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【单元测试】高中数学人教A版(2019)必修第二册--《第九章 统计》单元测试3（含解析）
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这是一份【单元测试】高中数学人教A版(2019)必修第二册--《第九章 统计》单元测试3（含解析），共16页。
人教A版（2019）必修第二册《第九章 统计》单元测试3
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为9：7，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样抽取一个样本容量为n15的样本，若样本中男生比女生多8人，则n=( )
A. 960 B. 1000 C. 1920 D. 2000
2.（5分）为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取部分男生，测试了立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率直方图.已知立定跳远200cm以上成绩为及格，255cm以上成绩为优秀，根据图中的数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是( )
A. 87%，3% B. 80%，3% C. 87%，6% D. 80%，6%
3.（5分）若样本数据x1，x2，…，x10的方差为8，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的方差为( )
A. 31 B. 15 C. 32 D. 16
4.（5分）某社区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名音乐特长生，要从中选出3名调查学习训练情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是( )
A. ①用简单随机抽样 ②用系统抽样 B. ①用分层抽样 ②用简单随机抽样
C. ①用系统抽样 ②用分层抽样 D. ①用分层抽样 ②用系统抽样
5.（5分）有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道这13名同学成绩的( )
A. 中位数 B. 极差 C. 方差 D. 平均数
6.（5分）为促进精准扶贫，某县计划引进一批果树树苗免费提供给贫困户种植．为了解果树树苗的生长情况，现从甲、乙两个品种中各随机抽取了100株，进行高度测量，并将高度数据制作成了如图所示的频率分布直方图．由频率分布直方图求得甲、乙两个品种高度的平均值都是66.5，用样本估计总体，则下列描述正确的是()
A. 甲品种的平均高度高于乙品种，且乙品种比甲品种长的整齐
B. 乙品种的平均高度高于甲品种，且甲品种比乙品种长的整齐
C. 甲、乙品种的平均高度差不多，且甲品种比乙品种长的整齐
D. 甲、乙品种的平均高度差不多，且乙品种比甲品种长的整齐
7.（5分）某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是( )
84421 25331 34578 60736 25300 73286 23457 88907 23689 60804
32567 80843 67895 35577 34899 48375 22535 57832 45778 92345
A. 328 B. 623 C. 457 D. 072
8.（5分）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270．关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）
A. ②、③都不能为系统抽样
B. ②、④都不能为分层抽样
C. ①、④都可能为系统抽样
D. ①、③都可能为分层抽样
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）某省2021年美术联考约有5000名学生参加，现从考试的科目素描(满分100分)中随机抽取了500名考生的考试成绩，记录他们的分数后，将数据分成7组：[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法不正确的是( )
A. 由频率分布直方图可知，全省考生的该项科目分数均不高于90分
B. 用样本估计总体，全省该项科目分数小于70分的考生约为2000人
C. 若样本中分数小于40的考生有30人，则可估计总体中分数在区间[40,50)内约200人
D. 用样本估计总体，全省考生该项科目分数的中位数为75分
10.（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到饼图：
则下面结论中正确的是( )
A. 新农村建设后，种植收入减少了
B. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍
C. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
11.（5分）新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是( )
A. 在第三产业中，“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产总值基本持平
B. 若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，则“房地产业”生产总值为40000亿元
C. 若“金融业”生产总值为42000亿元，则第三产业生产总值为262500亿元
D. 若“金融业”生产总值为42000亿元，则第一产业生产总值为45000亿元
12.（5分） 下图为某省高考数学理科试卷近三年难易程度的对比图(图中数据为分值).根据对比图，下列结论正确的有( )
A. 近三年容易题分值逐年增加
B. 近三年难题分值逐年减少
C. 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年
D. 2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90％以上
13.（5分）若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数x=5，方差s2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3xn+1的 ( )
A. 平均数为5 B. 平均数为16 C. 方差为18 D. 标准差为32
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）某学校共有师生2400人，现用分层抽样方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为145，那么该学校的教师人数是______．
15.（5分）已知数据x1，x2，⋅⋅⋅，x9的标准差为5，则数据3x1+1，3x2+1，⋅⋅⋅，3x9+1的标准差为 ______ .
16.（5分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13,14)；第二组[14,15)，…，第五组[17,18].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是 ______ ．
17.（5分）第24届冬季奥林匹克运动会(TheXXIVOlympicWinterGames)，即2022年北京冬季奥运会，计划于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者，参与北京冬奥会高山滑雪比赛项目的服务工作．已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50，40，30，则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派 ______人．
18.（5分）已知一组数据x1，x2，…，xn的方差为5，则这组数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的方差为______.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）汽车是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，将对CO2排放量超过130g/km的M1型新车进行惩罚，某检测单位对甲、乙两类M1型品牌车各抽取5辆进行CO2排放量检测，记录如下(单位：g/km).
甲
80
110
120
140
150
乙
100
120
x
y
160
经测算发现，乙品牌车CO2排放量的平均值为x乙=120g/km.
(1)从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆不符合CO2排放量的概率是多少？
(2)若90
(1)求这200名教师这一天健身锻炼时间的平均数与中位数(结果精确到0.1)；
(2)把这200名教师健身锻炼的时间分为[10,40),[40,70](单位：分钟)两组，从这两组中按照分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行座谈，求这3人中健身锻炼时间均在[10,40)内的概率．
21.（12分）某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在[6,11),[21,26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查.
(1)求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长；
(2)若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率.
22.（12分）某高校从大二学生中随机抽取200名学生，将其期末考试的《中西法律文化》成绩(均为整数)分成六组[40,50),[40,50),⋅⋅⋅,[90,100]后，得到如下频率分布直方图．
(1)求成绩在[70,80)内的频率；
(2)根据频率分布直方图，求样本中200名大二学生期末考试《中西法律文化》成绩的众数、中位数(结果保留到0.1).
23.（12分）某班40人随机平均分成两组，两组学生某次考试成绩的统计情况如下表：
统计量
组别
平均数
标准差
第一组
90
6
第二组
80
4
则全班的平均成绩和标准差分别是多少?
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】解：设样本中男生数为x，女生数为y，则x-y=8x:y=9:7，解得x=36y=28，
所以，样本容量为36+28=64，由64=n15，解得n=960，
故选：A．
由题意利用分层抽样的定义和方法，求出n的值．
这道题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．
2.【答案】C;
【解析】解：由频率分布直方图得立定跳远255cm以上的频率为：0.003×20=0.06，即为6%
则立定跳远200cm以上，1-(0.003+520×0.014)×20=0.87，即及格率为87%，
故选：C．
根据频率分布直方图即可求出优秀率和及格率．
此题主要考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，是基础题．
3.【答案】C;
【解析】
该题考查了方差的性质与应用问题，属于基础题．
根据样本数据x1,x2,x3,…,x10的方差是s2，得出对应数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,…,2x10-1的方差是22.s2．
解：因为样本数据x1,x2,…,x10的方差为8，
所以数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的方差为22×8=32．
故选C．
4.【答案】B;
【解析】
此题主要考查收集数据的方法，其中分别个体之间是否有明显的差别，及样本及总体容量的大小以确定抽样方法是解答本题的关键，属于基础题．
由于①中，某社区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120户，其收入差别较大，故要用分层抽样，而②中总体和样本容量较小，且无明显差别，可用随机抽样．
解：∵社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，
则①用分层抽样法，
而某校高一年级有12名音乐特长生，要从中选出3名调查学习训练情况中个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，
则②用随机抽样法，
故选B．
5.【答案】A;
【解析】解：共有13名学生参加竞赛，取前6名，
所以小明需要知道自己的成绩是否进入前六．
我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，
所以小明知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选：A.
由于有13名同学参加百米竞赛，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．
此题主要考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6.【答案】D;
【解析】解：由题知，甲、乙两个品种高度的平均值均为66.5，
即甲、乙品种平均高度差不多，
从频率分布直方图可以看出乙品种比甲品种高度更集中，长的整齐．
故选：D.
由平均值相同知甲、乙品种的平均高度差不多，从频率分布直方图可知乙品种比甲品种高度更集中，长的整齐．
此题主要考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】B;
【解析】
此题主要考查随机数表法，简单的随机抽样，是基础题．
注意从表中第5行第6列开始向右读取数据的时候，是三个数字为一组，得到的数不可超过编号的最大数，也不可重复.
解：从表中第5行第6列开始向右读取数据，
得到的前5个编号分别是：253，313，457，007，328，
则得到的第6个样本编号是623.
故选B.
8.【答案】D;
【解析】解：观察所给的四组数据，
①，③可能是系统抽样或分层抽样，
②是简单随机抽样，
④一定不是系统抽样和分层抽样，
故选D．
9.【答案】AD;
【解析】此题主要考查频率分布直方图的应用，考查频率及中位数的求法，属于中档题.
根据频率分布直方图结合图中数据对选项进行逐一分析即可.解：由题意可知，在500个样本中，该项科目分数是均不高于90分，样本可以用来估计总体，但不能代替总体，在其余4500名考生中，该项科目分数中可能有高于90分的，
故选项A不正确；
在样本中，分数不低于70分的频率为(0.04+0.02)×10=0.6，
则样本中分数小于70分的频率为1-0.6=0.4，若用样本估计总体，则全省该项科目分数小于70分的考生约为5000×0.4=2000人，
故选项B正确；
在样本中，成绩低于50分的频率为1-(0.04+2×0.02+0.01)×10=0.1，
当分数小于40的考生有30人时，其频率为30500=0.06，
则分数在区间[40,50)内的频率为0.04，
用样本估计总体，则全省考生中分数在区间[40,50)内约5000×0.04=200人，
故选项C正确；
用样本估计总体，通过频率分布直方图可知中位数即为将左右两边矩形面积等分所在位置，
则该位置在区间[70,80)内，且等于70+10×14=72.5分，
故选项D不正确．
故选AD.
10.【答案】BCD;
【解析】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a.
A项，种植收入37％×2a-60％a=14％a>0，故建设后，种植收入增加，故A项错误．
B项，建设后，养殖收入为30％×2a=60％a，建设前，养殖收入为30％a，60％a=2×30％a，故B项正确．
C项，建设后，其他收入为5％×2a=10％a，建设前，其他收入为4％a，故10％a>2×4％a，故C项正确．
D项，新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和为60％a+28％×2a=116％a>a，故D正确
故选：BCD.
设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a.通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果．
此题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发现问题解决问题的能力，属于基础题．
11.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查统计图表的认识与应用，属于基础题.
依题意，由统计图信息，对各个选项的对象计算即可.
解：在 第三产业中，“批发和零售业” 与“金融业”的生产总值之和占比32％，“其他服务业”的生产总值占比32％，故A正确；
若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，则“房地产业”生产总值为150006％×13％=32500亿元，故B错误；
若“金融业”生产总值为42 000亿元，则第三产业生产总值为4200016％=262500 亿元，故C正确；
若“金融业生“产总值为42 000亿元，则第三产业生产总值为262500亿元，第一产业生产总值为26250057％×6％≈2763.2亿元，故D错误.
12.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查四种命题及真假判断，考查图形数据分析，属基础知识的考查．
利用四种命题及真假判断，图形数据对每一个命题分析可得答案．
解析：根据对比图可得容易题这三年分别分值40，55，96，逐年增加，A正确；难题分值：34，46，12，并不是逐年减少，所以B不正确；2016年中档题分值76，占比最高，所以C不正确；2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的138150×100％>90％，所以D正确．故选AD.
13.【答案】BCD;
【解析】
此题主要考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数， 平均数也乘以同一个数， 而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变，然后可求标准差.
解：∵x1，x2，x3，⋯，xn的平均数为5，
∴x1+x2+⋯+xnn=5，
∴3x1+3x2+⋯+3xnn+1=3(x1+x2+⋯+xn)n+1=3×5+1=16，
∵x1，x2，x3，⋯，xn的方差为2，
∴3x1+1，3x2+1，3x3+1，⋯，3xn+1的方差是32×2=18.
所以标准差为32.
故选BCD.
14.【答案】225;
【解析】解：由题意可得，抽取的教师数为160-145=15，
抽样的比列为1602400=115，故该学校的教师人数是15÷115=225，
故答案为 225．
由题意可得，抽取的教师数为15，再求得抽样的比列，再用15除以此比例，即得该学校的教师人数．
这道题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了每个个体被抽到的概率相等，属于基础题．
15.【答案】15;
【解析】解：根据标准差的结论，数据x1，x2，⋅⋅⋅，x9的标准差为5，
则数据3x1+1，3x2+1，⋅⋅⋅，3x9+1的标准差为15.
故答案为：15.
根据标准差的结论：若数据x1，x2，⋅⋅⋅，xn的标准差为S，则若数据ax1+b，ax2+b，⋅⋅⋅，axn+b的标准差为aS直接写出答案．
此题主要考查了标准差的定义及结论应用，属于基础题．
16.【答案】27;
【解析】解：由频率分布直方图知，成绩在[14,16)内的
人数为50×0.16+50×0.38=27(人)
∴该班成绩良好的人数为27人．
故答案为：27．
根据频率分步直方图做出这组数据的成绩在[14,16)内的人数为50×0.16+50×0.38，这是频率，频数和样本容量之间的关系．
解决此类问题的关键是准确掌握利用频率分布直方图进行分析并且运用公式进行正确运算．
17.【答案】10;
【解析】解：根据分层抽样的定义可得，在大一青年志愿者中应选派：5050+40+30×24=10人，
故答案为：10.
根据分层抽样的定义建立比例关系即可．
此题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例公式是解决本题的关键．
18.【答案】45;
【解析】
此题主要考查方差的运算性质，属于基础题.
由题意一组数据x1，x2，…，xn的方差为s2，根据方差公式可得样本数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的方差为32.s2，从而可求得结果.
解：∵x1，x2，x3，…，xn的方差为s2=5，
∴样本数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的方差32×s2=9×5=45.
故答案为45.
19.【答案】解：(1)从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，共有10种不同的CO2排放量结果：
(80,110)；(80,120)；(80,140)；(80,150)；(110,120)；
(110,140)；(110,150)；(120,140)；(120,150)；(140,150).
设“至少有一辆不符合CO2排放量”为事件A，则事件A包含以下7种不同的结果：
(80,140)；(80,150)；(110,140)；(110,150)；(120,140)；(120,150)；(140,150).
所以，P(A)=710=0.7，
答：至少有一辆不符合CO2排放量的概率为0.7；
(2)由题可知，x甲=x乙=120，
5S甲2=(80-120)2+(110-120)2+(120-120)2+(140-120)2+(150-120)2=3000，
5S乙2=(100-120)2+(120-120)2+(x-120)2+(y-120)2+(160-120)2=2000+(x-120)2+(y-120)2，
∵x+y=220，
∴5S乙2=2000+(x-120)2+(x-100)2，
令x-120=t，
∵90
∴5S乙2-5S甲2=2t2+40t-600=2(t+30)(t-10)<0
∵x甲=x乙=120，
S乙2
【解析】此题主要考查了古典概型的事件的概率，列举法计算基本事件数及事件发生的概率，还考查了方差的意义及利用方差意义建立方程，属于中等题．
(1)由题意逐个列出从被检测的5辆甲类品牌中任取2辆，共有10种不同的CO2排放量结果及事件A包含的结果，利用古典概型事件的概率公式即可求得；
(2)由题意算出甲乙的平均值，并算出方差，比较后，可得乙类品牌的车CO2的排放量稳定性比甲类品牌的车CO2的排放量的稳定性．
20.【答案】解：(1)这200名教师这一天健身锻炼时间的平均数为：
15×0.04+25×0.2+35×0.56+45×0.14+55×0.04+65×0.02=35.0(分钟)，
中位数在第三组，设中位数为x，则10×0.004+10×0.02+(x-30)×0.056=0.5，解得x≈34.6(分钟);
(2)健身锻炼的时间在[10,40),[40,70]的频率分别为0.8，0.2，
由题意可得按照分层抽样的方法随机抽取5人中，健身锻炼时间在[10,40)内的有4人，记为a，b，c，d，健身锻炼时间在[40,70]内的有1人，记为E，
从这5人中再随机抽取3人结果有：(a,b,c)，(a,b,d)，(a,b,E)，(a,c,d)，(a,c,E)，(a,d,E)，(b,c,d)，(b,c,E)，(b,d,E)，(c,d,E)，共10种，
3人中健身锻炼时间均在[10,40)内的结果有(a,b,c)，(a,b,d)，(a,c,d)，(b,c,d)，共4种，
所以所求概率p=410=25.;
【解析】此题主要考查频率分布直方图，平均数，中位数，分层抽样，古典概型的计算，属基础题.
1利用频率分布直方图求出各组频率，则这200名教师这一天的健身锻炼时间的平均数为15×0.04+25×0.2+35×0.56+45×0.14+55×0.04+65×0.02，判断中位数在第三组，设中位数为x，则10×0.004+10×0.02+(x-30)×0.056=0.5，即可求解；
(2)由题意可得按照分层抽样的方法随机抽取5人中，健身锻炼时间在[10,40)内的有4人，健身锻炼时间在[40,70]内的有1人，由古典概型计算公式求解．
21.【答案】解：（1）由频率分布直方图的性质得：
（0.020+0.050+0.070+a+a）×5=1，
解得a=0.03．
∴估算这100位学生学习的平均时长为：
3.5×0.020×5+8.5×0.050×5+13.5×0.070×5+18.5×0.030×5+23.5×0.030×5=13.5（小时）．
（2）从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查，
学习时长在[6，11）的学生中抽取：8×0.0500.050+0.030=5位，
学习时长在[21，26）的学生中抽取：8×0.0300.050+0.030=3位，
从这8位学生中随机抽取2位家访，
基本事件总数n=C82=28，
这2位学生来自不同组别包含的基本事件个数m=C51C31=15．
∴这2位学生来自不同组别的概率P=mn=1528．;
【解析】
(1)由频率分布直方图的性质列方程能求出a，由此能估算这100位学生学习的平均时长．
(2)从学习时长落在[6,11),[21,26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查，在[6,11)的学生中抽取5位，在[21,26)的学生中抽取3位，从这8位学生中随机抽取2位家访，基本事件总数n=C82=28，这2位学生来自不同组别包含的基本事件个数m=C51C31=15.由此能求出这2位学生来自不同组别的概率．
此题主要考查频率、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．
22.【答案】解：（1）由题意知所求频率为1-0.1-0.15-0.15-0.25-0.05=0.3．
（2）由频率分布直方图可知众数为75，由（1）知a=0.310=0.030，
因为前3组的频率和为0.1+0.15+0.15=0.4＜0.5，前4组的频率和为0.1+0.15+0.15+0.3=0.7＞0.5，
所以中位数在[70，80）内，
设中位数为x分，则有0.1+0.15×2+0.03×（x-70）=0.5，
解得x=2203≈73.3，
所以中位数为73，
所以样本中200名大二学生期末考试《中西法律文化》成绩的众数为75，中位数为73．;
【解析】
(1)利用各组的频率和为1求解即可，
(2)由频率分布直方图可知众数为75，由频率分布直方图可判断中位数在[70,80)内，设中位数为x分，则有0.1+0.15×2+0.03×(x-70)=0.5，从而可求出中位数．
此题主要考查频率分布直方图的应用，考查计算能力，属于基础题．
23.【答案】解：设第一组20名学生的成绩为x1，x2，x3，⋯，x20，
第二组20名学生的成绩为x21，x22，⋯，x40.
根据题意可知x1+x2+⋯+x2020=90，
x21+x22+⋯+x4020=80，
所以全班的平均成绩
¯ x=x1+x2+⋯+x40 40
=90×20+80×20 40=85.
第一组的方差s12=1 20(x12+x22+⋯+x202)-902=62 ①，
第二组的方差s22=1 20(x212+x222+⋯+x402)-802=42 ②，
①+②可得1 20(x12+x22+⋯+x202+x212+x222
+⋯+x402)-(902+802)=36+16，
即x12+x22+⋯+x402 40=7276，
所以全班成绩的方差
s2=x12+x22+⋯+x402 40-852
=7276-7225=51，
即s=51.
故全班成绩的标准差为51.;
【解析】此题主要考查统计中的平均数和方差，考查了学生的计算能力，属中档题.
利用平均数及方差公式求解即可.
人教A版（2019）必修第二册《第九章 统计》单元测试3
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为9：7，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样抽取一个样本容量为n15的样本，若样本中男生比女生多8人，则n=( )
A. 960 B. 1000 C. 1920 D. 2000
2.（5分）为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取部分男生，测试了立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率直方图.已知立定跳远200cm以上成绩为及格，255cm以上成绩为优秀，根据图中的数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是( )
A. 87%，3% B. 80%，3% C. 87%，6% D. 80%，6%
3.（5分）若样本数据x1，x2，…，x10的方差为8，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的方差为( )
A. 31 B. 15 C. 32 D. 16
4.（5分）某社区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名音乐特长生，要从中选出3名调查学习训练情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是( )
A. ①用简单随机抽样 ②用系统抽样 B. ①用分层抽样 ②用简单随机抽样
C. ①用系统抽样 ②用分层抽样 D. ①用分层抽样 ②用系统抽样
5.（5分）有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道这13名同学成绩的( )
A. 中位数 B. 极差 C. 方差 D. 平均数
6.（5分）为促进精准扶贫，某县计划引进一批果树树苗免费提供给贫困户种植．为了解果树树苗的生长情况，现从甲、乙两个品种中各随机抽取了100株，进行高度测量，并将高度数据制作成了如图所示的频率分布直方图．由频率分布直方图求得甲、乙两个品种高度的平均值都是66.5，用样本估计总体，则下列描述正确的是()
A. 甲品种的平均高度高于乙品种，且乙品种比甲品种长的整齐
B. 乙品种的平均高度高于甲品种，且甲品种比乙品种长的整齐
C. 甲、乙品种的平均高度差不多，且甲品种比乙品种长的整齐
D. 甲、乙品种的平均高度差不多，且乙品种比甲品种长的整齐
7.（5分）某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是( )
84421 25331 34578 60736 25300 73286 23457 88907 23689 60804
32567 80843 67895 35577 34899 48375 22535 57832 45778 92345
A. 328 B. 623 C. 457 D. 072
8.（5分）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270．关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）
A. ②、③都不能为系统抽样
B. ②、④都不能为分层抽样
C. ①、④都可能为系统抽样
D. ①、③都可能为分层抽样
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）某省2021年美术联考约有5000名学生参加，现从考试的科目素描(满分100分)中随机抽取了500名考生的考试成绩，记录他们的分数后，将数据分成7组：[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法不正确的是( )
A. 由频率分布直方图可知，全省考生的该项科目分数均不高于90分
B. 用样本估计总体，全省该项科目分数小于70分的考生约为2000人
C. 若样本中分数小于40的考生有30人，则可估计总体中分数在区间[40,50)内约200人
D. 用样本估计总体，全省考生该项科目分数的中位数为75分
10.（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到饼图：
则下面结论中正确的是( )
A. 新农村建设后，种植收入减少了
B. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍
C. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
11.（5分）新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是( )
A. 在第三产业中，“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生产总值基本持平
B. 若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，则“房地产业”生产总值为40000亿元
C. 若“金融业”生产总值为42000亿元，则第三产业生产总值为262500亿元
D. 若“金融业”生产总值为42000亿元，则第一产业生产总值为45000亿元
12.（5分） 下图为某省高考数学理科试卷近三年难易程度的对比图(图中数据为分值).根据对比图，下列结论正确的有( )
A. 近三年容易题分值逐年增加
B. 近三年难题分值逐年减少
C. 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年
D. 2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90％以上
13.（5分）若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数x=5，方差s2=2，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，…，3xn+1的 ( )
A. 平均数为5 B. 平均数为16 C. 方差为18 D. 标准差为32
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）某学校共有师生2400人，现用分层抽样方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为145，那么该学校的教师人数是______．
15.（5分）已知数据x1，x2，⋅⋅⋅，x9的标准差为5，则数据3x1+1，3x2+1，⋅⋅⋅，3x9+1的标准差为 ______ .
16.（5分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13,14)；第二组[14,15)，…，第五组[17,18].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是 ______ ．
17.（5分）第24届冬季奥林匹克运动会(TheXXIVOlympicWinterGames)，即2022年北京冬季奥运会，计划于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者，参与北京冬奥会高山滑雪比赛项目的服务工作．已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50，40，30，则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派 ______人．
18.（5分）已知一组数据x1，x2，…，xn的方差为5，则这组数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的方差为______.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）汽车是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，将对CO2排放量超过130g/km的M1型新车进行惩罚，某检测单位对甲、乙两类M1型品牌车各抽取5辆进行CO2排放量检测，记录如下(单位：g/km).
甲
80
110
120
140
150
乙
100
120
x
y
160
经测算发现，乙品牌车CO2排放量的平均值为x乙=120g/km.
(1)从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆不符合CO2排放量的概率是多少？
(2)若90
(1)求这200名教师这一天健身锻炼时间的平均数与中位数(结果精确到0.1)；
(2)把这200名教师健身锻炼的时间分为[10,40),[40,70](单位：分钟)两组，从这两组中按照分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行座谈，求这3人中健身锻炼时间均在[10,40)内的概率．
21.（12分）某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在[6,11),[21,26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查.
(1)求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长；
(2)若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率.
22.（12分）某高校从大二学生中随机抽取200名学生，将其期末考试的《中西法律文化》成绩(均为整数)分成六组[40,50),[40,50),⋅⋅⋅,[90,100]后，得到如下频率分布直方图．
(1)求成绩在[70,80)内的频率；
(2)根据频率分布直方图，求样本中200名大二学生期末考试《中西法律文化》成绩的众数、中位数(结果保留到0.1).
23.（12分）某班40人随机平均分成两组，两组学生某次考试成绩的统计情况如下表：
统计量
组别
平均数
标准差
第一组
90
6
第二组
80
4
则全班的平均成绩和标准差分别是多少?
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】解：设样本中男生数为x，女生数为y，则x-y=8x:y=9:7，解得x=36y=28，
所以，样本容量为36+28=64，由64=n15，解得n=960，
故选：A．
由题意利用分层抽样的定义和方法，求出n的值．
这道题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．
2.【答案】C;
【解析】解：由频率分布直方图得立定跳远255cm以上的频率为：0.003×20=0.06，即为6%
则立定跳远200cm以上，1-(0.003+520×0.014)×20=0.87，即及格率为87%，
故选：C．
根据频率分布直方图即可求出优秀率和及格率．
此题主要考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，是基础题．
3.【答案】C;
【解析】
该题考查了方差的性质与应用问题，属于基础题．
根据样本数据x1,x2,x3,…,x10的方差是s2，得出对应数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,…,2x10-1的方差是22.s2．
解：因为样本数据x1,x2,…,x10的方差为8，
所以数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的方差为22×8=32．
故选C．
4.【答案】B;
【解析】
此题主要考查收集数据的方法，其中分别个体之间是否有明显的差别，及样本及总体容量的大小以确定抽样方法是解答本题的关键，属于基础题．
由于①中，某社区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120户，其收入差别较大，故要用分层抽样，而②中总体和样本容量较小，且无明显差别，可用随机抽样．
解：∵社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，
则①用分层抽样法，
而某校高一年级有12名音乐特长生，要从中选出3名调查学习训练情况中个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，
则②用随机抽样法，
故选B．
5.【答案】A;
【解析】解：共有13名学生参加竞赛，取前6名，
所以小明需要知道自己的成绩是否进入前六．
我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，
所以小明知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选：A.
由于有13名同学参加百米竞赛，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．
此题主要考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6.【答案】D;
【解析】解：由题知，甲、乙两个品种高度的平均值均为66.5，
即甲、乙品种平均高度差不多，
从频率分布直方图可以看出乙品种比甲品种高度更集中，长的整齐．
故选：D.
由平均值相同知甲、乙品种的平均高度差不多，从频率分布直方图可知乙品种比甲品种高度更集中，长的整齐．
此题主要考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】B;
【解析】
此题主要考查随机数表法，简单的随机抽样，是基础题．
注意从表中第5行第6列开始向右读取数据的时候，是三个数字为一组，得到的数不可超过编号的最大数，也不可重复.
解：从表中第5行第6列开始向右读取数据，
得到的前5个编号分别是：253，313，457，007，328，
则得到的第6个样本编号是623.
故选B.
8.【答案】D;
【解析】解：观察所给的四组数据，
①，③可能是系统抽样或分层抽样，
②是简单随机抽样，
④一定不是系统抽样和分层抽样，
故选D．
9.【答案】AD;
【解析】此题主要考查频率分布直方图的应用，考查频率及中位数的求法，属于中档题.
根据频率分布直方图结合图中数据对选项进行逐一分析即可.解：由题意可知，在500个样本中，该项科目分数是均不高于90分，样本可以用来估计总体，但不能代替总体，在其余4500名考生中，该项科目分数中可能有高于90分的，
故选项A不正确；
在样本中，分数不低于70分的频率为(0.04+0.02)×10=0.6，
则样本中分数小于70分的频率为1-0.6=0.4，若用样本估计总体，则全省该项科目分数小于70分的考生约为5000×0.4=2000人，
故选项B正确；
在样本中，成绩低于50分的频率为1-(0.04+2×0.02+0.01)×10=0.1，
当分数小于40的考生有30人时，其频率为30500=0.06，
则分数在区间[40,50)内的频率为0.04，
用样本估计总体，则全省考生中分数在区间[40,50)内约5000×0.04=200人，
故选项C正确；
用样本估计总体，通过频率分布直方图可知中位数即为将左右两边矩形面积等分所在位置，
则该位置在区间[70,80)内，且等于70+10×14=72.5分，
故选项D不正确．
故选AD.
10.【答案】BCD;
【解析】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a.
A项，种植收入37％×2a-60％a=14％a>0，故建设后，种植收入增加，故A项错误．
B项，建设后，养殖收入为30％×2a=60％a，建设前，养殖收入为30％a，60％a=2×30％a，故B项正确．
C项，建设后，其他收入为5％×2a=10％a，建设前，其他收入为4％a，故10％a>2×4％a，故C项正确．
D项，新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和为60％a+28％×2a=116％a>a，故D正确
故选：BCD.
设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a.通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果．
此题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发现问题解决问题的能力，属于基础题．
11.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查统计图表的认识与应用，属于基础题.
依题意，由统计图信息，对各个选项的对象计算即可.
解：在 第三产业中，“批发和零售业” 与“金融业”的生产总值之和占比32％，“其他服务业”的生产总值占比32％，故A正确；
若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，则“房地产业”生产总值为150006％×13％=32500亿元，故B错误；
若“金融业”生产总值为42 000亿元，则第三产业生产总值为4200016％=262500 亿元，故C正确；
若“金融业生“产总值为42 000亿元，则第三产业生产总值为262500亿元，第一产业生产总值为26250057％×6％≈2763.2亿元，故D错误.
12.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查四种命题及真假判断，考查图形数据分析，属基础知识的考查．
利用四种命题及真假判断，图形数据对每一个命题分析可得答案．
解析：根据对比图可得容易题这三年分别分值40，55，96，逐年增加，A正确；难题分值：34，46，12，并不是逐年减少，所以B不正确；2016年中档题分值76，占比最高，所以C不正确；2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的138150×100％>90％，所以D正确．故选AD.
13.【答案】BCD;
【解析】
此题主要考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数， 平均数也乘以同一个数， 而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变，然后可求标准差.
解：∵x1，x2，x3，⋯，xn的平均数为5，
∴x1+x2+⋯+xnn=5，
∴3x1+3x2+⋯+3xnn+1=3(x1+x2+⋯+xn)n+1=3×5+1=16，
∵x1，x2，x3，⋯，xn的方差为2，
∴3x1+1，3x2+1，3x3+1，⋯，3xn+1的方差是32×2=18.
所以标准差为32.
故选BCD.
14.【答案】225;
【解析】解：由题意可得，抽取的教师数为160-145=15，
抽样的比列为1602400=115，故该学校的教师人数是15÷115=225，
故答案为 225．
由题意可得，抽取的教师数为15，再求得抽样的比列，再用15除以此比例，即得该学校的教师人数．
这道题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了每个个体被抽到的概率相等，属于基础题．
15.【答案】15;
【解析】解：根据标准差的结论，数据x1，x2，⋅⋅⋅，x9的标准差为5，
则数据3x1+1，3x2+1，⋅⋅⋅，3x9+1的标准差为15.
故答案为：15.
根据标准差的结论：若数据x1，x2，⋅⋅⋅，xn的标准差为S，则若数据ax1+b，ax2+b，⋅⋅⋅，axn+b的标准差为aS直接写出答案．
此题主要考查了标准差的定义及结论应用，属于基础题．
16.【答案】27;
【解析】解：由频率分布直方图知，成绩在[14,16)内的
人数为50×0.16+50×0.38=27(人)
∴该班成绩良好的人数为27人．
故答案为：27．
根据频率分步直方图做出这组数据的成绩在[14,16)内的人数为50×0.16+50×0.38，这是频率，频数和样本容量之间的关系．
解决此类问题的关键是准确掌握利用频率分布直方图进行分析并且运用公式进行正确运算．
17.【答案】10;
【解析】解：根据分层抽样的定义可得，在大一青年志愿者中应选派：5050+40+30×24=10人，
故答案为：10.
根据分层抽样的定义建立比例关系即可．
此题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例公式是解决本题的关键．
18.【答案】45;
【解析】
此题主要考查方差的运算性质，属于基础题.
由题意一组数据x1，x2，…，xn的方差为s2，根据方差公式可得样本数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的方差为32.s2，从而可求得结果.
解：∵x1，x2，x3，…，xn的方差为s2=5，
∴样本数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的方差32×s2=9×5=45.
故答案为45.
19.【答案】解：(1)从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，共有10种不同的CO2排放量结果：
(80,110)；(80,120)；(80,140)；(80,150)；(110,120)；
(110,140)；(110,150)；(120,140)；(120,150)；(140,150).
设“至少有一辆不符合CO2排放量”为事件A，则事件A包含以下7种不同的结果：
(80,140)；(80,150)；(110,140)；(110,150)；(120,140)；(120,150)；(140,150).
所以，P(A)=710=0.7，
答：至少有一辆不符合CO2排放量的概率为0.7；
(2)由题可知，x甲=x乙=120，
5S甲2=(80-120)2+(110-120)2+(120-120)2+(140-120)2+(150-120)2=3000，
5S乙2=(100-120)2+(120-120)2+(x-120)2+(y-120)2+(160-120)2=2000+(x-120)2+(y-120)2，
∵x+y=220，
∴5S乙2=2000+(x-120)2+(x-100)2，
令x-120=t，
∵90
∴5S乙2-5S甲2=2t2+40t-600=2(t+30)(t-10)<0
∵x甲=x乙=120，
S乙2
【解析】此题主要考查了古典概型的事件的概率，列举法计算基本事件数及事件发生的概率，还考查了方差的意义及利用方差意义建立方程，属于中等题．
(1)由题意逐个列出从被检测的5辆甲类品牌中任取2辆，共有10种不同的CO2排放量结果及事件A包含的结果，利用古典概型事件的概率公式即可求得；
(2)由题意算出甲乙的平均值，并算出方差，比较后，可得乙类品牌的车CO2的排放量稳定性比甲类品牌的车CO2的排放量的稳定性．
20.【答案】解：(1)这200名教师这一天健身锻炼时间的平均数为：
15×0.04+25×0.2+35×0.56+45×0.14+55×0.04+65×0.02=35.0(分钟)，
中位数在第三组，设中位数为x，则10×0.004+10×0.02+(x-30)×0.056=0.5，解得x≈34.6(分钟);
(2)健身锻炼的时间在[10,40),[40,70]的频率分别为0.8，0.2，
由题意可得按照分层抽样的方法随机抽取5人中，健身锻炼时间在[10,40)内的有4人，记为a，b，c，d，健身锻炼时间在[40,70]内的有1人，记为E，
从这5人中再随机抽取3人结果有：(a,b,c)，(a,b,d)，(a,b,E)，(a,c,d)，(a,c,E)，(a,d,E)，(b,c,d)，(b,c,E)，(b,d,E)，(c,d,E)，共10种，
3人中健身锻炼时间均在[10,40)内的结果有(a,b,c)，(a,b,d)，(a,c,d)，(b,c,d)，共4种，
所以所求概率p=410=25.;
【解析】此题主要考查频率分布直方图，平均数，中位数，分层抽样，古典概型的计算，属基础题.
1利用频率分布直方图求出各组频率，则这200名教师这一天的健身锻炼时间的平均数为15×0.04+25×0.2+35×0.56+45×0.14+55×0.04+65×0.02，判断中位数在第三组，设中位数为x，则10×0.004+10×0.02+(x-30)×0.056=0.5，即可求解；
(2)由题意可得按照分层抽样的方法随机抽取5人中，健身锻炼时间在[10,40)内的有4人，健身锻炼时间在[40,70]内的有1人，由古典概型计算公式求解．
21.【答案】解：（1）由频率分布直方图的性质得：
（0.020+0.050+0.070+a+a）×5=1，
解得a=0.03．
∴估算这100位学生学习的平均时长为：
3.5×0.020×5+8.5×0.050×5+13.5×0.070×5+18.5×0.030×5+23.5×0.030×5=13.5（小时）．
（2）从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查，
学习时长在[6，11）的学生中抽取：8×0.0500.050+0.030=5位，
学习时长在[21，26）的学生中抽取：8×0.0300.050+0.030=3位，
从这8位学生中随机抽取2位家访，
基本事件总数n=C82=28，
这2位学生来自不同组别包含的基本事件个数m=C51C31=15．
∴这2位学生来自不同组别的概率P=mn=1528．;
【解析】
(1)由频率分布直方图的性质列方程能求出a，由此能估算这100位学生学习的平均时长．
(2)从学习时长落在[6,11),[21,26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查，在[6,11)的学生中抽取5位，在[21,26)的学生中抽取3位，从这8位学生中随机抽取2位家访，基本事件总数n=C82=28，这2位学生来自不同组别包含的基本事件个数m=C51C31=15.由此能求出这2位学生来自不同组别的概率．
此题主要考查频率、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．
22.【答案】解：（1）由题意知所求频率为1-0.1-0.15-0.15-0.25-0.05=0.3．
（2）由频率分布直方图可知众数为75，由（1）知a=0.310=0.030，
因为前3组的频率和为0.1+0.15+0.15=0.4＜0.5，前4组的频率和为0.1+0.15+0.15+0.3=0.7＞0.5，
所以中位数在[70，80）内，
设中位数为x分，则有0.1+0.15×2+0.03×（x-70）=0.5，
解得x=2203≈73.3，
所以中位数为73，
所以样本中200名大二学生期末考试《中西法律文化》成绩的众数为75，中位数为73．;
【解析】
(1)利用各组的频率和为1求解即可，
(2)由频率分布直方图可知众数为75，由频率分布直方图可判断中位数在[70,80)内，设中位数为x分，则有0.1+0.15×2+0.03×(x-70)=0.5，从而可求出中位数．
此题主要考查频率分布直方图的应用，考查计算能力，属于基础题．
23.【答案】解：设第一组20名学生的成绩为x1，x2，x3，⋯，x20，
第二组20名学生的成绩为x21，x22，⋯，x40.
根据题意可知x1+x2+⋯+x2020=90，
x21+x22+⋯+x4020=80，
所以全班的平均成绩
¯ x=x1+x2+⋯+x40 40
=90×20+80×20 40=85.
第一组的方差s12=1 20(x12+x22+⋯+x202)-902=62 ①，
第二组的方差s22=1 20(x212+x222+⋯+x402)-802=42 ②，
①+②可得1 20(x12+x22+⋯+x202+x212+x222
+⋯+x402)-(902+802)=36+16，
即x12+x22+⋯+x402 40=7276，
所以全班成绩的方差
s2=x12+x22+⋯+x402 40-852
=7276-7225=51，
即s=51.
故全班成绩的标准差为51.;
【解析】此题主要考查统计中的平均数和方差，考查了学生的计算能力，属中档题.
利用平均数及方差公式求解即可.
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