初中数学人教版七年级下册6.3 实数优秀精练

这是一份初中数学人教版七年级下册6.3 实数优秀精练，文件包含人教版七年级数学下册讲测练第09课实数教师版-doc、人教版七年级数学下册讲测练第09课实数原卷版-doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
第09课 实数

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课程标准
1. 了解无理数和实数的意义；
2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .

知识精讲


知识点01 有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：
①含类.
②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….
③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.

知识点02 实数

有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
知识点03 实数大小的比较

对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.

知识点04 实数的运算

有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.


能力拓展


考法01 实数概念
【典例1】把下列各数分别填入相应的集合内：
，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）


…

有理数集合

…


无理数集合







【答案】
有理数有：， ，，，0，
无理数有：，，， ，，， 0.3737737773……
【点睛】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，， ，，.
【即学即练】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.
　　(1)无理数都是开方开不尽的数.(　　)
　　(2)无理数都是无限小数.(　　)
　　(3)无限小数都是无理数.(　　)
　　(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.(　　)
　　(5)不带根号的数都是有理数.(　　)
　　(6)带根号的数都是无理数.(　　)
　　(7)有理数都是有限小数.(　　)
　　(8)实数包括有限小数和无限小数.(　　)
【答案】
(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020 020 002…这类的数也是无理数.
(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.
(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.
(4)(×)0是有理数.
(5)(×)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.
(6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数.
(7)(×)有理数还包括无限循环小数.
(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以 实数可以用有限小数和无限小数表示.
考法02 实数大小的比较
【典例2】比较与的大小．
【分析】根据，，则来比较两个实数的大小．
【答案】
解：因为，．
所以＜
【点睛】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等.

【即学即练】若两个连续整数x、y满足x＜+1＜y，则x+y的值是　 　．
【答案】7．
解：∵，
∴，
∵x＜+1＜y，
∴x=3，y=4，
∴x+y=3+4=7．
考法03 实数的运算
【典例3】求的值．
【答案】
解：（1）当≥0时，，，
所以．
（2）当＜0时，，，
所以．
即值为0或2．
【点睛】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本题需要分类讨论．要注意对的讨论，而开立方不需要讨论符号．

【即学即练】若的两个平方根是方程的一组解．
（1）求的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】
解：（1）∵ 的平方根是的一组解，则设的平方根为，，
则根据题意得：解得
∴ 为．
（2）∵ ．
∴ 的算术平方根为4．
考法04 实数的综合运用
【典例4】已知，且，求的值．
【答案】
解：∵ ，且，．
∴ ，即，．
解得 ＝3，＝5，得＝64．
∴ ．
【点睛】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由，可求、，又，所以＝64，则可求．

【即学即练】已知，求的值．
【答案】
解：知条件得，
由②得，，∵ ，∴ ，则．
把代入①得，＝1．
∴ ．
【典例5】如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C=2πr）
（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是　 　；
（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：
+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2
①第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？

【分析】
（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
（2）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出Q点移动距离变化；
②利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和Q表示的数即可．
【答案】
解：（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是﹣2π；
故答案为：﹣2π；

（2）①第4次滚动后Q点离原点最近，第3次滚动后，Q点离原点最远；
②|﹢2|+|﹣1|+|﹣5|+|+4|+|+3|+|﹣2|=17，
Q点运动的路程共有：17×2π×1=34π；
（+2）+（﹣1）+（﹣5）+（+4 ）+（+3 ）+（﹣2）=1，
1×2π=2π，此时点Q所表示的数是2π．
【点睛】此题主要考查了数轴的应用以及绝对值得性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键．
分层提分


题组A 基础过关练
1．的相反数是【 】
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．因此的相反数是．故选C．
考点：相反数．
2．估计的值在( )
A．2和3之间 B．3和4之间
C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【解析】
【分析】
由可知，再估计的范围即可.
【详解】
解：，.
故选：C.
【点睛】
本题考查了实数的估算，熟练的确定一个无理数介于哪两个整数之间是解题的关键.
3．下列实数中的无理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
分析: 分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.
详解: =1.1， =-2， 是有理数，
是无理数，
故选C.
点睛：此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式.
4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把﹣a，﹣b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　）

A．﹣a＜0＜﹣b B．0＜﹣a＜﹣b C．﹣b＜0＜﹣a D．0＜﹣b＜﹣a
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：根据数轴得出a＜0＜b，求出﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0，即可得出答案．
∵从数轴可知：a＜0＜b， ∴﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0， ∴﹣b＜0＜﹣a，
考点：(1)、实数大小比较；(2)、实数与数轴
5．如图，在数轴上表示的点可能是（ ）

A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】B
【解析】
【分析】
利用无理数的估算得到3＜＜4，然后对各点进行判断即可．
【详解】
解：∵9＜15＜16，
∴3＜＜4，
而3＜OQ＜4，
∴表示的点可能是点Q．
故选：B．
【点睛】
本题考查了实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
6．有下列四个论断：①﹣是有理数；② 是分数；③2.131131113…是无理数；④π是无理数，其中正确的是（   ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据无理数的概念即可判定选择项．
【详解】
解：①﹣是有理数，正确；
②是无理数，故错误；
③2.131131113…是无理数，正确；
④π是无理数，正确；
正确的有3个．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
7．化简的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先比较与3的大小，然后由绝对值的意义，化简即可得到答案．
【详解】
解：∵