2022-2023学年江西省九江市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

展开

这是一份2022-2023学年江西省九江市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。

2022-2023学年江西省九江市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
2. 若a A. −3a<−3b B. a−3b+c D. 2a>2b
3. 若分式x+1x−2的值为零，则(    )
A. x=−2 B. x=1 C. x=2 D. x=−1
4. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=12，CD=4，则△ABO的周长是(    )

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=3，AB=10，则△ABD的面积是(    )
A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
6. 如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=8，AB=4，点H、G分别是边CD，BC上的动点.连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF.则EF的最大值与最小值的差为(    )

A. 4−2 3 B. 2 3−2 C. 3 D. 2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 因式分解：2x2−4x═______．
8. 正六边形的每个内角的度数是______度．
9. 如图：已知直线l1//l2，点A在l1上，点B、C在l2上，若△ABC的面积为27，且BC=9，则平行线l1与l2之间的距离为______ ．

10. 如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC=20°，∠PCB=30°，则∠APB的度数为______ ．

11. 如图，直线y1=−x+a与y2=bx−4相交于点P，已知点P的坐标为(1,−3)，则关于x的不等式−x+a>bx−4的解集是______ ．

12. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
13. 解分式方程：x−3x−2+1=3x−2．
四、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. (本小题6.0分)
(1)因式分解ax2+2ax+a；
(2)化简xx2−1−1x2−1．
15. (本小题6.0分)
解不等式组：4x>2x−6x−13≤x+19，并把解集在数轴上表示出来．
16. (本小题6.0分)
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°所得的△A2B2C2．

17. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于E，求证：∠EBC=∠DAC．

18. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1−2x−1)⋅x2−xx2−6x+9，其中x是从1，2，3中选取的一个合适的数．
19. (本小题8.0分)
某工厂购买一批原材料，通过汽车运输每吨只需运费800元，由货船运输每吨需运费300元，但运完这批原材料需要其它费用15000元．
(1)设购买的原材料x吨，选择汽车运输时所需费用y1元，选择货船运输时所需费用y2元，分别写出y1、y2与x之间的关系式；
(2)请分析说明选择哪种运输方式比较合理．
20. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连结EB并延长，使BF=BE，连结EC并延长，使CG=CE，连结FG.H为FG的中点，连结DH．
(1)求证：四边形AFHD为平行四边形；
(2)若CB=CE，∠EBC=70°，∠DCE=10°，求∠DAB的度数．

21. (本小题9.0分)
某服装店用6000元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2800元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．
(1)这两次各购进这种衬衫多少件？
(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于2600元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？
22. (本小题9.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，分别延长BC与ED交于点F，连接AF、CE．
(1)求证：FA平分∠CFE；
(2)若S四边形ABFD=12，AC=4，求CE的长．

23. (本小题12.0分)
【问题提出】在△ABC中，AB=AC，直线MN经过A、B两点，点D是直线MN上一点，点E是边BC上一点，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转至DF，使得∠EDF=∠BAC．

【问题探究】(1)如图①，当点D与点A重合时，易得：BF与CE的数量关系是______ ．
(2)如图②，当点D在线段AB上，∠BAC=60°时，请直接写出BF，BE，BD之间的数量关系．
【结论运用】
(3)如图③，当点D在射线AM上，∠BAC=90°时，AB=3，AD=1，求BF+BE的长．
(4)如图④，当点D在射线BN上，∠BAC=120°时，AB=3，请直接写出BF、BE、AD之间的数量关系．
答案和解析

1.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形但是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与自身重合；由此问题可求解．
本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．

2.【答案】B
【解析】解：A、两边都乘以−3，不等号的方向改变，故A错误；
B、两边都减3，不等号的方向不变，故B正确；
C、两边都加上c，不等号的方向不变，故C错误；
D、两边都乘以2，不等号的方向不变，故D错误；
故选：B．
根据不等式的性质，可得答案．
本题主要考查了不等式的基本性质．要熟记不等式的基本性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

3.【答案】D
【解析】解：∵分式x+1x−2的值为零，
∴x+1=0且x−2≠0．
解得：x=−1．
故选：D．
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，从而得到x+1=0，x−2≠0．
本题主要考查的是分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是解题的关键．

4.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，AB=CD=4，
∵AC+BD=12，
∴AO+BO=6，
∴△ABO的周长=AO+OB+AB=6+4=10．
故选：B．
直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=4，再由已知求出AO+BO的长，进而得出答案．
本题考查了平行四边形的性质以及三角形周长的计算等知识；正确得出AO+BO的值是解题关键．

5.【答案】A
【解析】解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC=3，
∴△ABD的面积=12×AB×DE=12×10×3=15，
故选：A．
根据角平分线的性质得到DE=DC=3，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

6.【答案】C
【解析】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，
∴∠D=180°−∠BCD=60°，AB=CD=4，
∴AM=DM=DC=4，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC，
∴∠MAC=∠MCA=30°，
∴∠ACD=90°，
∴AC=4 3，
在Rt△ACN中，AC=4 3，∠ACN=∠DAC=30°，
∴AN=12AC=2 3，
∵AE=EH，GF=FH，
∴EF=12AG，
∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∵AG的最大值为4 3，最小值为2 3，
∴EF的最大值为2 3，最小值为 3，
∴EF的最大值与最小值的差为2 3− 3= 3．
故选：C．
取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N；再证明∠ACD=90°，求出AC=4 3、AN=2 3；然后由三角形中位线定理，可得EF=12AG，最后求出AG的最大值和最小值即可．
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，正确添加辅助线和证得∠ACD=90是解答本题的关键．

7.【答案】2x(x−2)
【解析】
【分析】
直接提取公因式2x，进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【解答】
解：2x2−4x=2x(x−2)．
故答案为：2x(x−2)．
8.【答案】120
【解析】解：根据多边形的内角和定理可得：
正六边形的每个内角的度数=(6−2)×180°÷6=120°．
利用多边形的内角和为(n−2)⋅180°求出正六边形的内角和，再结合其边数即可求解．
本题需仔细分析题意，利用多边形的内角和公式即可解决问题．

9.【答案】6
【解析】解：过点A作AD垂直于BC，垂足为D，

△ABC的面积=12×BC×AD，
∵△ABC的面积为27，且BC=9，
∴12×9×AD=27，
解得AD=6，
∴平行线l1与l2之间的距离为6．
两条平行线之间的距离指的是一条直线上任意一点到另一条线段的垂线段的长度，由此将平行线l1与l2之间的距离转化为点A到l2的垂线段AD的长度，然后根据三角形的面积求出AD的长．
本题考查两条平行线的距离，根据定义转化为线段AD的长度，从而转化为已知三角形的面积求高AD的长，其中两条平行线的距离的转化是关键．

10.【答案】100°
【解析】解：∵点P为△ABC三边垂直平分线的交点，
∴PA=PC=PB，
∴∠PAC=∠PCA=20°，∠PCB=∠PBC=30°，
∵∠ACB+⊥ABC+∠BAC=180°，
∴∠PCA+∠PCB+∠PAC+∠PBC+∠PAB+∠PBA=180°，
∴∠PAB+∠PBA=80°，
∴∠APB=180°−(∠PAB+∠PBA)=100°，
故答案为：100°．
先根据线段垂直平分线的性质可得PA=PC=PB，从而利用等腰三角形的性质可得∠PAC=∠PCA=20°，∠PCB=∠PBC=30°，然后利用三角形内角和定理可得∠PAB+∠PBA=80°，从而再利用三角形内角和定理求出∠APB的度数，即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键．

11.【答案】x<1
【解析】解：如图，设直线y2=bx−4与x轴相交于点Q，
把P(1,−3)代入y2=bx−4，得−3=b−4．
解得b=1．
则y2=x−4．
令y=0，则x=4．
∴Q(0,4)．
∵直线y1=−x+a与y2=bx−4相交于点P(1,−3)，
∴关于x的不等式−x+a>bx−4的解集是x<1．
故答案是：x<1．
观察函数图象得到当1 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

12.【答案】258或5或8
【解析】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= 32+42=5，
△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，
∴AD=BE=CF=m，DE=AB=5，DF=AC=3，EF=BC=4，
点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况：
①当AD=DE时：如图，此时m=5；

②当AE=AD=m时：如图，

则：CE=BC−BE=4−m，
在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即：m2=9+(4−m)2，
解得：m=258；
③当AE=DE时，如图：

此时AE=AB，
∵∠ACB=90°，
∴BC=CE=4，
∴m=BE=BC+CE=8；
综上：m=258或5或8；
故答案为：258或5或8．
分AD=DE，AE=AD=m，AE=DE三种情况进行讨论求解即可．
本题考查平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质．根据题意，准确的画图，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．

13.【答案】解：x−3x−2+1=3x−2，
方程两边同时乘以x−2，
得2x−5=3，
解得：x=4，
经检验，x=4是原分式方程的解，
所以x=4．
【解析】解分式方程的步骤：1.去分母．2.移项．3.合并同类项．4.化系数为1．
解分式方程要检验．
本题考查解分式方程．解题的关键是掌握分式方程的步骤．注意分式方程要检验．

14.【答案】解：(1)原式=a(x2+2x+1)
=a(x+1)2；
(2)原式=x−1(x−1)(x+1)
=1x+1．
【解析】(1)直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
(2)直接利用分式的加减运算法则以及分式的性质化简，进而得出答案．
此题主要考查了分式的加减以及提取公因式法以及公式法分解因式，正确掌握相关运算法则是解题关键．

15.【答案】解：4x>2x−6①x−13≤x+19②，
解①得x>−3，
解②得x≤2，
所以不等式组的解集为−3 用数轴表示为：

【解析】先分别解两个不等式得到x>−3和x≤2，再根据大小小大中间找得到不等式组的解集，然后利用数轴表示解集．
本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

16.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．

(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．
【解析】(1)分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
(2)将三个顶点分别绕原点O顺时针旋转90°得到其对应点，再首尾顺次连接即可．
本题主要考查作图—旋转变换和轴对称变换，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义与性质．

17.【答案】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°−∠C，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=90°−∠C，
∴∠EBC=∠DAC．
【解析】根据三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，根据直角三角形的性质即可得解．
此题考查了等腰三角形的性质，熟记“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合”是解题的关键．

18.【答案】解：原式=x−3x−1⋅x(x−1)(x−3)2
=xx−3．
当x=2时，原式=22−3=−2．
【解析】先括号内通分，然后计算除法，最后取值时注意使得分式有意义，最后代入化简即可．
本题考查分式的化简求值，解题的关键熟练掌握分式的混合运算法则，注意运算顺序，取值时注意使得分式有意义，属于基础题，中考常考题型．

19.【答案】解：(1)由题意可得，
y1=800x，
y2=300x+15000；
(2)当y1=y2时，
800x=300x+15000，
解得x=30，
y1 800x<300x+15000，
x<30，
y1>y2，
800x>300x+15000，
x>30，
∴0 x=30时，y1=y2两种方式一样；
x>30时，y1>y2选货船运输合理．
【解析】(1)根据题意可以直接写出y1，y2与x之间的关系式；
(2)根据题意可以分别计算出两种情况下应该选择哪种运输方式．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．

20.【答案】(1)证明：∵BF=BE，CG=CE，
∴BC为△FEG的中位线，
∴BC//FG，BC=12FG，
又∵H是FG的中点，
∴FH=12FG，
∴BC=FH．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴AD//FH，AD=FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠DCB，
∵CE=CB，
∴∠BEC=∠EBC=70°，
∴∠BCE=180°−70°−70°=40°，
∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=10°+40°=50°，
∴∠DAB=50°．
【解析】(1)证明BC为△FEG的中位线，得出BC//FG，BC=12FG，证出BC=FH，由平行四边形的性质得出AD//BC，AD=BC，得出AD//FH，AD=FH，即可得出结论；
(2)由平行四边形的性质得出∠DAB=∠DCB，由等腰三角形的性质得出∠BEC=∠EBC=75°，由三角形内角和定理求出∠BCE，得出∠DCB=∠DCE+∠BCE=40°，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．

21.【答案】解：(1)设第一次购进这种衬衫x件，则第二次购进这种衬衫12x件，
根据题意得：6000x−280012x=10，
解得：x=40，
经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意，
∴12x=12×40=20．
答：第一次购进这种衬衫40件，第二次购进这种衬衫20件；
(2)设第二批衬衫的售价是y元/件，
根据题意得：200×40+20y−6000−2800≥2600，
解得：y≥170，
∴y的最小值为170．
答：第二批衬衫每件至少要售170元．
【解析】(1)设第一次购进这种衬衫x件，则第二次购进这种衬衫12x件，利用进价=进货总价÷进货数量，结合第二批进价每件比第一批降低了10元，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出第一次购进这种衬衫的数量，再将其代入12x中，即可求出第二次购进这种衬衫的数量；
(2)设第二批衬衫的售价是y元/件，利用总利润=销售单价×购进数量−进货总价，结合总利润不低于2600元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

22.【答案】(1)证明：∵将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，分别延长BC与ED交于点F，
∴AC=AE，∠ACB=∠AED=90°，
∴AF平分∠CFE；
(2)解：∵S四边形ABFD=12，
∴S四边形ABFD=S四边形ACFD+S△ABC=12，
∴S四边形ACFE=12，
∵FA平分∠CFE，∠ACF=∠AEF=90°，
∴∠CAF=∠EAF，
∵AC=AE，
∴AF垂直平分CE，
∴CF=EF，
∴S△ACF=S△AEF=6，
∴CF=3，
在Rt△ACF中，由勾股定理得，AF=5，
∴CE=2×12AF=245．
【解析】(1)根据旋转的性质知AC=AE，∠ACB=∠AED=90°，再利用角平分线的判定可得结论；
(2)根据旋转前后三角形全等可得S四边形ACFE=12，再说明S△ACF=S△AEF=6，则CF=3，最后利用面积法求出CE的长即可．
本题主要考查了旋转的性质，角平分线的判定，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．

23.【答案】相等
【解析】解：(1)∵点D与点A重合，
∴DB=DC，
∵将线段DE绕点D顺时针旋转至DF，
∴DF=DE，
∵∠EDF=∠BAC，即∠BDF+∠BDE=∠CDE+∠BDE，
∴∠BDF=∠CDE，
在△BDF和△CDE中，
DF=DE∠BDF=∠CDEDB=DC，
∴△BDF≌△CDE(SAS)，
∴BF=CE；
故答案为：相等；
(2)如图，过点D作DG//AC交BC于点G，

∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，∠BAC=∠ACB=60°，
∵DG//AC，
∴∠BDG=∠BAC=60°，∠BGD=∠ACB=60°，
∴△BDG为等边三角形，
∴BD=DG=BG，∠BDG=60°，
∵∠EDF=∠BAC=60°，
∴∠EDF=∠BDG，即∠BDF+∠BDE=∠GDE+∠BDE，
∴∠BDF=∠GDE，
∵将线段DE绕点D顺时针旋转至DF，
∴DF=DE，
在△BDF和△GDE中，
DF=DE∠BDF=∠GDEDB=DG，
∴△BDF≌△GDE(SAS)，
∴BF=GE，
∴BE+BF=BE+GE=EG=BD，即BE+BF=BD；
(3)如图，过点D作DH//AC交BC的延长线于点H，

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=∠ACB=45°，
∵DH//AC，
∴∠BDH=∠BAC=90°，
∴△BDH为等腰直角三角形，
∴BD=DH，
∵∠EDF=∠BAC=90°，
∴∠EDF=∠BDH，即∠BDF+∠BDE=∠HDE+∠BDE，
∴∠BDF=∠HDE，
∵将线段DE绕点D顺时针旋转至DF，
∴DF=DE，
在△BDF和△HDE中，
DF=DE∠BDF=∠HDEBD=HD，
∴△BDF≌△HDE(SAS)，
∴BF=HE，
∴BF+BE=HE+BE=BH，
∵AB=3，AD=1，
∴BD=AB+AD=4，
在等腰Rt△BDH中，BH= 2BD=4 2，
∴BF+BE=4 2；
(4)如图，过点D作DP//AC交CB的延长线于点P，过点D作DQ⊥CP于点Q，

∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∵DP//AC，
∴∠P=∠C=30°，∠PDB=∠BAC=120°，
∴∠P=∠PBD=30°，
∴DP=DB，
∵∠PDB=∠BAC=120°=∠EDF，
∴∠PDB+∠BDE=∠EDF+∠BDE，即∠PDE=∠BDF，
∵将线段DE绕点D顺时针旋转至DF，
∴DF=DE，
在△PDE和△BDF中，
DP=DB∠PDE=∠BDFDE=DF，
∴△PDE≌△BDF(SAS)，
∴PE=BF，
∵DP=DB，DQ⊥CP，
∴PQ=BQ=12BP，
∵∠PBD=30°，
在Rt△BDQ中，DQ=12BD，BQ= 3DQ= 32BD，
∴BP=2BQ= 3BD= 3(AD−AB)= 3AD−3 3，
∴BF−BE=PE−BE=BP= 3AD−3 3，
∴BF−BE= 3(AD−3)．
(1)当点D与点A重合时，易得DB=DC，由旋转可知DF=DE，由等角加同角相等可得∠BDF=∠CDE，于是可通过SAS证明△BDF≌△CDE，进而得到答案；
(2)过点D作DG//AC交BC于点G，由题意易得△ABC为等边三角形，由平行线的性质可得△BDG为等边三角形，BD=DG=BG，∠BDG=60°，同(1)中方法可证明△BDF≌△GDE(SAS)，得到BF=GE，根据线段之间的和差关系即可得到结论；
(3)过点D作DH//AC交BC的延长线于点H，由题意易得△ABC为等腰直角三角形，由平行线的性质可得△BDH为等腰直角三角形，BD=DH，同(1)中方法可证明△BDF≌△GDE(SAS)，得到BF=HE，进而得到BF+BE=HE+BE=BH，在等腰Rt△BDH中，利用斜边和直角边的关系即可求解；
(4)过点D作DP//AC交CB的延长线于点P，过点D作DQ⊥CP于点Q，由题意易得∠ABC=∠ACB=30°，由平行线的性质可得∠P=∠C=30°，∠PDB=∠BAC=120°，则∠P=∠PBD=30°，DP=DB，由等角加同角相等可得∠PDE=∠BDF，于是可通过SAS证明△PDE≌△BDF(SAS)，得到PE=BF，根据含30度角的直角三角形性质可得DQ=12BD，BQ= 3DQ= 32BD，于是BP=2BQ= 3BD= 3(AD−AB)= 3AD−3 3，根据线段之间的关系可得BF−BE=PE−BE=BP= 3AD−3 3，以此即可得出结论．
本题主要考查等腰三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形性质，解题关键是理清题意，正确作出辅助线，构造合适的全等三角形解决问题．