2023年湖南省株洲市天元区株洲市第二中学中考三模数学试题（解析版）

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株洲市二中2023年自主招生模拟考试（三）
数学试题卷
考试时量：120分钟 满分：100分
一、选择题（共6小题，每小题4分，共24分）
1. 估计的值应在（ ）
A. 43和44之间 B. 44和45之间 C. 45和46之间 D. 46和47之间
【答案】B
【解析】
【分析】根据进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了无理数的估值，解题关键是掌握估值方法．
2. 已知实数满足，则的值为（ ）
A. 0 B. 3 C. 6 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】先对已知的式子进行变形，可得，接下来根据非负数性质求出的值，再求出的值，然后将其代入式子求得答案．
【详解】解：，
，
根据绝对值以及偶次方的非负性，
得，
且，
，

，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了非负数的性质、求代数式的值，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．
3. 不等式＞﹣1的正整数解的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【详解】，去分母得3（x+1）>2(2x+2)-6，去括号得3x+3>4x+4-6，移项，合并同类项得-x>-5，系数化为1得x<5，所以满足不等式的正整数的个数有4个，故选D.
4. 方程的正根的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】A
【解析】
【分析】方程的正根个数问题先转化为函数图象的交点问题，用数形结合法，画出函数图象，由图可得，正根个数为0．
【详解】解：方程的正根个数问题先转化为函数图象的交点问题，
分别画出函数y＝，y＝图象．
由图可得，正根个数为0．
故选A．

【点睛】本题学生很容易去分母得2x2−x3＝2，然后解方程，不易实现目标．事实上，只要利用数形结合的思想，观察图象在第一象限有没有交点即可．
5. 无论为任何实数，二次函数的图像一定过的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】无论为任何实数，二次函数的图像一定过的点，即该定点坐标与的值无关，根据整理后式子中，该项中的，求解定点坐标即可．
【详解】原式可化为，
无论为任何实数，二次函数的图像一定过的点，即该定点坐标与的值无关，
，
解得：，
此时，
图像一定过的点是，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，理解定点坐标与的值无关，即整理后式子中，该项中的是解题的关键．
6. 如图，正方形的边长为8，点，分别在，上，，，是对角线上的个动点，则的最小值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过作垂线交于点，连接交于点，过作的垂线交于点，则即为所求，根据正方形的性质可知是等腰三角形，，，由即可求出的长，再由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：过作的垂线交于点，连接交于点，过作的垂线交于点，则即为所求；

∵四边形正方形，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
7. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，正确掌握用提取公因式法、平方差公式来因式分解是解题的关键．
8. 函数y＝中自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≥且x≠1
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，分式分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】由题意得，2x﹣1≥0且x﹣1≠0，
解得x≥且x≠1．
故答案为x≥且x≠1．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
9. 观察等式：，，，，……猜想______.
【答案】10102.
【解析】
【分析】观察给出的等式得到：从1开始的连续2个奇数和是22，连续3个奇数和是32，连续4个，5个奇数和分别为42，52…根据规律即可猜想从1开始的连续n个奇数的和，据此可解.
【详解】解：∵从1开始的连续2个奇数和是22，连续3个奇数和是32，连续4个，5个奇数和分别为42，52…；
∴从1开始的连续n个奇数的和：1+3+5+7+…+（2n-1）=n2； 
∴2n-1=2019；
∴n=1010；
∴1+3+5+7…+2019=10102；
故答案是：10102.
【点睛】此题主要考查学生对规律型题的掌握，关键是要对给出的等式进行仔细观察分析，发现规律，根据规律解题．
10. 如图，正方形ABCD的边长为，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积= ．

【答案】8．
【解析】
【分析】首先连接DF，由四边形ABCD是正方形，可得△BFN∽△DAN，又由E，F分别是AB，BC的中点，可得=2，△ADE≌△BAF（SAS），然后根据相似三角形的性质与勾股定理，可求得AN，MN的长，即可得MN：AF的值，再利用同高三角形的面积关系，求得△DMN的面积．
【详解】连接DF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC=，
∴△BFN∽△DAN，
∴，
∵F是BC的中点，
∴，
∴AN=2NF，
∴，
在Rt△ABF中，
∴，
∵E，F分别是AB，BC的中点，AD=AB=BC，
∴，
∵∠DAE=∠ABF=90°，
在△ADE与△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠AED=∠AFB，
∴∠AME=180°-∠BAF-∠AED=180°-∠BAF-∠AFB=90°．
∴，
∴，
∴．
又，
∴．
故答案为：8．
三、解答题（共5道题，共56分）
11. 已知，求的值.
【答案】-2
【解析】
【分析】把第一个等式变形，将第二个等式变形后代入整理求出于 的值，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，即可得到结果．
【详解】解：由已知得，
所以
显然，由得．
所以，
所以．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
12. 如图，在矩形中，，，是上一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．

（1）当为的中点时，求点到的距离的长．
（2）当点为线段上任意一点时，试问是否为定值？请说明理由．
【答案】（1）
（2）为定值，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质可求得，根据中点的性质可求得，待定系数法求得反比例函数的解析式为，求得，根据勾股定理求得，根据相似三角形的判定和性质即可求解；
（2）根据反比例函数上点的特征可求得，，推得，，即可求得，即可求解．
【小问1详解】
解：∵在矩形中，，，
∴，
∵为的中点，
∴，
将点代入，
解得：，
∴反比例函数为；
将代入，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
即，
解得：．
【小问2详解】
解：为定值，理由如下：
∵点在线段上，点在线段上，
∴点的横坐标为3，点的纵坐标为2，
又∵点，在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，，
∴，
所有定值．
【点睛】本题考查了矩形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性质，反比例函数上点的特征，熟练掌握反比例函数上点的特征是解题的关键．
13. 如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠F=30°，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）

【答案】（1）证明见解析；（2）S阴=4﹣．
【解析】
【详解】试题分析：（1） 根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，证明 ,利用全等三角形“SAS”判定定理，证明 ，得到OD⊥CD，所以CF为⊙O的切线.
（2） 利用三角函数和角度的关系，计算出OA，OC的长度和∠DOA的度数，分别求出四边形OACD和扇形OAD的面积，相减即可得到阴影部分的面积.
试题解析：（1）证明：如图连接OD．

∵四边形OBEC是平行四边形，
∴OC∥BE，
∴∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠DOC=∠AOC，
在△COD和△COA中，
，
∴△COD≌△COA，
∴∠CAO=∠CDO=90°，
∴CF⊥OD，
∴CF是⊙O的切线．
（2）解：∵∠F=30°，∠ODF=90°，
∴∠AOD=120°，
∵OD=OB，
∵∠DOC=∠AOC=60°，
∵EB=4，∴OD=2，CD=，
∴ .
14. 阅读、理解、应用
研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形是锐角，那么

为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：

设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线点O逆时针旋转后所得到的．和原点的距离为（总是正的）然后把角的三角函数规定为：
（其中分别是点的横、纵坐标）我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，四个比值的正、负取决于角的终边所在的象限，而与点在角的终边位置无关．
比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题，
（1）如图3，若，则角的三角函数值，其中取正值的是________．
（2）若角的终边与直线重合，则________．
（3）若角是针角，其终边上一点且，则________．
（4）若，则的取值范围是________．
【答案】（1）
（2）或
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）由点在第四象限，推出，根据，即可判断；
（2）分两种情形讨论即可解决问题；
（3）如图2中，作轴于E．求出的长，根据三角函数的定义即可解决问题；
（4）根据题意可得，根据，可得，再由，可得，从而得到，由此即可解决问题．
【小问1详解】
解：∵，
∴点在第四象限，
∴，
∵，
∴，
∴取取正值是；
故答案为：
【小问2详解】
解：如图1中，

①当点P在第一象限时，作轴于E．设，则，
∴．
②当点P在第三象限时，作轴于E．设，则，
∴．
综上所述， 或；
故答案为：或；
【小问3详解】
解：如图2中，作轴于E．

由题意， ，
∴，
∴，
∴；
【小问4详解】
解：根据题意得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目．
15. 如图，已知抛物线y=﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；
（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似，并说明理由；
（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1），对称轴：；（2）相似，理由见解析；（3）4；（4）Q1（3，0），Q2（3，）），Q3（3，）．
【解析】
【分析】（1）把点B的坐标代入抛物线解析式求出b的值，即可得到抛物线解析式，再根据对称轴方程列式计算即可得解；
（2）令y=0，解方程求出点A的坐标，令x=0求出y的值得到点C的坐标，再求出OA、OB、OC，然后根据对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似证明；
（3）设直线BC的解析式为，利用待定系数法求出解析式，再表示出MN，然后根据二次函数的最值问题解答；
（4）利用勾股定理列式求出AC，过点C作CD⊥对称轴于D，然后分①AC=CQ时，利用勾股定理列式求出DQ，分点Q在点D的上方和下方两种情况求出点Q到x轴的距离，再写出点的坐标即可；②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ=CQ，再写出点Q的坐标即可．
【详解】（1）∵点B（8，0）在抛物线上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，对称轴为直线；
（2）△AOC∽△COB．
理由如下：令y=0，则，即，
解得，，
∴点A的坐标为（﹣2，0），
令x=0，则y=4，∴点C的坐标为（0，4），
∴OA=2，OB=8，OC=4，
∵=2，∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB；
（3）设直线BC的解析式为，
则：，解得：，
∴直线BC的解析式为，
∵MN∥y轴，∴MN===，
∴当x=4时，MN的值最大，最大值为4；
（4）由勾股定理得，AC=，
过点C作CD⊥对称轴于D，则CD=3，
①AC=CQ时，DQ===，
点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为，此时点Q1（3，），
点Q在点D的下方时，点Q到x轴的距离为，此时点Q2（3，），
②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ=5，CQ==5，
∴AQ=CQ，此时，点Q3（3，0），
综上所述，点Q的坐标为（3，）或（3，）或（3，0）时，△ACQ为等腰三角形时．

【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定，二次函数的最值问题，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，难点在于（4）要分情况讨论．