.
【详解】（1）当时，，则，
因为，
所以曲线在点处的切线方程为：
，化简为：.
（2）要证恒成立，即
的定义域为，
，令，
，所以在上单调递增，
当趋近于正无穷，趋近于正无穷，趋近于0，
所以趋近于正无穷，
当趋近于1，趋近于，趋近于正无穷，
所以趋近于负无穷，
所以，使得，
即，
所以时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
所以

，
解得：.
5．（2022秋·山西运城·高三校考阶段练习）设函数.
(1)若曲线在点处的切线斜率为，求的值；
(2)若存在两个极值点，且对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或.

【分析】（1）求出，令，求解可得答案；
（2）令得，，当由可得，令，求导利用单调性可得答案； 当根据，令可得求解可得答案.
【详解】（1），
所以，解得；
（2），令得，
解得，或时且，
当即时，，对任意恒成立，
得可得，，
时成立，时，有在恒成立，
令，，所以在单调递减，
有，所以；
当即时，，对任意恒成立，求实数的取值范围，即在上恒成立，
因为，可得，
解得，
当即时，重合，不符合题意，
综上所述，或.
6．（云南省大理、丽江2023届高三毕业生第二次复习统一检测数学试题）已知函数在点处的切线l与直线垂直.
(1)求切线l的方程；
(2)判断在上零点的个数，并说明理由.
【答案】(1)
(2)在上有且只有一个零点，理由见解析

【分析】（1）首先求函数的导数，然后利用垂直关系求实数a的值，最后求切线方程；
（2）利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理，讨论函数的零点个数.
【详解】（1），
所以切线的斜率，由题意，解得.
所以，
所以，
所以切线l的方程为，即.
（2）由（1）知，所以，
由，可得，
令，
所以，
①当时，，
所以，
所以在上单调递增，
又因为，
所以在上无零点，
②当时，令，
所以，即在上单调递减，
又因为，
所以存在，使得，
所以在上单调递增，在单调递减，
因为，
所以在上且只有一个零点，
综上所述：在上有且只有一个零点.
7．（云南省曲靖市2023届高三第一次教学质量监测数学试题）已知函数的图像与直线l：相切于点．
(1)求函数的图像在点处的切线在x轴上的截距；
(2)求c与a的函数关系；
(3)当a为函数g（a）的零点时，若对任意，不等式恒成立．求实数k的最值．
【答案】(1)
(2)
(3)最大值为3，最小值为．

【分析】（1）利用导数求切线方程，进而求出截距；
（2）先求出函数在x＝1处的切线方程，对照系数消去b即可得到；
（3）把题意转化为对，不等式恒成立．对x分类讨论：①x＝0直接判断；②时，利用分离参数法得到恒成立．设，求得．利用导数求出；③当时，与②同，求出的范围．
【详解】（1），，，．
函数的图像在点处的切线方程是：.
令y＝0得，所以该切线在x轴上的截距等于．
（2），，函数的图像在x＝1处的切线方程是：，即，
两端乘以b变作：①．
又已知函数的图像在点处的切线方程是：②．
直线①与直线②重合，则③，④，联立③④消去b得，所以c与a的函数关系为：．
（3）函数的零点为a＝1，a＝1时．
对，恒成立，转化为对，不等式恒成立．
①当x＝0时，对恒成立，此时．
②当0＜x≤2时，恒成立．
设，求得．
0＜x≤2时，由得，由得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以当时，取得极小值，，此时．
③当时，恒成立．
与②同，设，．
令，则，在上单调递增．
所以，时，得，在上单调递减．
所以，时，取得最大值，此时．
整合①②③三种情形，得，且等号都取得到．
所以，实数k的最大值为3，最小值为．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）利用导数研究恒（能）成立问题．
8．（云南省昆明市第一中学2023届高三第六次考前基础强化数学试题）已知函数.
(1)若且存在零点，求实数a的取值范围；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)
(2).

【分析】(1)利用函数的导数与单调性的关系确定函数的零点，极值点即可求解；
(2)根据不同取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系，讨论函数的极值，进而可求解.
【详解】（1）因为，所以，
①当时，，此时在单调递增，
所以在存在唯一零点，
所以在存在唯一零点；
②当时，，所以在无零点；
③当时，，，
此时在单调递减，单调递增，
所以 ，且 ，
若存在零点，则只需要即可，
所以，
由①②③可得，实数的取值范围；
（2）①当时，，此时在单调递增，
当时与恒成立矛盾；
②当时，，则，所以，
③当时，，，
此时在单调递减，单调递增，
所以 ，
令，所以，
，，
所以在单调递增，单调递减，
，所以
由①②③可得，的最大值为.
9．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性:
(2)当时，恒成立，求a的取值范围;
(3)设，证明:.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)
(3)证明见解析

【分析】(1)根据导函数讨论单调性直接求解；
(2)利用导数讨论单调性，分和两者情况分别讨论求解；
(3)利用(2)的结论：当时，,令，化简可得,进而用累加法可证明.
【详解】（1）当时，，，
当时，，当时，，
所以，在上单调递减，在上单调递增.
（2），,
令，
,

①当，即时，因为，所以存在，
使得当时，，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
因为,所以在上单调递增，
则与矛盾，故舍去,
②当，即时，此时,
下面证明恒成立即可，即证,
令，,
所以在上单调递减，所以,
所以，即
综上可得，a的取值范围为.
（3）由（2）知当时，当时，,
即，令，则,
化简可得，,
所以,
即,
所以.
【点睛】关键点点睛：利用导数证明不等式：当时，,从而可得
，是本题的关键，常用函数不等式结合数列累加累乘等方法可证明数列不等式.
10．（2023·安徽淮北·统考一模）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，令
（ⅰ）证明：当时，；
（ⅱ）若数列满足：，，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析

【分析】（1）求出函数的导函数，对k讨论并判断的符号即可得到的单调性；
（2）（ⅰ）等价变形所证不等式为，构造函数，利用导数讨论单调性与最值，即可证明不等式；
（ⅱ）由已知等价变形所证不等式为，由（ⅰ）分析探讨，等价转化，再构造函数，利用递推变换即可证明．
【详解】（1）由题意得：
当时，恒成立，得在上单调递增；
当时，由得，
时，此时单调递增，
时，此时单调递减，
综上得：当时，在上单调递增，
当时，在单调递减，在上单调递增.
（2）（ⅰ）当时，，
欲证，只需证，即证，
记，，得，
故在上单调递减，得，．
故当时，成立．
（ⅱ）由（ⅰ）得当时，，
故当，得，进而，依次得，．
欲证，即证．
下面先证关系，即证，．
即，整理得即证：
记，，得
又，所以在上单调递增，有，
所以在上单调递增，得，，
故当，时，有，所以，．
故
又，得，所以
所以得证．
11．（山西省临汾市2023届高三下学期第一次高考考前适应性训练数学试题）已知函数是其导函数.
(1)讨论的单调性；
(2)对恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)

【分析】（1）求与，分类讨论与时，通过研究符号的正负来研究的单调性.
（2）分类讨论情形一：当时，恒成立；情形二：当时，恒成立，在情形一中分类讨论与时，在上是否恒成立，在情形二中分类讨论、与时，在上是否恒成立即可.
【详解】（1）函数的导函数，
当时，，所以在R上单调递增；
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综述：当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）因为对恒成立，
所以当时，；当时，，则，所以.
所以且连续不断.
，，
情形一：当时，
当时，在上单调递增，
又因为，所以在上单调递增，
所以，满足题意.
当时，由（1）知在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，
所以，不符合题意.
情形二：当时，
当时，由，知不恒成立；.
当时，，易知恒成立.
当时，
由（1）知的最小值，
所以在单调递增，而，所以成立.
综上可得的取值范围为.
【点睛】利用导数证明不等式的策略：
（1）构造函数，将不等式转化为函数的最值问题；
（2）将不等式转化为两个函数的最值进行比较；
（3）导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明.
12．（山西省2023届高三一模数学试题）已知.
(1)若的最小值为，求的值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由题知时不满足题意，时，再令并研究其性质得，进而得；
（2）令，将已知不等式等价于，进而结合的单调性得，再结合（1）当时，恒成立得，再解不等式即可得答案.
【详解】（1）解：，定义域为，
①当时，在恒成立，单调递增，
又，故当时，，不满足题意，舍去；
②当时，由得，得，
所以，在上单调递减，在上单调递增，
所以.
令，则，
令，得，，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，当的最小值为时，即时，解得.
所以
（2）解：由（1）知：当时，恒成立，
等价于，
又等价于.
令，则上述不等式等价于
因为恒成立，
所以，在上单调递增，.
所以等价于，即，
因为当时，恒成立，
所以，故，解得.
所以，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：本题第二问解题的方法在于构造函数，进而将已知不等式转化为，进而结合单调性转化求解即可.
13．（山西省忻州市2023届高三下学期百日冲刺数学试题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)

【分析】（1）对函数求导，再对进行分类讨论，根据和，即可得函数的单调性；
（2）根据（1）的单调区间，对进行分类讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到的取值范围.
【详解】（1）由题意可得．
当时，由，得，
由，得，
则在上单调递减，在上单调递增．
当时，，则．
由，得或，
由，得，
则在上单调递减，在上单调递增．
当时，在R上恒成立，则在R上单调递增．
当时，，则．
由，得或，
由，得，
则在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）可知当时，在上单调递减，在上单调递增．
要使有两个零点，需至少满足，即．
当时，，
，
则在与上各有一个零点，即符合题意．
当时，只有一个零点，则不符合题意．
当时，由，当时，，，
则在上恒成立．
由（1）可知在上单调递增或先递减后递增，则不可能有两个零点，即不符合题意．
综上，a的取值范围为．
【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件对参数进行分类讨论，构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．
14．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期未）若函数.
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，均为正数，.证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）由恒成立，进行参变分离可得，构造函数，利用导数求出，只要即可；
（2）根据（1）的结论，知，则，即，，，，结合所给条件即可得解.
【详解】（1）（1），∴，∴，
∴设，，
当时，，当时，，
，∴；
（2）由（1），知，则，
，，，
累加可得，
又
所以，即.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数，考查了恒成立问题和数列的证明，计算量较大，属于难题.
本题的关键点有：
（1）恒成立问题进行参变分离，构造函数后只需即可；
（2）利用（1）的结论证明数列不等式.
15．（安徽省合肥市肥东县综合高中2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，且当时，函数恰好有两个极值点，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2).

【分析】(1)求函数的定义域，讨论确定的零点，划分区间确定各区间上的导数值的正负，判断函数的单调性；
(2)由已知有两个不相等正根，故方程有一个大于且不等于的根，
利用导数研究的单调性由此列不等式可求的取值范围．
【详解】（1）函数的定义域为，
，
令，
当时，，，所以，在上单调递增；
当时，，的两根为舍，，
若，，若，，
所以时，，单调递减；
时，，单调递增，
当时，，的两根为舍，(舍)，，所以，在上单调递增；
综上可知，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）当时，，
    
，
因为，为的零点，
要满足题意，则只需方程有一个大于且不等于的根，
令，，
所以在上单调递增，
因为，，
所以或，
即或，
所以，实数的取值范围是.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
16．（黑龙江省哈尔滨市第六中学校2023届高三上学期线上考试（2）数学试题）已知函数.
(1)证明：；
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）令，利用导数分析函数的单调性，可得出，即可证得结论成立；
（2）令，其中，由题意可知对任意的恒成立，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，验证对任意的能否恒成立，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）证明：令，，，
，由可得，由可得.
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，故原不等式得证.
（2）解：当时，由可得，
令，其中，
由题意可知对任意的恒成立，
，且，
令，其中，则，
令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，则.
①当时，即当时，对任意的，且不恒为零，
故函数在上为增函数，则且不恒为零，
故函数在上为增函数，则，合乎题意；
②当时，即当时，，
，
所以，存在，使得，
当时，，则，此时函数单调递减，
则当时，，即，故函数在上单调递减，
所以，，不合乎题意.
综上所述，.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键在于通过构造函数，且注意到，转化为恒成立，在确定导数符号时，本题需要二次求导，需要注意每次求导时函数单调性与导数之间的关系.
17．（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022-2023学年高三上学期1月月考数学试题）已知函数，其中为自然对数的底，.
(1)求证：；
(2)是否存在实数，使得恒成立？若存在，求的取值集合，若不存在请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）令，其中，利用导数法可得出，再利用余弦函数的有界性以及不等式的基本性质可证得结论成立；
（2）令，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，验证对任意能否恒成立，综合可得出实数的取值集合.
【详解】（1）证明：令，其中，则，.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，即，
故对任意的，.
（2）解：令，其中，
若存在实数，使得恒成立，则，其中，
令，令.
令.
①当时，由（1）可知，且不恒为零，、
此时，函数在上为增函数，
因为，所以，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，合乎题意；
②当时，，当时，，
当时，，
所以，函数在上为增函数，
因为，，
所以，存在，使得，
当时，，则函数在上单调递减，
则当时，，则函数在上单调递减，
当时，，则函数在上单调递减，
故当时，，不合乎题意；
③当时，若，则存在，使得，
且当时，；
若时，可取，当时，.
因此，当时，函数在上为增函数，
当时，，所以，函数在上为增函数，
当时，，所以，函数在上为增函数，
故当时，，不合乎题意.
综上所述，存在，使得恒成立，
故实数的取值集合为.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
18．（黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高三下学期开学测试数学试卷）设函数，.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若（其中）恒成立，求的最小值，并求出的最大值.
【答案】(1)答案见解析
(2)，且最大值为

【分析】（1）函数求导，利用导数分类讨论的单调性；
（2）恒成立，利用导数求最大值，由可构造出，再利用导数求的最大值.
【详解】（1）由于，则定义域为，
可得：，
当时，∵，∴，故在区间上单调递减；
当时，∵，∴由得，由可得，
故在区间单调递减，在区间上单调递增.
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）令，则对，都有成立.
因为，
所以当时，函数在在上单调递增，
注意到，∴这与恒成立矛盾，不成立；
当时，得，得
则在区间上单调递增，在上单调递减，
∴.
若对，都有成立，则只需成立，
，
当时，则的最小值，
∵，得，得，
∴函数在上递增，在上递减，∴，
即的最大值为.
【点睛】思路点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
19．（黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知函数是的导数．
(1)当时，求函数在上的最值；
(2)当时，方程有两个不同的实数根，求证：
【答案】(1)最大值为，最小值为．
(2)证明见解析

【分析】（1）利用导函数求的单调性，进而求最值即可；
（2）由已知可得的两实数根为，即是方程的两实根，得到韦达定理求出，设，证明即得证.
【详解】（1）当时，，，
则，
令解得，令解得，
所以在单调递减，在在单调递增，
所以在上的最大值为，最小值为.
（2）由题意可得，即的两实数根为，
所以是方程的两实根，
所以，即．
由得，

令，由得，
设．

所以函数在上递增，从而．
令，则，
所以函数在上递增，得，
所以函数，
因此，即得证．
【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键，其一是能想到换元得到的解析式；其二是求出后想到构造函数，求函数的最小值.
20．（黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题）已知函数.
(1)若，证明：；
(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】(1)证明不等式成立，即证明，建立新的函数，求导判断函数的单调性，求出最值即可判断.
(2)对的正负分类讨论，当时，可以直接去绝对值.当时，转化为分段函数求导，求函数的最值即可解决.
【详解】（1）证明：因为的定义域为，所以若，.
要证，即证，即证.
令，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以.
（2）若对任意的恒成立，
即对任意的恒成立.
令.
若，则.
由（1）知，所以，又，所以，
又，所以，符合题意；
若，令，在上恒成立，
所以在上单调递增，又，，
所以存在唯一的，使得，且，
所以，当时，，
所以，所以在上单调递减.
当时，，所以，
当时，在上单调递增，所以，
所以当时，，所以在上单调递增，
所以，解得.
设，，所以在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，即.
综上所述，a的取值范围为.
【点睛】不等式的恒成立问题通常都转化为函数最值问题，通过求导，判断单调性，即可求得函数的最值.当参数范围不确定时，需要进行分类讨论，求导求函数的最值.
21．（吉林省长春市长春博硕学校2022-2023学年高三上学期第五次月考数学试题）已知函数.
(1)若，求的极值点；
(2)证明：当时，曲线恒在图象的上方.
【答案】(1)为的极小值点，无极大值点
(2)证明见解析

【分析】（1）求导后，根据的正负可确定单调性，由极值点的定义可得结果；
（2）由可推导得到；根据所证结论可知只需证得即可；分别令、，利用导数可求得和，由可证得结论.
【详解】（1）当时，，则定义域为，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
是的极小值点，无极大值点.
（2）当时，，则，，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，；
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，；
，，
在上恒成立，即，，
又，，
即当时，曲线恒在图象的上方.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的极值点、证明两函数图象位置关系的问题；本题第二问求解的关键是能够结合放缩的思想去掉变量，将两函数图象位置关系的证明转化为不等式的证明问题，进而通过构造函数的方式进一步将问题转化为两函数最值之间关系的求解问题.
22．（吉林省长春市第五中学2022-2023学年高三上学期期未数学试题）已知．
(1)求的单调递增区间；
(2)若，且，证明．
【答案】(1)；
(2)证明见解析

【分析】（1）由导数法判断即可；
（2）由，结合函数单调性，讨论、均不能满足，故，
由分析法，等价于证，由导数法证恒小于0即可.
【详解】（1） 的定义域为 .
∵，仅当时取等号，
∴ 的单调递增区间为 .
（2）由题可得 ，
若 ， 则必有 ， 则 ；
若，则必有，则．
∴若，则．
要证，只需证，只需证，即证，
又，故只需证．
令．
则．
∵，∴，∴，
且，
∴，故在上单调递增．
∵，∴，∴，∴，得证.
【点睛】（1）由，则可知本题为极值点偏移的证明题；
（2）由函数单调性、，可分别判断、均不能满足，故；
（3）最后由分析法，等价于证，由导数法证恒小于0即可.
23．（吉林省吉林市普通中学2022-2023学年高三第二次调研测试数学试题）已知函数.
(1)判断的单调性；
(2)设函数，记表示不超过实数的最大整数，若对任意的正数恒成立，求的值.
（参考数据：，）
【答案】(1)在上单调递减
(2)

【分析】（1）对函数求导判断出导函数恒小于等于0，即可得在上单调递减；
（2）利用导函数判断出函数的单调性，并根据不等式可得出以及的取值范围，代入整理可得，再根据函数的定义和参考数据即可求得结果.
【详解】（1）函数的定义域是，
易知恒成立，
∴在上单调递减.
（2），定义域是，
则，
令，则；令，则.
∴在上单调递增，在上单调递减.
∵，，.
∴存在，使，即.
当时，；当或时，
∵
当时，；当或时，.
∴1和是方程的两个不等实数根.
∴，由韦达定理.
∴，，∴.
即
∴
又由，∴
又，∴
所以（其中）
由（1）知在区间上单调递减
且，.
∴.
即.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出函数最值以后，将不等式恒成立问题转化成研究二次函数的根的分布情况得出参数的关系式，然后对进行化简求解即可.
24．（2023·云南·统考模拟预测）已知，函数的最小值为2，其中，．
(1)求实数a的值；
(2)，有，求的最大值．
【答案】(1)；
(2)1.

【分析】(1)根据题意求出函数的解析式，利用导数讨论函数的单调性，求出函数的最小值，列出方程，解之即可；
(2)根据题意可得，即在上恒成立且在上恒成立，利用导数分别研究函数和的单调性，进而求出、，由可得，即可求解.
【详解】（1）由题意知，，
则，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
所以，解得，
经检验，符合题意.
故.
（2）由，得
，即，
对于，可得不等式在R上恒成立，
即在R上恒成立，
设，则，
若，则，函数在R上单调递增，
且，符合题意；
若，令，令，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由，得，即①；
对于，可得不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
若，则，不符合题意；
若，令，令，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
由，得，即②.
当时，由①②得，，即，
设，则，，
故存在零点，故当且仅当，时等号成立.
综上，的最大值为1.
【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的方法
(1)分离参数法求范围：若或恒成立，只需满足或即可，利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而解决问题；
(2)把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.
25．（吉林省实验繁荣高级中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知函数设函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数存在两个极值点，证明：
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再对分类讨论，讨论的符号，的单调性，即可得出答案．
（2）求导得，，又存在，为的极值点，则，即的存在两个根为，，且，，由韦达定理可得，，要证明存在，，使得，即证明存在，，，即可得出答案．
【详解】（1）解：因为定义域为，
则，
令，解得或，
若，则当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增；
若，则当或时，当时，
所以在上单调递减，在和上单调递增；
若，则在上恒成立，所以在上单调递增；
若，则当或时，当时，
所以在上单调递减，在和上单调递增；
综上可得：当时在上单调递减，在上单调递增，
当时在上单调递减，在和上单调递增，
当时在上单调递增，
当时在上单调递减，在和上单调递增.
（2）证明：因为，，
所以，，
则，
又存在，为的极值点，则，
所以的两个根为，，且，，
即的存在两个根为，，且，，
所以，，
因为，，
所以，即，
要证明存在，，使得，
即证，
即证明存在，，使得，
又，
即证明存在，，，
即证明存在，，，
即证明存在，，，
即证明存在，，，
令，则当时，，
所以需要证明在上存在区间单调递增，
因为，
所以当时，，即在上单调递增，得证．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
26．（云南省德宏州2023届高三上学期期末教学质量统一监测数学试题）已知函数，．当时，在上的最大值为．
(1)求实数a的值；
(2)，有．当时，求的最大值．
【答案】(1)1
(2)当时，；当时，

【分析】（1）利用导数判断出函数的单调性，写出最大值的表达式即可求得实数a的值；（2）将不等式化简变形可得不等式组在上恒成立，分别构造函数使其在上的最值成立即可得出的关系式，利用不等式性质代入即可求得其最大值.
【详解】（1）设，则．
所以，易知函数在上单调递减，且；
所以当时，，函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上单调递增，
因此，，所以，得
即实数a的值为1.
（2）由，
得 ，即
（I）对于，由题设知不等式在上恒成立，
令，则在上恒成立，
而 ，又 ，
令，可得；，可得
当时，有，可知在上单调递减，在上单调递增；
即，
又因为，即，即；     ①
当时，有，在上单调递增，
而，所以，得；   ②
（II）对于，由题设知不等式在上恒成立，
设，即在上成立，
，又，
令得，  可得，
所以 在上单调递增，在上单调递减，
即 ，得，即；  ③
综上所述，当时，由①③得，
即；
当时，由②③得，
即；
即当时，；当时，
【点睛】方法点睛：证明不等式成立的常用方法是通过将不等式合理变形，构造函数利用导函数判断出单调性并求出其最值，根据题意再进行求解即可.
27．（云南省红河州2023届高三第一次复习统一检测（一模）数学试题）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行．
(1)求a的值；
(2)若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)根据题意先求出函数的导数，利用导数的几何意义求出实数的值即可；
(2)将不等式等价转化为在上恒成立，构造函数
，求导，利用导数分类讨论函数的单调性，求得最值即可求解.
【详解】（1）由题意可知：的定义域为．
，因为曲线在点处的切线与直线平行，
所以，即．解得：或，
由已知条件，故可求得实数．
（2），不等式，
即．设，，则恒成立．
，令，．
①若，则，在上单调递增，，不符合题意；
②若，则，二次函数的对称轴，在上单调递增，则，，所以，不符合题意；
③若，则，
（ⅰ）当，即时，在上单调递减，，所以，在上单调递减，，符合题意；
（ⅱ）当，即时，在上单调递增，
此时，，不符合题意；
综上所述，m的取值范围为．
【点睛】对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则、互斥、无漏、最简；解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值破解.
28．（云南省三校2023届高三下学期高考备考实用性联考卷（五）（开学考）数学试题）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)讨论在区间上的水平切线的条数．
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)答案见解析

【分析】（1）将 代入函数解析式求导，根据导函数符号讨论；
（2）将水平线的的条数转化为函数的零点，根据函数的单调性求出零点的个数.
【详解】（1）当时， ，
令 ，得，显然 在上单调递增，
当时， ；当时， ，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则的极小值为，无极大值；
（2）设 ，由题意在上的水平切线的条数，
等价于在上的零点个数，
当时，在上恒成立，此时在区间上没有零点；
当时， ，所以在上单调递增，
，令，因为 ，
所以在上单调递减，故，
所以，
①当时，在上没有零点；
②当时，在上有且只有1个零点；
所以当或时，在区间上没有水平切线；
当时，在区间上有一条水平切线；
【点睛】关键点点睛：将水平切线的条数转化为的个数是解决本题的关键，在对a如何分类的问题上需要根据 解析式的结构考虑特殊值计算.
29．（云南师范大学附属中学2023届高三上学期高考适应性月考卷（六）数学试题）已知函数，．
(1)若，求的取值范围；
(2)证明：若存在，，使得，则．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导数后可得函数的单调性，结合单调性可求最大值，从而可求参数的取值范围.
（2）利用极值点偏移可证，结合不等式放缩可证.
【详解】（1），，令，解得，
所以当时，，在上单调递增；
当时，，在单调递减，
所以，要使，则有，而，故，
所以的取值范围为．
（2）证明：当时，由（1）知，当时，单调递增；
当时，单调递减，
设，所以，，
①若，则，成立；
②若，先证，此时，
要证，即证，即，，
令，，

，
所以在(1,2)上单调递增，所以，
即，，所以，
因为，，所以，
即．
【点睛】思路点睛：对于导数中的多变量的不等式问题，应该根据要证明的不等式合理构建新的不等式，而后者可借助极值点偏移来处理，注意前者在构建的过程中可利用一些常见的不等式来处理.
30．（吉林省（东北师大附中,长春十一高中,吉林一中,四平一中,松原实验中学）五校2023届高三上学期联合模拟考试数学试题），，，．
(1)若在点处的切线方程为，求实数，的值；
(2)当时，的图象与的图象在内有两个不同的公共点，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）对函数求导得到，结合题目条件得到，，即可求解；
（2）当时，令得到令（），将的图象与的图象在内有两个不同的公共点的问题转化为函数在上有两个零点，利用导数对进行讨论， 结合零点的存在性定理，即可求解．
【详解】（1）函数的定义域为，
则，
又在点处的切线方程为，
所以，，
解得：，，
故实数的值为，的值为．
（2）当时，，
令得：（），
即，
令，，因此，的图象与的图象在内
有两个不同的公共点，等价于函数在内有两个不同的零点，
则，当时，．
(i)当时，即时，恒成立，
所以在上单调递增，
则至多一个零点，不符合题意，舍去；
(ii)当时，即时，恒成立，
所以在上单调递减，
则至多一个零点，不符合题意，舍去；
(iii)当时，即时，
令，得：，令，得：；
所以在上单调递减，在上单调递增；
则；
若在上存在两个零点，则，
又，解得：；
再证：当时，．
令（），
则（），
令，得：；令，得：；
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
因为，所以，即，
所以，则当时，恒成立；
即当时，恒成立，则在上有两个零点；
综上：实数的取值范围为．
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出函数图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，
突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题．