初中湘教版2.2 圆心角、圆周角教案

2.2 圆心角、圆周角

2.2.1 圆心角

【知识与技能】

1.理解并掌握圆心角的概念.

2.掌握圆心角与弧及弦的关系定理.

【过程与方法】

通过对圆心角的概念及定理的探究,从而认识到几何中不同量之间的对等关系.

【情感态度】

在探究过程中体验获取新知的喜悦，提高探究能力和归纳能力.

【教学重点】

弧、弦、圆心角之间关系的定理及推论和它们的应用.

【教学难点】

探索定理和推论及其应用.

一、情境导入，初步认识

探究1 图中，时钟的时针与分针所成的角与时钟的外围所成的圆有哪些位置关系?

【教学说明】这里让学生关键指出两点:一是角的顶点在圆心,二是两边与圆相交.

二、思考探究，获取新知

1.圆心角概念

顶点在圆心,角的两边与圆相交的角叫圆心角.如图,∠AOB叫做

所对的圆心角,叫做圆心角∠AOB所对的弧.

【教学说明】圆心角的定义实际可以简化为:顶点在圆心的角叫圆心角.

2.圆心角与弧、弦关系定理

探究1 请同学们按下列要求作图并回答下列问题:

如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′位置，你能发现哪些等量关系，为什么？

学生回答：

【教学说明】=，AB=A′B′.

理由：∵半径OA与OA′重合，且∠AOB=∠A′OB′，

∴半径OB与OB′重合.

∵点A与点A′重合，点B与点B′重合，

∴与重合,弦AB与弦A′B′重合.

∴=,AB=A′B′.

探究2 同学们思考一下,在等圆中,这些结论是否成立?

学生回答:

【教学说明】可以在等圆⊙O和⊙O′中分别作∠AOB=∠A′O′B′,然后滚动一个圆,使圆心O与O′重合,固定圆心,将其中的一个圆旋转一个角度,使得OA与O′A′重合,∠AOB与∠A′O′B′重合,则有上面相同结论,AB=A′B′, =.

用文字叙述这个命题,则有弧、弦、圆心角之间关系的定理:

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.

同样还可以得到两个推论：

在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧和两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

注意:圆心角、弦、弦关系定理的前提条件是在同圆或等圆中,没有这一条,定理不成立.

三、典例精析，掌握新知

例1 教材P48例1

【分析】在同圆中，由弦相等可以得到圆心角相等，从而使问题解决.学生自主完成.

例2 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=25°,以C点为圆心，CA的长为半径的圆交AB于点D，求的度数.

【分析】要求的度数,根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数,故只需求出∠DCA的度数.

解:连接CD,如图.

∵∠ACB=90°,∠B=25°,

∴∠A=65°.

∵CD=CA,

∴∠CDA=65°,

∴∠DCA=180°-65°×2=50°.∴的度数为50°.

【教学说明】在圆中求角的度数时，把角放在直角三角形和等腰三角形中去解决是一种常用的方法.

四、运用新知，深化理解

1.(浙江湖州中考）如图是七年级（1）班参加课外兴趣小组人数的扇形统计图，则表示参加唱歌兴趣小组人数的扇形的圆心角的度数是（）

A.36°  B.72°  C.108°  D.180°

2.在⊙O中，所对的圆心角有___个，弦AB所对的弧有____条.若∠OAB=50°,则所对的圆心角为_____度.

3.如图所示，⊙O1和⊙O2为两个等圆，O1A∥O2D,O1O2与AD相交于点E，AD与⊙O1和⊙O2分别交于点B，C，求证：AB=CD.

【教学说明】学生自主完成加深对新学知识的理解和检测对圆心角及相关定理的掌握情况.

【答案】1.B 2.1,2,80

3.证明:∵O1A∥O2D,∴∠A=∠D.

∴∠AO1B=∠DO2C.

又∵⊙O1和⊙O2为两个等圆，

∴AB=CD.

五、师生互动，课堂小结

1.学生总结本堂课的收获与困惑.

2.教师强调:圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法.

1.教材P56第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课从时钟引入圆心角的概念,进一步探究圆心角的相关定理.加深学生对圆心角及相关定理的认识,并运用所学知识解决实际问题,以此来激发他们的学习兴趣.