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2023年黑龙江省大庆市杜尔伯特蒙古族自治县中考一模数学试题（解析版）
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这是一份2023年黑龙江省大庆市杜尔伯特蒙古族自治县中考一模数学试题（解析版），共27页。
2023年初中升学第一次模拟考试
数学试题
考生注意：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；非选择题用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应位置作答，在草纸、试题卷上作答无效．
3．考试时间120分钟，总分120分．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数额绝对值是它的相反数，零的绝对值是零”即可求解．
【详解】解：的绝对值是，
故选：．
【点睛】本题主要考查绝对值的性质，掌握绝对值的性质，求一个数的相反数的方法是解题的关键．
2. 下列运算一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算逐项验证即可得到结论．
【详解】解：A、根据积的乘方运算、幂的乘方运算法则可知，该选项符合题意；
B、根据合并同类项运算可知，该选项不符合题意；
C、根据幂的乘方运算可知，该选项不符合题意；
D、根据同底数幂的乘法运算可知，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查整式的运算，涉及到积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
3. 超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）平均数和方差分别为，s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差1，，则下列结论一定成立的是（ ）
A. 1 B. 1 C. s2＞ D. s2
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数和方差的意义，即可得到答案．
【详解】解：∵顾客从一批大小不一的鸡蛋中选购了部分大小均匀的鸡蛋，
∴＜s2，和1的大小关系不明确，
故选C
【点睛】本题主要考查平均数和方差的意义，掌握一组数据越稳定，方差越小，是解题的关键．
4. 据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到．已知，则用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：∵，
∴28nm=2.8×10-8m．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价．
6. 我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案．
【详解】该几何体的俯视图是：．
故选A．
【点睛】此题主要考查了几何体的三视图；掌握俯视图是从几何体上面看得到的平面图形是解决本题的关键．
7. 如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由切线性质得出，根据三角形的内角和是、对顶角相等求出，即可得出答案；
【详解】解：PA与⊙O相切于点A，AD是⊙O的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查圆内求角的度数，涉及知识点：切线的性质、对顶角相等、等腰三角形的性质、三角形的内角和是，解题关键根据切线性质推出．
8. 如图，在中，平分，于点F，D为的中点，连接并延长交于点E．若，，则线段的长为（ ）
A. 5 B. 8 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得，且，结合角平分线可得，即，进而可得，由可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，D为的中点，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是证明是的中位线．
9. 如图，是的直径，是的切线，点为切点，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意易得，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】解：∵是的切线，
∴，
∵，，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查切线的性质及解直角三角形，熟练掌握切线的性质及三角函数是解题的关键．
10. 如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝4，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF．则AF的长为（ ）
A B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】过点D作DH⊥AF于点H，由锐角三角函数的定义求出CD＝1，AD＝3，由旋转的性质得出DC＝DE，DA＝DF＝3，∠CDE＝∠ADF，证出∠DCE＝∠DAF，设AH＝a，DH＝3a，由勾股定理得出a2+（3a）2＝32，求出a可得出答案．
【详解】解：过点D作DH⊥AF于点H，
∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴AD＝BD，
∵tan∠ACB3，
设CD＝x，
∴AD＝3x，
∴BC＝3x+x＝4，
∴x＝1，
∴CD＝1，AD＝3，
∵将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，
∴DC＝DE，DA＝DF＝3，∠CDE＝∠ADF，
∴，
∴∠DCE＝∠DAF，
∴tan∠DAH＝3，
设AH＝a，DH＝3a，
∵AH2+DH2＝AD2，
∴a2+（3a）2＝32，
∴a，
∴AH，
∵DA=DF，DH⊥AF，
∴AF＝2AH，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定，应用三角函数解直角三角形，勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键．
二．填空题（本大题共8小题，每小题共3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 把多项式分解因式的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12. 计算：的结果是___________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知，本题考查二次根式的运算，根据二次根式的化简，即可进行求解．
【详解】解：原式==
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的运算，先化简再进行合并二次根式是解决此类问题的关键．
13. 已知反比例函数的图象经过点，则a的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】把点的坐标代入反比例函数解析式，求出a的值即可．
【详解】解：把点代入得：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，明确函数图像经过一个点，这个点的坐标就符合函数解析式是解题关键．
14. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】用列表法与树状图法求解即可.
【详解】解:用列表法列举出总共4种情况，分别为：正正、正反、反正、反反，
其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的情况为：正反、反正
所以概率是，
故答案是.
【点睛】本题考查了求随机事件的概率, 用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比. 得到所求的情况数是解决本题的关键.
15. 代数式有意义，则x的取值范围是________________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案．
【详解】由题意，得
且，
解得且，
故答案为且．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键．
16. 已知圆P的半径是，圆心P在函数的图像上运动，当圆P与坐标轴相切时，圆心P的坐标为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况讨论：如图，当圆心P在函数的图像上运动，当时，，当时，则，解得：，经检验符合题意；从而可得答案．
【详解】解：如图，当圆心P在函数的图像上运动，
∴当时，，
此时，
当时，则，解得：，经检验符合题意；
此时，
综上：或；
故答案为：或
【点睛】本题考查的是坐标与图形，反比例函数的图像与性质，圆的切线的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
17. 如图所示的扇形中，，过点O作，交于点，若，则阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】用扇形的面积减去三角形的面积即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为 ：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算、解直角三角形等知识点，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
18. 有四个解，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】方程的解可以看成直线的图像与的图像的交点，作出直线与的图像，根据图像的交点情况即可解答．
【详解】解：方程的解可以看成直线的图像与的图像的交点，
如图，作函数的图像和直线的图像，
由有四个解，则直线的图像与的图像应有四个交点，
∴当时，有4个交点，即有四个解．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了函数图像与方程的解，根据直线与函数图像交点的个数得到方程解的个数．掌握数形结合的数学思想是解答本题的关键．
三．解答题（本大题共10小题，共66分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
【答案】6
【解析】
【分析】原式分别化简，再进行乘除运算，最后进行加减运算即可得到答案．
【详解】解：
=
=
=6
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，正确化简是解答本题的关键．
20. 先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据特殊角三角函数值求出x，继而代入计算可得．
【详解】解：原式
∵
∴原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则以及特殊角三角函数值．
21. 如图，在四边形中，，，，垂足分别为、，且．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据垂线的定义，得出，再根据“”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂线的定义、全等三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的判定与性质．
22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中面出，使与关于直线对称（点D在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中画出以线段为一边的平行四边形（点G，点H均在小正方形的顶点上），且平行四边形的面积为4．连接，请直接写出线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）图见解析，
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质可得△ADC；
（2）利用平行四边形的性质即可画出图形，利用勾股定理可得DH的长．
【小问1详解】
如图
【小问2详解】
如图，
【点睛】本题考查了作图，轴对称变换，平行四边形的性质，勾股定理等知识，准确画出图形是解题的关键．
23. 年在北京市和张家口市举行了第二十四届冬季奥林匹克运动会．为了调查学生对冬奥知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
．甲校名学生成绩频数分布直方图如图
．甲校成绩在的这一组的具体成绩是：
．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如表所示：
学校
平均分
中位数
众数
方差
甲
乙
甲校学生样本成绩频数分布直方图
根据图表提供的信息解答下列问题：
（1）表中中位数_______；
（2）补全图1甲校学生样本成绩频数分布直方图；
（3）在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是_______校的学生（填“甲”或“乙”），理由是_______；
（4）假设甲校名学生都参加此次测试，若成绩分及以上为优秀，估计成绩优秀的学生人数为_______．
【答案】（1）
（2）图见解析 （3）乙，乙的中位数是，
（4）
【解析】
【分析】（1）根据中位数的计算方法即可求解；
（2）根据样本容量可求出的人数，即可求解；
（3）根据中位数的概念及意义即可求解；
（4）运用样本的百分比估算总体的量的计算方法即可求解．
【小问1详解】
解：根据甲校成绩的频数分布图可知，的有人，的有人，的有人，的有人，
∴的有（人），
由题意可知，甲校样本的中位数应该在第个数据，在这个阶段中，
∴第个数据分别为、，
∴中位数，
故答案为：．
【小问2详解】
解：甲校学生样本成绩在的人数为（人），
补全甲校学生样本成绩频数分布直方图形如下：
【小问3详解】
解：在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是乙校的学生，
理由：乙校成绩，中位数是，，成绩是分在中上；甲校成绩，中位数是，，成绩是分在中下，
故答案为：乙，乙的中位数是，．
小问4详解】
解：样本中，甲校成绩在分及以上的人数有（人），
∴甲校名学生成绩优秀的学生人数为（人），
∴估计成绩优秀的学生人数为人．
故答案为：140．
【点睛】本题主要考查调查与统计的相关概念和计算，掌握中位数的计算方法，根据中位数作决策，样本百分比估算总体的量的方法等知识是解题的关键．
24. 如图，某无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯视角为，测得教学楼顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为57米．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）
（1）填空： ______度， ______度；
（2）求此时无人机与教学楼之间的水平距离的距离；
（3）求教学楼的高度．
【答案】（1）105，135
（2）无人机与教学楼BC之间的水平距离BE的距离为米
（3）教学楼BC的高度为米
【解析】
【分析】（1）延长交于点，根据题意可得，，，则，再根据三角形的外角定理求出即可；
（2）过点A作，垂足为F．根据题意可得，米，米，则，再根据即可求解；
（3）在中，，则，即可求解．
【小问1详解】
解：如图：延长交于点，
由题意得：，，，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
故答案为：105，135；
【小问2详解】
解：过点A作，垂足为F．
由题意得：，米，米，
在中，，
（米），
∴米，
∴米，
∴此时无人机与教学楼之间的水平距离BE的距离为米；
【小问3详解】
解：在中，，米，
∴米，
∴米，
∴教学楼的高度为米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．
25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在轴上找一点使最大，求的最大值及点的坐标；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1），
（2）最大值，
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用点A在反比例函数上，代入求得m的值，即可得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入，求出k、b的值，即可得到一次函数解析式；
（2）根据得到当、B、C三点共线时，则的最大值即是的长度，则点P即是直线与y轴的交点，再求出点和点，再求得即可；
（3）由反比例函数和一次函数的图象和交点，可知，当或时，一次函数的图象在反比例图象的上方，即可得到不等式的解集．
小问1详解】
∵在反比例函数上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
把代入可求得，
∴，
把A、B代入得到
，
解得，
∴一次函数的解析式为；
【小问2详解】
∵，
∴当、B、C三点共线时，则的最大值即是的长度，
则点P即是直线与y轴的交点，
对于直线，
令，则，解得，
∴，
令，则，
∴，
则，
即的最大值是．
【小问3详解】
由反比例函数和一次函数的图象和交点，可知，当或时，一次函数的图象在反比例图象的上方，
即不等式的解集是或．
【点睛】此题考查了反比例和一次函数综合题，用到了待定系数法、最值问题、勾股定理、图象法解不等式等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
26. “节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元；
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．
【答案】（1）2000元；（2）A型车20辆，B型车40辆
【解析】
【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
【详解】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得：
，
解得：x=2000．
经检验，x=2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60-a）辆，获利y元，由题意，得
y=（2000-1500-200）a+（2400-1800）（60-a），
y=－300a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60-a≤2a，
∴a≥20．
∵y=－300a+36000．
∴k=－300＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y最大=30000元．
∴B型车的数量为：60-20=40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
【点睛】本题考查了分式方程应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程．
27. 如图，在中，，以为直径的交于点，连接，过点作，垂足为，、的延长线交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质和圆的相关性质证得OD为△ABC的中位线，即可求证；
（2）根据题中条件证明△BND∽△DNA，再根据AB=AC，进行等量代换即可证明；
（3）先根据等腰三角形的性质、解直角三角形和勾股定理求出AB、BD、AD的长度，再利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）如图，连接OD，
∵AB为的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，点D为BC的中点，
又∵AO=BO，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵，
∴OD⊥MN，
故是的切线．
（2）∵∠ADB=90°，
∠1+∠3=90°，
∵，
∴∠3+∠5=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠5，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠4=∠5，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠4，
∵∠N=∠N，
∴△BND∽△DNA，
∴，
∵AB=AC，
∴，
∴
（3）∵，
∴BD=CD=3，
∵，
∴AC=，
∴AB=5，
由勾股定理可得AD=4，,
由（2）可得，△BND∽△DNA，
∴
∴，
∵，
∴，即，
解得：．
【点睛】本题考查圆的切线的判定、相似三角形的性质与判定和解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关性质和判定并灵活应用．
28. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于两点，抛物线与y轴的交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，连接．设点P的横坐标为t．
①设的面积为s，求出s与t之间的函数关系式，并说明t的取值范围．
②s是否存在最大值，若存在，求出s的最大值．若不存在，说明理由．
③在点P运动过程中，能否使得是以点B为顶点的等腰三角形，若可以，求出P点的坐标若不可以，说明理由．
【答案】（1）
（2）①，②存在，，③可以，
【解析】
【分析】（1）设抛物线的解折式为，把代入，即可求解；
（2）①先求出直线的解析式为，可得，，从而得到，再由，即可求解；②根据二次函数的性质，即可求解；③作于H，根据等腰三角形的性质可得，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意设抛物线的解折式为，
∵代入得，
∴，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：①如图1中，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
∴，，
∴，
∴；
②存在．理由如下：
∵，
∵，
∴时，s有最大值，最大值；
③∵，，，
∴，，
如图2中，作于H，
当，，
∴，
∵，，
∴点H的纵坐标为，
解得或0（舍弃）
∴时是以点B为顶点的等腰三角形，此时．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键．
2023年初中升学第一次模拟考试
数学试题
考生注意：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；非选择题用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应位置作答，在草纸、试题卷上作答无效．
3．考试时间120分钟，总分120分．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数额绝对值是它的相反数，零的绝对值是零”即可求解．
【详解】解：的绝对值是，
故选：．
【点睛】本题主要考查绝对值的性质，掌握绝对值的性质，求一个数的相反数的方法是解题的关键．
2. 下列运算一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算逐项验证即可得到结论．
【详解】解：A、根据积的乘方运算、幂的乘方运算法则可知，该选项符合题意；
B、根据合并同类项运算可知，该选项不符合题意；
C、根据幂的乘方运算可知，该选项不符合题意；
D、根据同底数幂的乘法运算可知，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查整式的运算，涉及到积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
3. 超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）平均数和方差分别为，s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差1，，则下列结论一定成立的是（ ）
A. 1 B. 1 C. s2＞ D. s2
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数和方差的意义，即可得到答案．
【详解】解：∵顾客从一批大小不一的鸡蛋中选购了部分大小均匀的鸡蛋，
∴＜s2，和1的大小关系不明确，
故选C
【点睛】本题主要考查平均数和方差的意义，掌握一组数据越稳定，方差越小，是解题的关键．
4. 据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到．已知，则用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：∵，
∴28nm=2.8×10-8m．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价．
6. 我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案．
【详解】该几何体的俯视图是：．
故选A．
【点睛】此题主要考查了几何体的三视图；掌握俯视图是从几何体上面看得到的平面图形是解决本题的关键．
7. 如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由切线性质得出，根据三角形的内角和是、对顶角相等求出，即可得出答案；
【详解】解：PA与⊙O相切于点A，AD是⊙O的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查圆内求角的度数，涉及知识点：切线的性质、对顶角相等、等腰三角形的性质、三角形的内角和是，解题关键根据切线性质推出．
8. 如图，在中，平分，于点F，D为的中点，连接并延长交于点E．若，，则线段的长为（ ）
A. 5 B. 8 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得，且，结合角平分线可得，即，进而可得，由可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，D为的中点，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是证明是的中位线．
9. 如图，是的直径，是的切线，点为切点，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意易得，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】解：∵是的切线，
∴，
∵，，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查切线的性质及解直角三角形，熟练掌握切线的性质及三角函数是解题的关键．
10. 如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝4，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF．则AF的长为（ ）
A B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】过点D作DH⊥AF于点H，由锐角三角函数的定义求出CD＝1，AD＝3，由旋转的性质得出DC＝DE，DA＝DF＝3，∠CDE＝∠ADF，证出∠DCE＝∠DAF，设AH＝a，DH＝3a，由勾股定理得出a2+（3a）2＝32，求出a可得出答案．
【详解】解：过点D作DH⊥AF于点H，
∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴AD＝BD，
∵tan∠ACB3，
设CD＝x，
∴AD＝3x，
∴BC＝3x+x＝4，
∴x＝1，
∴CD＝1，AD＝3，
∵将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，
∴DC＝DE，DA＝DF＝3，∠CDE＝∠ADF，
∴，
∴∠DCE＝∠DAF，
∴tan∠DAH＝3，
设AH＝a，DH＝3a，
∵AH2+DH2＝AD2，
∴a2+（3a）2＝32，
∴a，
∴AH，
∵DA=DF，DH⊥AF，
∴AF＝2AH，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定，应用三角函数解直角三角形，勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键．
二．填空题（本大题共8小题，每小题共3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 把多项式分解因式的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12. 计算：的结果是___________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知，本题考查二次根式的运算，根据二次根式的化简，即可进行求解．
【详解】解：原式==
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的运算，先化简再进行合并二次根式是解决此类问题的关键．
13. 已知反比例函数的图象经过点，则a的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】把点的坐标代入反比例函数解析式，求出a的值即可．
【详解】解：把点代入得：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，明确函数图像经过一个点，这个点的坐标就符合函数解析式是解题关键．
14. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】用列表法与树状图法求解即可.
【详解】解:用列表法列举出总共4种情况，分别为：正正、正反、反正、反反，
其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的情况为：正反、反正
所以概率是，
故答案是.
【点睛】本题考查了求随机事件的概率, 用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比. 得到所求的情况数是解决本题的关键.
15. 代数式有意义，则x的取值范围是________________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案．
【详解】由题意，得
且，
解得且，
故答案为且．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键．
16. 已知圆P的半径是，圆心P在函数的图像上运动，当圆P与坐标轴相切时，圆心P的坐标为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况讨论：如图，当圆心P在函数的图像上运动，当时，，当时，则，解得：，经检验符合题意；从而可得答案．
【详解】解：如图，当圆心P在函数的图像上运动，
∴当时，，
此时，
当时，则，解得：，经检验符合题意；
此时，
综上：或；
故答案为：或
【点睛】本题考查的是坐标与图形，反比例函数的图像与性质，圆的切线的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
17. 如图所示的扇形中，，过点O作，交于点，若，则阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】用扇形的面积减去三角形的面积即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为 ：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算、解直角三角形等知识点，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
18. 有四个解，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】方程的解可以看成直线的图像与的图像的交点，作出直线与的图像，根据图像的交点情况即可解答．
【详解】解：方程的解可以看成直线的图像与的图像的交点，
如图，作函数的图像和直线的图像，
由有四个解，则直线的图像与的图像应有四个交点，
∴当时，有4个交点，即有四个解．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了函数图像与方程的解，根据直线与函数图像交点的个数得到方程解的个数．掌握数形结合的数学思想是解答本题的关键．
三．解答题（本大题共10小题，共66分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
【答案】6
【解析】
【分析】原式分别化简，再进行乘除运算，最后进行加减运算即可得到答案．
【详解】解：
=
=
=6
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，正确化简是解答本题的关键．
20. 先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据特殊角三角函数值求出x，继而代入计算可得．
【详解】解：原式
∵
∴原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则以及特殊角三角函数值．
21. 如图，在四边形中，，，，垂足分别为、，且．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据垂线的定义，得出，再根据“”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂线的定义、全等三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的判定与性质．
22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中面出，使与关于直线对称（点D在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中画出以线段为一边的平行四边形（点G，点H均在小正方形的顶点上），且平行四边形的面积为4．连接，请直接写出线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）图见解析，
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质可得△ADC；
（2）利用平行四边形的性质即可画出图形，利用勾股定理可得DH的长．
【小问1详解】
如图
【小问2详解】
如图，
【点睛】本题考查了作图，轴对称变换，平行四边形的性质，勾股定理等知识，准确画出图形是解题的关键．
23. 年在北京市和张家口市举行了第二十四届冬季奥林匹克运动会．为了调查学生对冬奥知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
．甲校名学生成绩频数分布直方图如图
．甲校成绩在的这一组的具体成绩是：
．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如表所示：
学校
平均分
中位数
众数
方差
甲
乙
甲校学生样本成绩频数分布直方图
根据图表提供的信息解答下列问题：
（1）表中中位数_______；
（2）补全图1甲校学生样本成绩频数分布直方图；
（3）在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是_______校的学生（填“甲”或“乙”），理由是_______；
（4）假设甲校名学生都参加此次测试，若成绩分及以上为优秀，估计成绩优秀的学生人数为_______．
【答案】（1）
（2）图见解析 （3）乙，乙的中位数是，
（4）
【解析】
【分析】（1）根据中位数的计算方法即可求解；
（2）根据样本容量可求出的人数，即可求解；
（3）根据中位数的概念及意义即可求解；
（4）运用样本的百分比估算总体的量的计算方法即可求解．
【小问1详解】
解：根据甲校成绩的频数分布图可知，的有人，的有人，的有人，的有人，
∴的有（人），
由题意可知，甲校样本的中位数应该在第个数据，在这个阶段中，
∴第个数据分别为、，
∴中位数，
故答案为：．
【小问2详解】
解：甲校学生样本成绩在的人数为（人），
补全甲校学生样本成绩频数分布直方图形如下：
【小问3详解】
解：在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是乙校的学生，
理由：乙校成绩，中位数是，，成绩是分在中上；甲校成绩，中位数是，，成绩是分在中下，
故答案为：乙，乙的中位数是，．
小问4详解】
解：样本中，甲校成绩在分及以上的人数有（人），
∴甲校名学生成绩优秀的学生人数为（人），
∴估计成绩优秀的学生人数为人．
故答案为：140．
【点睛】本题主要考查调查与统计的相关概念和计算，掌握中位数的计算方法，根据中位数作决策，样本百分比估算总体的量的方法等知识是解题的关键．
24. 如图，某无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯视角为，测得教学楼顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为57米．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）
（1）填空： ______度， ______度；
（2）求此时无人机与教学楼之间的水平距离的距离；
（3）求教学楼的高度．
【答案】（1）105，135
（2）无人机与教学楼BC之间的水平距离BE的距离为米
（3）教学楼BC的高度为米
【解析】
【分析】（1）延长交于点，根据题意可得，，，则，再根据三角形的外角定理求出即可；
（2）过点A作，垂足为F．根据题意可得，米，米，则，再根据即可求解；
（3）在中，，则，即可求解．
【小问1详解】
解：如图：延长交于点，
由题意得：，，，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
故答案为：105，135；
【小问2详解】
解：过点A作，垂足为F．
由题意得：，米，米，
在中，，
（米），
∴米，
∴米，
∴此时无人机与教学楼之间的水平距离BE的距离为米；
【小问3详解】
解：在中，，米，
∴米，
∴米，
∴教学楼的高度为米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．
25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在轴上找一点使最大，求的最大值及点的坐标；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1），
（2）最大值，
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用点A在反比例函数上，代入求得m的值，即可得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入，求出k、b的值，即可得到一次函数解析式；
（2）根据得到当、B、C三点共线时，则的最大值即是的长度，则点P即是直线与y轴的交点，再求出点和点，再求得即可；
（3）由反比例函数和一次函数的图象和交点，可知，当或时，一次函数的图象在反比例图象的上方，即可得到不等式的解集．
小问1详解】
∵在反比例函数上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
把代入可求得，
∴，
把A、B代入得到
，
解得，
∴一次函数的解析式为；
【小问2详解】
∵，
∴当、B、C三点共线时，则的最大值即是的长度，
则点P即是直线与y轴的交点，
对于直线，
令，则，解得，
∴，
令，则，
∴，
则，
即的最大值是．
【小问3详解】
由反比例函数和一次函数的图象和交点，可知，当或时，一次函数的图象在反比例图象的上方，
即不等式的解集是或．
【点睛】此题考查了反比例和一次函数综合题，用到了待定系数法、最值问题、勾股定理、图象法解不等式等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
26. “节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元；
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．
【答案】（1）2000元；（2）A型车20辆，B型车40辆
【解析】
【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
【详解】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得：
，
解得：x=2000．
经检验，x=2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60-a）辆，获利y元，由题意，得
y=（2000-1500-200）a+（2400-1800）（60-a），
y=－300a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60-a≤2a，
∴a≥20．
∵y=－300a+36000．
∴k=－300＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y最大=30000元．
∴B型车的数量为：60-20=40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
【点睛】本题考查了分式方程应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程．
27. 如图，在中，，以为直径的交于点，连接，过点作，垂足为，、的延长线交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质和圆的相关性质证得OD为△ABC的中位线，即可求证；
（2）根据题中条件证明△BND∽△DNA，再根据AB=AC，进行等量代换即可证明；
（3）先根据等腰三角形的性质、解直角三角形和勾股定理求出AB、BD、AD的长度，再利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）如图，连接OD，
∵AB为的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，点D为BC的中点，
又∵AO=BO，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵，
∴OD⊥MN，
故是的切线．
（2）∵∠ADB=90°，
∠1+∠3=90°，
∵，
∴∠3+∠5=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠5，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠4=∠5，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠4，
∵∠N=∠N，
∴△BND∽△DNA，
∴，
∵AB=AC，
∴，
∴
（3）∵，
∴BD=CD=3，
∵，
∴AC=，
∴AB=5，
由勾股定理可得AD=4，,
由（2）可得，△BND∽△DNA，
∴
∴，
∵，
∴，即，
解得：．
【点睛】本题考查圆的切线的判定、相似三角形的性质与判定和解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关性质和判定并灵活应用．
28. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于两点，抛物线与y轴的交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，连接．设点P的横坐标为t．
①设的面积为s，求出s与t之间的函数关系式，并说明t的取值范围．
②s是否存在最大值，若存在，求出s的最大值．若不存在，说明理由．
③在点P运动过程中，能否使得是以点B为顶点的等腰三角形，若可以，求出P点的坐标若不可以，说明理由．
【答案】（1）
（2）①，②存在，，③可以，
【解析】
【分析】（1）设抛物线的解折式为，把代入，即可求解；
（2）①先求出直线的解析式为，可得，，从而得到，再由，即可求解；②根据二次函数的性质，即可求解；③作于H，根据等腰三角形的性质可得，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意设抛物线的解折式为，
∵代入得，
∴，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：①如图1中，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
∴，，
∴，
∴；
②存在．理由如下：
∵，
∵，
∴时，s有最大值，最大值；
③∵，，，
∴，，
如图2中，作于H，
当，，
∴，
∵，，
∴点H的纵坐标为，
解得或0（舍弃）
∴时是以点B为顶点的等腰三角形，此时．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键．
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