【单元训练】高中数学人教A版(2019)必修第一册--《第二章 一元二次函数、方程和不等式》综合训练（含解析）

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人教A版（2019）必修第一册《第二章 一元二次函数、方程和不等式》综合训练

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知a>b>0，c⩾d>0，则下列不等式成立的是(    )
A. ad>bc B. ad⩾bc C. ad0的解集为(    )
A. { x|x3}
C. { x|x3} D. { x|1d B. a>c>b>d C. d>b>a>c D. b>a>d>c
5.（5分）若对任意的x>1，x2+3x-1⩾a恒成立，则a的最大值是( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
6.（5分）在等差数列{an}中，若a3=5，a13=10，则公差d=( )
A. 12 B. 1 C. 32 D. 2
7.（5分）已知实数x、y满足x>0、y>0，且2x+1y=1，则x+2y的最小值为(    )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8.（5分）已知c>1，a=c+1-c，b=c-c-1，则正确的结论是( )
A. a>b        B. a0，y>0，且1x+1y=1，若x+y>m2+3m恒成立，则实数m的取值范围是(-4,1)
D. 已知f(x)={-x2-ax-5(x⩽1)ax(x>1)在(-∞,+∞)上是增函数，则a的取值范围是[-3,-2]
10.（5分）已知E、F分别是三棱锥P-ABC的棱PA、BC的中点，PC=AB=6，若异面直线PC与AB所成角的大小为60∘，则线段EF的长为() 

A. 3 B. 6 C. 63 D. 33
11.（5分）若m>0，n>0，且1m+1n=1，则下列说法正确的是
A. mn有最小值4 B. 1m2+1n2有最小值12
C. ∀m>0，n>0都有1m+1n⩽2 D. ∃m>0，n>0使得m+n=2
12.（5分）已知a，b均为正数，且a-b=1，则( )
A. a>2b B. 2a-2b>1 C. 4a-1b⩽1 D. a+1b>3
13.（5分）［2021哈尔滨三中高一摸底考试］下列说法正确的是 ( )
A. 若x＜0，则x+1x⩽-2 B. 若x∈R，则x2+3x2+2⩾2
C. 若x∈R，则1x2+10)相切，则r=__________.
17.（5分）在R上定义运算⊗：x⊗y=x(1+y)，若不等式：(x-a)⊗(x+a)a>0,m>0，求证：ab0，求证：a2b+b2c+c2a⩾a+b+c.
23.（12分）已知a>0，b>0.
(1)证明：a2+⩾a+b2；
(2)若a3+b3=2，证明：a+b⩽2.

答案和解析
1.【答案】A;
【解析】解：∵a>b>0，c⩾d>0， 
∴ad>bc， 
∴ad>bc， 
故选：A． 
根据不等式的性质即可判断． 
该题考查了不等式的性质，属于基础题．

2.【答案】C;
【解析】 
该题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题． 
先求出方程(x-1)(x-3)=0的根，再求出对应不等式的解集． 
 
解：由方程(x-1)(x-3)=0，得x1=1，x2=3， 
所以不等式(x-1)(x-3)>0的解集是{ x|x3}． 
故选：C． 


3.【答案】B;
【解析】 
此题主要考查交集的求法，一元二次不等式的解法，属于基础题. 
先求出集合A，再利用交集定义能求出A∩B. 
 
解：∵集合A={ x|(x+1)(x-2)m2+3m， 
∴-40，且1m+1n=1， 
对于A，由1=1m+1n⩾21m=2mn，得mn⩾2，即mn⩾4，m=n=2时取等号，故A正确； 
对于B，因为1m2+1n2⩾21m.1n， 
所以21m2+1n2=1m2+1n2+1m2+1n2⩾1m2+1n2+21m.1n=1m+1n2=1， 
即1m2+1n2⩾12，m=n=2时取等号，故B正确； 
对于C，因为21m⩽+1m+1n， 
所以1m+1n2=1m+1n+21m⩽1m+1n+1m+1n=2，即1m+1n⩽2，m=n=2时取等号， 
故C正确； 
对于D，因为m+n=m+n×1=m+n1m+1n=2+nm+mn⩾2+2nm=4，故D错误． 
故选ABC.

12.【答案】BC;
【解析】 
 
此题主要考查指数的性质、不等式的性质和基本不等式的应用，属于中等题. 
利用a=b+1以及指数运算、基本不等式等依次验证每个选项的正误，进而得到正确选项，要注意等号成立的条件. 
 
解：已知a，b均为正数， 
∵a-b=1,∴a-2b=b+1-2b=(b-1)2⩾0， 
当且仅当a=2，b=1时等号成立，故a⩾2b，故A选项错误. 
∵a-b=1,∴a=b+1，且a>0，b>0. 
∴2a-2b=2b+1-2b=2.2b-2b=2b， 
∵b>0,∴2b>1. 
即2a-2b>1，故B正确； 
4a-1b=4a-ba-a-bb=5-4ba+ab 
⩽5-24ba=1，当且仅当4ba=ab即a=2b时等号成立，故C正确； 
因为a，b均为正数，且a-b=1， 
∵a+1b=b+1+1b⩾2b.1b+1=3，(当且仅当a=2，b=1时等号成立)， 
所以，a+1b⩾3，故D选项错误. 
故选BC.

13.【答案】D;
【解析】对于A选项，当x0时，则x+1x=-[(-x)+1(-x)]⩽-2(-x)⋅1(-x)=-2，当且仅当x=-1时，等号成立，A选项正确；对于B选项，∵x∈R，则x2+2⩾2，x2+3x2+2=(x2+2)+1x2+2=x2+2+1x2+2⩾2x2+2⋅1x2+2=2，当x2+2=1x2+2，即x2+2=1时，不满足x2+2⩾2，故等号不成立，所以x2+3x2+2>2，B选项错误；对于C选项，取x=0，可得1x2+1=1，C选项错误；对于D选项，∵x>0，(1+x)(1+1x)=2+x+1x⩾2+2x⋅1x=4，当且仅当x=1时，等号成立，D选项正确.故选AD.

14.【答案】233;
【解析】 
此题主要考查利用基本不等式求最值. 
根据题意，得出x+y2-1=xy，利用xy⩽x+y24，即可求出结果. 
 
解：∵x2+y2+xy=1， 
∴x+y2-1=xy， 
∵xy⩽x+y24，当且仅当x=y时等号成立， 
∴x+y2-1⩽x+y24，当且仅当x=y时等号成立， 
整理，得-233⩽x+y⩽233， 
∴x+y的最大值为233. 
故答案为233.

15.【答案】8;
【解析】 
该题考查基本不等式的性质与运用，正确运用公式要求“一正、二定、三相等”，解题时要注意把握和或积为定值这一条件． 
根据基本不等式的性质与幂的运算性质，结合题意2a+3b=4，代入可得答案． 
 
解：∵2a+3b=4， 
∴4a+8b=22a+23b⩾222a.23b 
=2⋅24=8，当且仅当a=1，b=23， 
∴4a+8b的最小值为8， 
故答案为：8．

16.【答案】5;
【解析】 
此题主要考查直线与圆相切的性质，涉及圆的切线方程，属于基础题． 
根据题意，由直线与圆相切的性质可得d=|2-0+3|1+4=5=r，即可得答案． 
 
解：根据题意，圆(x-2)2+(y-1)2=r2的圆心为(2,1)，半径为r， 
直线l：x-2y+3=0与圆(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0)相切， 
则有d=|2-0+3|1+4=5=r，故r=5； 
故答案为：5.

17.【答案】（-∞，-1-172）∪（-1+172，+∞）;
【解析】解：由定义可知：(x-a)⊗(x+a)