云南省绥江县第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

这是一份云南省绥江县第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版），共16页。
绥江一中2021年春季学期高二年级期中考试
理科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】转化存在量词命题的否定为真命题，列式求解.
【详解】命题“，使得”是假命题，即“成立”是真命题，
故，解得.
故选：C.
2. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B. 是常数
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据基本初等函数的导数计算可得答案.
【详解】.
故选：C.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分不必要条件的定义，结合基本不等式，可得答案.
【详解】当时，显然成立，反之不成立；
当时，则，故，充分性成立；
令，由推不出，故”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
4. 已知为偶函数且，则等于（ ）
A. 0 B. 4 C. 5 D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据定积分的定义结合偶函数的性质可得答案.
【详解】为偶函数，，
故选：D.
5. 如图，点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））在函数f（x）的图象上，且x2＜x1，为f（x）的导函数，则与的大小关系是（　　）

A. B.
C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义，结合图象判断．
【详解】根据题意，点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2），为f（x）的导函数，
则为点A处切线的斜率，设其斜率为k1，为点B处切线的斜率，设其斜率为k2，
由函数的图象可得k1＞k2，即有；
故选：A．

6. 已知椭圆经过点，且的离心率为，则的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求出即可得解.
【详解】由题可知，，解得，
所以椭圆的方程为.
故选：A.
7. 下列命题中的真命题是（ ）
A.
B. 命题“”的否定
C. “直线与直线垂直”的充要条件是“它们的斜率之积一定等于”
D. “”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】利用特殊值判断ABC，利用充分条件与必要条件的定义判断D，即可选出正确答案．
【详解】对于A，，故A为假命题；
对于B，命题“”的否定为，
取，则，所以命题，是假命题；
若一条直线垂直于轴，而另一条直线的斜率为0，则两直线垂直，
故命题“直线与直线垂直”的充要条件是“它们的斜率之积一定等于-1”是假命题，
方程表示双曲线等价于，
即或，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，
故D是真命题，
故选：D.
8. 若，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.
【详解】根据题意，，其导数，则，
又由，
则.
故选：D.
9. 设第四象限的点为抛物线上一点，为焦点，若，则（ ）
A. -4 B. C. D. -32
【答案】B
【解析】
【分析】根据焦半径公式求的值，再代入点的坐标，即可求的值.
【详解】由抛物线的方程可得焦点坐标为，由抛物线的性质可得，所以，
将的坐标代入抛物线的方程：，所以，又因为在第四象限，
所以.
故选：.
10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. -8是函数的极小值点
B. -2是函数的极小值点
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数在区间上先增后减
【答案】A
【解析】
【分析】利用导函数的正负，判断函数的单调性，结合函数极值点与函数单调性的关系，即可判断选项.
【详解】由导数和单调性的关系可知，
，则单调递减，，单调递增，
结合导函数的图象，可知在上单调递减，在上单调递增，
所以-8是函数的极小值点，故A正确；
-2两边的，不是的极值点，故B错误；
函数在区间上单调递增，故C错误；
函数在区间上单调递增，故D错误.
故选：A.
11. 已知双曲线的右顶点为，左焦点为，动点在上.当时，有，则的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先判断在左支上，求得，由，可得，再由，，和的关系，化简可得答案．
【详解】如图，由动点在上，当时，，
可得在左支上，令，可得，
解得，即有，则，
即，
可得，即.
故选：D.

12. 已知椭圆的一个焦点为，点是椭圆上的一个动点，的最小值为，且存在点，使得（点为坐标原点）为正三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件椭圆的性质，以及几何条件，得到关于的方程，即可求解.
【详解】由椭圆的定义可得，要使（点为坐标原点）为正三角形，
不妨设点为右焦点，则存在，即，
将代入椭圆的方程得
将代入上式得，化简得，
则，代入，得，
所以，代入，可得，
所以.
故选：D.
第II卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 命题“”的否定是__________.
【答案】
【解析】
【分析】全称量词命题的否定可以通过改变量词，并将结论加以否定得到.
【详解】命题“”的否定是.
故答案为：.
14. 能够说明“若，则”是假命题一组整数，的值依次为________．
【答案】，，答案不唯一，，分别取大于0，小于0的整数即可
【解析】
【分析】
，分别取大于0，小于0的整数即可得到答案.
【详解】取，，满足，但，得到命题为假命题.
故答案为：，；
【点睛】本题考查了举例判断假命题，意在考查学生的推断能力.
15. 设点是曲线上的任意一点，曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围是__________.（用区间表示）
【答案】
【解析】
【分析】求出导数确定斜率的取值范围，由此得倾斜角的范围．
【详解】因为，
所以曲线上点处的切线的斜率的取值范围为，即，
又，
所以的取值范围是.
故答案为：．
16. 抛物线的焦点为，过上一点作的准线的垂线，垂足为，若直线的斜率为-2，则的面积为__________.
【答案】40
【解析】
【分析】首先设点，利用斜率公式，以及抛物线方程，可求点的坐标，再结合三角形面积公式，即可求解.
【详解】如图，由抛物线的方程可得，准线方程为，设，由题意可得，所以，可得，代入抛物线的方程可得，所以，即，所以，所以.

故答案为：40
三､解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知命题：实数满足不等式；命题：实数满足方程表示双曲线.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，分解因式后，直接求解；
（2）分别求解两个命题为真命题时的取值范围，再转化为子集关系，即可求解.
【小问1详解】
由，得，
而，所以
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
命题为真时，实数的取值范围为；
命题为真时，，即实数的取值范围为，
而是的充分不必要条件，即Ü，
所以（等号不同时成立），解得，
所以实数取值范围.
18. 已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的极值.
【答案】（1）
（2）极小值1，无极大值.
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，
（2）对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值.
【小问1详解】
，所以切点为，
因为，所以，
所以切线方程为，
即.
【小问2详解】
函数的定义域为
令，得，
当时，递减；
时，递增.
所以函数在处取得极小值，无极大值.
19. 已知抛物线C：（）与圆O：相交于A，B两点，且点A的横坐标为.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.
（1）求抛物线C的方程.
（2）过点M，N作抛物线C的切线，，是，的交点，求证：点P在定直线上.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）易得点A的坐标为，然后利用待定系数法即可求得抛物线的方程；
（2）抛物线，则，设,，可分别求得切线PM方程和切线PN的方程，联立解得点，设直线MN的方程为，代入抛物线的方程得，所以，进而可得点的纵坐标为，命题得证.
【详解】（1）点A的横坐标为，所以点A的坐标为，
代入解得，所以抛物线的方程为；
（2）抛物线，则，设,，
所以切线PM的方程为 ，即,
同理切线PN的方程为，
联立解得点，
设直线MN的方程为，代入，
得，所以，
所以点P在上，结论得证.
【点睛】方法点睛：直线过定点解题策略一般有以下几种：
（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据 特殊情况先找到这个定点，再进行证明；
（2）直接找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式或者斜截式方程，从而得到定点；
（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过定点坐标，注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
20. 已知函数在与时都取得极值.
（1）求，的值；
（2）求函数的单调区间，并指出与是极大值还是极小值.
【答案】（1），.（2）函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，是极大值，是极小值
【解析】
【分析】（1）先对函数求导，根据题意，得到，，解方程组，即可求出结果；
（2）由（1）得，用导数的方法研究其单调性，进而可求出极值，从而判断出结果.
详解】（1）由，所以.
由题意可知，，
整理列方程组
解得，.
（2）由（1）知
当变化时，､的变化情况如下表：




1


+
0
-
0
+

单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是
当时，有极大值；
当时，有极小值.
【点睛】本题主要考查由函数的极值点求参数，以及由导数的方法求函数极值的问题，属于常考题型.
21. 已知函数.
（1）若在处的切线过点，求的值；
（2）若恰有两个极值点，求的取值范围.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）求出在处的切线方程，代入即可求得结果；
（2）求出，时不合题意；时根据的正负可得的单调性，结合单调性可得答案.
【小问1详解】
函数，
，
又，
在处的切线方程为，
即
切线过点；
【小问2详解】
，，
当时，，当且仅当时等号成立，
此时，
在上单调递增，无极值，不合题意，舍去；
当时，令，
得，
或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
恰有两个极值点，符合题意，
故的取值范围是.
【点睛】思路点睛：本题考查根据极值点个数求解参数范围的问题，求解此类问题的关键是利用导数判断单调性，结合单调性和极值的个数求解.
22. 已知椭圆的焦距与短轴长相等，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为椭圆上两点，是以（斜率存在）为斜边的直角三角形（为坐标原点），求的最大值.
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）将点代入椭圆方程，并根据条件得到，联立方程，即可求解；（2）首先直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理得到根与系数的关系，并代入，得到，并代入坐标，表示，结合基本不等式，即可求最大值.
【小问1详解】
由题意，可知，
即，所以，
把点的坐标代入椭圆方程得，
所以
所以椭圆方程为.
【小问2详解】
设直线方程为，

与椭圆联立，得
则，
设，则，
是以为斜边的直角三角形，
，即，

，
所以，即，满足，
，

，
（当且仅当时取等号），
，
综上，的最大值为3.