内蒙古赤峰市赤峰第四中学2022-2023学年高二下学5月月考理科数学试题（解析版）

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赤峰四中2022－2023学年第二学期月考试题
高二理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设（i为虚数单位，为z的共轭复数），则（ ）
A. 0 B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数代数形式的四则运算结合共轭复数的概念即可得到答案.
【详解】，所以，
所以，
故选：C.
2. 设某实验成功率是失败率的3倍，用随机变量描述3次实验成功的次数，则的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据独立重复试验概率计算公式求得正确答案.
【详解】由于成功率是失败率的倍，所以成功率是，失败率是，
所以.
故选：A
3. 据统计2023年“五一”假期哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数X服从正态分布，则在此期间的某一天，太阳岛接待的人数不少于1800的概率为（ ）
附：，，，
A. 0.4987 B. 0.8413 C. 0.9773 D. 0.9987
【答案】C
【解析】
【分析】根据原则求得正确答案.
【详解】依题意，，

.
故选：C
4. 给出以下四个说法：
①设随机变量服从正态分布，，则；
②对分类变量X与Y，若它们的随机变量的观测值k越小，则判断“X与Y有关系”的犯错误的概率越小；
③在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越好；
④随机变量服从二项分布，，则n＝6．
其中正确的说法是（ ）
A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】由统计案例的相关知识逐项判断即可.
【详解】①设随机变量服从正态分布，，即，则，
根据正态分布的对称性可知，，故①正确；
②对分类变量X与Y，若它们的随机变量的观测值k越小，
则判断“X与Y有关系”的犯错误的概率越大，故②错误；
③在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越好，故③正确；
④随机变量服从二项分布，，
则，即，即则，故④错误；
故选：C.
5. 习近平总书记在湖南省湘西州花垣县十八洞村考察时，首次提出“精准扶贫”概念，“精准扶贫”已成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家“精准扶贫”战略，某省农业厅派出8名农业技术专家（6男2女）分成两组，到该省两个贫困县参加扶贫工作，若要求女专家不单独成组，且每组至多6人，则不同的选派方案共有（ ）种
A. 480 B. 252 C. 306 D. 236
【答案】D
【解析】
【分析】根据组中人数有、、分组形式，再应用分步计数求不同的选派方案的种数.
【详解】由题意，两组人数可分为、、两种，
1、当形式，选派方案有种；
2、当形式，选派方案有种；
3、当形式，选派方案有种；
∴不同的选派方案共有种.
故选：D.
6. 设，，，则a，b，c的大小关系（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过微积分基本定理计算出的值，通过积分的几何意义可求出的值，比较即可得结果.
【详解】∵，
由定积分的几何意义可知，表示单位圆在第一象限部分与轴、轴所围成的封闭曲线的面积，等于，
，
∴，
故选：A.
7. 曲线L：（为参数）上的点到曲线：（t为参数）上的点的最近距离为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，把曲线的参数方程化成普通方程，再利用几何意义结合点到直线的距离公式计算作答.
【详解】依题意，曲线L的普通方程为，是圆心为，半径为2的圆，
曲线的普通方程为，于是点到直线的距离，
所以所求两条曲线上两点间距离最小值为.
故选：B

8. 展开式中的系数是（ ）
A. B. C. 24 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】依题意，展开式中含的项为：
，
所以的系数是.
故选：A
9. 下面四个图象中，至少有一个是函数（其中）的导函数的图象，则等于（ ）

A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】先求得，然后结合图象求得，进而求得.
【详解】，的图象开口向上，所以②④错误.
对于①，则，；
对于③，则，解得；
所以等于或.
故选：C
10. 在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知，当点在第三象限且椭圆在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离取得最大值，可设切线方程为，将切线方程与椭圆方程联立，求出的值，利用平行线间的距离公式可求得结果.
【详解】如下图所示：

根据题意可知，当点在第三象限且椭圆在点处的切线与直线平行时，
点到直线的距离取得最大值，可设切线方程为，
联立，消去整理可得，
，因为，解得，
所以，椭圆在点处的切线方程为，
因此，点到直线的距离的最大值为,
联立，
可得点的坐标为.
故选：B.
11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论中正确的个数是（ ）
①当时，
②函数有3个零点
③的解集为
④，都有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】对于①，设，则，然后代入已知函数中结合奇函数化简可得答案，对于②，分情况解方程求解，对于③，直接解不等式即可，对于④，分和分别对函数求导，根据导数的正负可求出函数的单调性，再求出函数的值域，然后分析判断.
【详解】对于①，当时，，则，
因为为奇函数，所以，
所以，所以，所以①错误，
对于②，因为是定义在上的奇函数，所以，
当时，由，得，
当时，由，得，
所以函数有3个零点，所以②正确，
对于③，当时，由，得，得，
当时，由，得，得，所以，
综上，或，所以的解集为，所以③正确，
对于④，当时，由，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
且当时，，当时，，
所以
当时，由，得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最大值，
当时，，当时，，
所以，
所以的值域为，
所以，都有，所以④正确，
故选：C
【点睛】关键点点睛：此题考查函数的奇偶性，考查函数与方程，考查导数的应用，解题的关键是根据函数为奇函数和时的解析式，求出时的解析式，考查计算能力，属于较难题.
12. 函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简不等式，根据不等式恒成立以及的范围求得的取值范围.
【详解】依题意，，对于任意的恒成立，
即，对于任意的恒成立，
即，即，
即，即，对于任意的恒成立，
所以
故选：D
【点睛】求解含参数的不等式恒成立问题，可考虑利用化归与转化的数学思想方法，转化已知不等式，将其转化为简单的不等式，如本题中恒成立的不等式，可转化为这样一个简单的不等式，然后结合最值或值域来求得参数的取值范围.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 高三某班一学习小组的四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①不在散步，也不在打篮球；②不在跳舞，也不在散步；③“在散步”是“在跳舞”的充分条件；④不在打篮球，也不在散步；⑤不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么在_________.
【答案】画画
【解析】
【详解】以上命题都是真命题，
∴对应的情况是：

则由表格知A在跳舞，B在打篮球，

∵③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件，
∴C在散步，
则D画画，
故答案为画画
14. 已知曲线与曲线在处的切线互相垂直，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据切线垂直列方程，化简求得.
【详解】对于，；
对于，；
由于两条曲线在处的切线互相垂直，
所以，
，解得（负根舍去）.
故答案为：
15. 要从甲、乙等8人中选5人在座谈会上发言，若甲乙都被选中且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有______种．（用数字作答）
【答案】720
【解析】
【分析】根据先选后排原理，再根据插空法，进行排列组合即可得解.
【详解】除甲乙外再选3人共有种可能，
从选中的3人中选一人插在甲乙中间，此三人再进行排列共有种可能，
再将此三人看作整体和另外两人进行全排列，共有种可能，
则共有，
故答案为：720.
16. 已知函数有两个极值点，若存在最小值，且满足不等式，则a的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导数，由函数有两个极值点得有二不等实根，并求出二根，再分析极值情况结合已知列出不等式求解作答.
【详解】函数，求导得，
依题意，方程有两个不相等的实数根，不妨令，
则，解得，有，
显然当或时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
于是是函数的极大值点，是函数的极小值点，而，
由，得，即函数的极大值，
而函数在上单调递减，，，恒有，
因为函数存在最小值，则有，而，，
于是，解得，
又
，解得，因此，
所以a的取值范围为.
故答案为：
三、解答题：共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. “蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．
（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；
（2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；
（3）为了激励研究热情，首先分别给予两个小组各50万元的研究经费，并规定试验每成功一次，额外奖励9万元．若甲乙两小组各进行1次试验，设两个小组获得的总费用（研究经费＋额外奖励）为Y，求Y的数学期望．
【答案】（1）
（2）
（3）108.25（万元）
【解析】
【分析】（1）根据独立重复试验概率计算公式求得所求概率.
（2）根据独立重复试验概率计算公式求得所求概率.
（3）先求得的分布，进而求得的数学期望.
【小问1详解】
依题意，甲小组做了三次试验，至少两次试验成功的概率为：
.
小问2详解】
乙小组成功次，失败次，共进行了次试验，第次试验成功，
且恰有两次连续失败，若第次失败，情形有种，
若第次失败，情形有种，若第次失败，情形有种，
若第次失败，情形有种，若第次失败，情形有种，
故共有种情形，
故所求概率为：.
【小问3详解】
可能取，，
，，
（万元）.
18. 在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．
（1）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（2）已知点，直线l与圆C交于A、B两点，AB中点为D，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用直线的参数方程代入圆方程，利用一元二次方程根和系数的关系式，转化求解即可．
【小问1详解】
消去直线l的参数方程中的参数，得直线l的普通方程为．
将的等号两边同时乘以，得，
将，，代入，得圆C的直角坐标方程为，即．
【小问2详解】
因为直线l的普通方程为，当，
则P在直线l上，将变形为标准形式为
设点A，B对应的参数分别为，，
将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得
，
整理得，
则，．
如图，在平面直角坐标系xOy中作出直线l和圆C，
由图易知，
，
则．

19. 如图，在梯形ABCD中，，，四边形ACFE为矩形，平面平面ABCD，CF＝1．

（1）求证：平面ACFE；
（2）在线段EF上是否存在点M，使得平面MAB与平面FCB所成锐二面角的平面角为且满足？若不存在，请说明理由；若存在，求出FM的长度．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理来证明平面ACFE；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法进行判断，并求得的长度.
【小问1详解】
如图所示的等腰梯形ABCD中，
经过点C，D分别作，，垂足为P，Q，
则CDQP为矩形，PQ＝2．在中，∠B＝60°，则，
同理可得AQ＝1，∴AB＝4．
在中，，
∴，∴∠ACB＝90°，∴．
又∵平面平面ABCD，平面平面ABCD＝AC，平面ABCD，
∴平面ACFE．
【小问2详解】
如图所示，以为空间坐标原点，建立空间直角坐标系．
，，，，
设，，，
设平面ABM的法向量，则，∴，
取．取平面BCF的法向量．
由，
由题意假设：，．解得．
因此在线段EF上存在点，使得平面MAB与平面FCB所成锐二面角的平面角为，
且满足，此时．

20. 设函数，．
（1）当时，求的单调区间；
（2）求证：当时，．
【答案】（1）增区间为，减区间为
（2）证明详见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数求得的单调区间.
（2）转化要证明的不等式，然后利用构造函数法，利用多次求导的方法证得不等式成立.
【小问1详解】
当时，，
令解得，
所以在区间上，单调递增，
在区间上，单调递减.
所以的增区间为，减区间为.
【小问2详解】
当时，有， .
要证明：时，，即证明：时，，
即证明：时，，即证明：时，，
即证明：时，，即证明：时，，
设，，则，
设，
当且仅当时等号成立，
所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增，
所以在区间上，所以在区间上单调递增，
所以在区间上有，即时，，
所以原不等式在区间成立.
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的性质，当一次求导无法求得函数的单调区间时，可考虑多次求导的方法来进行求解，求解过程中，要注意原函数和对应的导函数之间的关系，不能弄混淆.
21. 已知椭圆C：经过，其离心率是方程的一个实数根．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l：y＝x＋m与椭圆C交于M、N两点，在y轴上是否存在点E使得为正三角形？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，的方程为
【解析】
【分析】（1）根据点坐标以及椭圆的离心率求得，从而求得椭圆的标准方程.
（2）根据为正三角形得出等量关系，根据等量关系，利用根与系数的关系列等式，求出m的值，即可得解.
【小问1详解】
解方程，
得，，所以椭圆离心率.
，，
所以椭圆方程可化为，
将代入上式得，
解得，则，
故椭圆C的标准方程为.
【小问2详解】
假设y轴上存在点E使得为正三角形，
设，，MN的中点为，
连接QE，则，．
联立得，整理得，
则，所以，
所以，，
故
．
又，，即，
则直线QE的方程为，令x＝0，得，所以．
又，所以，
解得，均满足．
故当直线l的方程为时，在y轴上存在点，
使得为正三角形；
当直线l的方程为时，在y轴上存在点，
使得为正三角形．
【点睛】方法点睛：求解与椭圆离心率有关的问题时，要注意椭圆离心率的取值范围，即.求解椭圆方程有关的问题，主要是根据已知条件，列方程来求得，从而可求得椭圆的方法.求解直线和椭圆相交有关问题，要注意.
22. 已知函数在处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数t的取值范围；
（3）证明：对任意的正整数n，不等式都成立．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
分析】（1）函数，对其进行求导，在处取得极值，可得，求得值；
（2）关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，将问题转化为在区间上恰有两个不同的实数根，对对进行求导，从而求出的范围；
（3）的定义域为，利用导数研究其单调性，可以推出，令，可以得到 利用此不等式进行放缩证明.
【小问1详解】
函数
，
当时，取得极值，
，故，解得，
经检验符合题意，
所以；
【小问2详解】
由（1）知，
由，得，
令，
则在区间上恰有两个不同的实数根，
等价于在区间上恰有两个不同的实数根，
，
当时，，于是在上单调递增，
当时，，于是在上单调递减，
所以，
因为关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数根，
所以，解得，
所以实数t的取值范围为；
【小问3详解】
的定义域为，
，
令得，或（舍去），
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，
故（当且仅当时，等号成立），
对任意正整数，取，得，
，
故，
即对任意的正整数n，不等式都成立．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.