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2022-2023学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学教育集团八年级下学期期末数学试卷（文字版含答案解析）
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这是一份2022-2023学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学教育集团八年级下学期期末数学试卷（文字版含答案解析），共32页。
2022-2023学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学教育集团八年级（下）期末数学试卷
一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置。）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列各分式中是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列各组二次根式中，化简后属于同类二次根式的一组是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
4．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≠﹣2 D．x≥﹣2且x≠2
5．（3分）已知反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（﹣3，﹣1）
B．y随x的增大而增大
C．若点P（﹣1，y1）和点Q（2，y2）在函数图象上，则y1＜y2
D．图象既是轴对称图形又是中心对称图形
6．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m（m≠0）与y＝（m≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）若关于x的分式方程的解为整数，且一次函数y＝（7﹣a）x+a的图象不经过第四象限，则符合题意的整数a的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为线段AB上的动点．以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M．作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ）
A．（5，5） B．（6，） C．（，） D．（，5）
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置。）
9．（3分）分式有意义的条件是 ．
10．（3分）若x，y为实数，且|x+1|+＝0，则（xy）2023的值是 ．
11．（3分）已知，则的值为 ．
12．（3分）已知y与x﹣1成反比例，并且当x＝3时，y＝4．则y与x之间的函数解析式为 ．
13．（3分）若分式方程有增根，则m的值是 ．
14．（3分）正比例函数与反比例函数的一个交点为，当正比例函数的图象在反比例函数图象的上方时，则x的取值范围是 ．
15．（3分）如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，若△PAO的面积为7，则k的值为 ．
16．（3分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝12，AE＝CF＝3，则四边形BEDF的周长是 ．
17．（3分）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，DC，AC的中点．若∠ACB＝64°，∠DAC＝22°，则∠EFG的度数为 ．
18．（3分）如图，已知菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
19．（8分）计算：
（1）；
（2）（）（）+（）2．
20．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
21．（8分）先化简，再求值：，其中x＝．
22．（8分）如图，已知△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）请画出△ABC关于坐标原点O的中心对称图形△A'B'C'，并写出点A的对应点A′的坐标 ；
（2）若将点B绕坐标原点O顺时针旋转90°，请直接写出点B的对应点B″的坐标 ；
（3）请直接写出：以A′，B″，O为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 ．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中（AD＞AB）．
（1）仅用无刻度的直尺和圆规在矩形ABCD的边AD上找一点E，使EC平分∠BED．（不写作法，但要求保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，AB＝6，BC＝10，求△CDE的面积．
24．（10分）骑电动自行车时佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害，某商店经销进价分别为30元/个和20元/个的甲、乙两种安全头盔，销售时，甲头盔的单价比乙头盔的单价贵15元．某日，甲头盔的销售额为450元，乙头盔的销售额为600元，此时乙头盔的销量恰好是甲头盔的2倍．
（1）求甲、乙两种头盔的销售单价；
（2）若商店准备用不超过2350元的资金再购进这两种头盔共100个，最多能购进甲种头盔多少个？
25．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AD＝，BD＝2，求OE的长．
26．（10分）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）对偶式与之间的关系为
A．互为相反数B．互为倒数C．绝对值相等D没有任何关系
（2）已知，，求的值；
（3）解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）．
27．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y1＝（k＞0）的图象与正比例函数y2＝mx（m＞0）的图象交于点A、点C，与正比例函数y3＝nx（n＞0）的图象交于点B、点D，设点A、D的横坐标分别为s，t（0＜s＜t）．
（1）如图1，若点A坐标为（2，4）．
①求m，k的值；
②若点D的横坐标为4，连接AD，求△AOD的面积．
（2）如图2，依次连接AB，BC，CD，DA，若四边形ABCD为矩形，求mn的值．
28．（12分）（1）【发现证明】
问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．
观察：EF、DF、BE三条线段都不在同一条直线上，能不能借助图形的运动，将部分线段放置在一条直线上加以证明呢？
思路：将△ABE绕点A顺时针旋转90°使AB与AD重合，得到了旋转后的△ADG．
①根据上述思路在图1中画图分析并证明（写出详细的证明过程）．
②若正方形ABCD的边长为6，当动点E在BC边上运动到中点位置时，动点F在CD边上距离D点多长的位置？（写出详细的解答过程）
（2）【类比迁移】
若点E、F分别为正方形两条边的延长线上的动点，EF、BE、DF三者之间还存在（1）中的关系吗？根据解决（1）中问题的经验加以探究．
①如图2，在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，EF、BE、DF之间的数量关系是什么？请借助图2加以分析，并写出详细的证明过程．
②如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF、BE、DF之间的数量关系是 （直接写出关系式，无需证明）．
2022-2023学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学教育集团八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置。）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）下列各分式中是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、＝，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；
D、＝x﹣y，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是最简二次根式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
3．（3分）下列各组二次根式中，化简后属于同类二次根式的一组是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【分析】先将各选项进行二次根式的化简，再根据同类二次根式的概念求解即可．
【解答】解：A、因为＝3，所以和3不是同类二次根式，故本选项错误；
B、因为＝3，所以与不是同类二次根式，故本选项错误；
C、因为＝2，＝3，所以和是同类二次根式，故本选项正确；
D、因为＝2，＝2，所以不是同类二次根式，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念．
4．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≠﹣2 D．x≥﹣2且x≠2
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x+2≥0且x﹣2≠0，
解得x≥﹣2且x≠2．
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
5．（3分）已知反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（﹣3，﹣1）
B．y随x的增大而增大
C．若点P（﹣1，y1）和点Q（2，y2）在函数图象上，则y1＜y2
D．图象既是轴对称图形又是中心对称图形
【分析】依据反比例函数的图象与性质逐一判断即可．
【解答】解：A．当x＝﹣3时，y＝1，故点（﹣3，﹣1）不在图象上，此选项错误，不符合题意；
B．在每一象限内y随x的增大而增大，故说法错误，不符合题意；
C．当x＝﹣1时，y1＝3，当x＝2时，，故y1＞y2，选项错误，不符合题意；
D．图象既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟记性质是解题的关键．
6．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m（m≠0）与y＝（m≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】在各选项中，先利用反比例函数图象确定m的符号，再利用m的符号对一次函数图象的位置进行判断，从而判断该选项是否正确．
【解答】解：A、由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以A选项错误；
B、由反比例函数图象得m＞0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以B选项错误；
C、由反比例函数图象得m＞0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以C选项正确；
D、由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象：反比例函数y＝为双曲线，当k＞0时，图象分布在第一、三象限；当k＜0时，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数的性质．
7．（3分）若关于x的分式方程的解为整数，且一次函数y＝（7﹣a）x+a的图象不经过第四象限，则符合题意的整数a的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意求得满足条件的a的值，从而可以得到满足条件的所有整数a的个数．
【解答】解：∵一次函数y＝（7﹣a）x+a的图象不经过第四象限，
∴，
解得0≤a＜7，
由分式方程得，x＝，
∵分式方的解为整数，且x≠1，
∴a＝0，2，4，
∴符合题意的整数a的个数3个，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质、分式方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出满足条件的a的值，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为线段AB上的动点．以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M．作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ）
A．（5，5） B．（6，） C．（，） D．（，5）
【分析】根据矩形的性质和直角三角形的性质，可以得到CP⊥AB时，CP取得最小值，此时MN取得最小值，然后即可求得点E的坐标．
【解答】解：连接CP，
∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴AC2+BC2＝82+62＝102＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴∠PMC＝∠PNC＝∠ACB＝90°，
∴四边形CMPN是矩形，
∴MN＝CP，
当CP⊥AB时，CP取得最小值，此时CP＝＝＝，AP＝＝＝，
∴函数图象最低点E的坐标为（，），
故选：C．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置。）
9．（3分）分式有意义的条件是 x≠﹣2 ．
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：分式有意义，
∴x+2≠0，
∴x≠﹣2．
故答案为：x≠﹣2．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
10．（3分）若x，y为实数，且|x+1|+＝0，则（xy）2023的值是 ﹣1 ．
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵x，y为实数，且|x+1|+＝0，
∴x+1＝0，y﹣1＝0，
解得：x＝﹣1，y＝1，
则（xy）2023＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
11．（3分）已知，则的值为 ．
【分析】由，可得b＝2a，再计算分式的加法运算，再代入即可．
【解答】解：∵，
∴b＝2a，
∴＝＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是分式化简的求值，熟记运算法则是解本题的关键．
12．（3分）已知y与x﹣1成反比例，并且当x＝3时，y＝4．则y与x之间的函数解析式为 ．
【分析】根据反比例函数的定义，可表示出y与x﹣1的关系式，再由一对x，y的值，可求出待定系数，进而确定函数解析式．
【解答】解：由题知，
令，
又当x＝3时，y＝4，
则，解得k＝8．
所以y与x之间的函数解析式为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了整体思想的应用，将“x﹣1“看作一个整体，替换中的“x“，再用待定系数法求出函数表达式．
13．（3分）若分式方程有增根，则m的值是 ﹣6 ．
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，再由分式方程有增根得到x＝2，然后将x的值代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：
分式方程去分母得：6+2（x﹣2）＝﹣m，
由分式方程有增根，∴x﹣2＝0，即x＝2，
∴m＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了分式方程的增根，掌握增根的定义是解题的关键．
14．（3分）正比例函数与反比例函数的一个交点为，当正比例函数的图象在反比例函数图象的上方时，则x的取值范围是 x＜﹣2或0＜x＜2 ．
【分析】待定系数法先求出正比例函数与反比例函数解析式，再根据反比例函数的图象性质正比例函数的图象性质求出自变量x的取值范围．
【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的一个交点为，
∴正比例函数为y＝﹣x，反比例函数为y＝﹣．
∴当正比例函数图象在反比例函数图象上方时，即﹣x＞﹣，
解得x＜﹣2或0＜x＜2．
故答案为：x＜﹣2或0＜x＜2．
【点评】主要考查了反比例函数的图象性质正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
（1）反比例函数y＝的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
（2）正比例函数y＝kx的图象性质：图象是一条直线，一定经过坐标轴的原点．当k＞0时，图象经过一，三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
15．（3分）如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，若△PAO的面积为7，则k的值为 ﹣14 ．
【分析】由△PAO的面积为7可得|k|＝7，再结合图象经过的是第二象限，从而可以确定k值．
【解答】解：∵S△PAO＝7，
∴|x•y|＝7，即|k|＝7，则|k|＝14，
∵图象经过第二象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣14．
故答案为：﹣14．
【点评】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，解题的关键是要明确过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|．
16．（3分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝12，AE＝CF＝3，则四边形BEDF的周长是 12 ．
【分析】根据题意和正方形的性质，利用勾股定理，可以求得DE、EB、BF、FD的长，从而可以求得四边形BEDF的周长．
【解答】解：如图，连接BD，交AC于O，
∵四边形ABCD是正方形，AC＝12，
∴AC＝BD＝12，AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD＝6，
∵AE＝CF＝3，
∴EO＝FO＝3，
∴DE＝DF＝BF＝BE＝＝3，
∴四边形BEDF的周长是12，
故答案为：12．
【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．（3分）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，DC，AC的中点．若∠ACB＝64°，∠DAC＝22°，则∠EFG的度数为 21° ．
【分析】根据三角形中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可．
【解答】解：∵AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线．
∴GF∥AD且GF＝AD，GE∥BC且GE＝BC．
又∵AD＝BC，
∴GF＝GE，∠FGC＝∠DAC＝22°，∠AGE＝∠ACB＝64°．
∴∠EFG＝∠FEG．
∵∠FGE＝∠FGC+∠EGC＝22°+（180°﹣64°）＝138°，
∴∠EFG＝（180°﹣∠FGE）＝21°．
故答案为：21°．
【点评】主要考查了中位线定理和等腰三角形两底角相等的性质，题目的难度不大．
18．（3分）如图，已知菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为，则k的值为 ．
【分析】过点C，B分别作x轴的垂线，垂足分别为E，F，设OE＝a，CE＝b，OA＝t，则点C的坐标为（a，b），证Rt△OCE和Rt△ABF全等得OE＝AF＝a，则点B（a+t，b），进而得点D，据此得，整理得3ab＝bt，然后根据菱形OABC的面积为得，由此可求出k的值．
【解答】解：过点C，B分别作x轴的垂线，垂足分别为E，F，如图：
设OE＝a，CE＝b，OA＝t，
∴点C的坐标为（a，b），
∵四边形OABC为菱形，
∴OC＝AB＝OA＝BC＝t，BC∥OA，
∴CE＝BF＝b，
在Rt△OCE和Rt△ABF中，
，
∴Rt△OCE≌Rt△ABF（HL），
∴OE＝AF＝a，
∴OF＝OA+AF＝a+t，
∴点B的坐标为（a+t，b），
∵点D为OB的中点，
∴点D的坐标为点，
∵反比例函数经过点C，D，
∴，
∴3ab＝bt，
∵菱形OABC的面积为，
∴S菱形OABC＝OA•CE＝t•b＝，
∴，
即：k＝ab＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，菱形的面积，解答此题的关键是熟练掌握菱形的面积计算公式，难点是设OE＝a，CE＝b，OA＝t，然后用a，b，t的代数式分别表示出点B、点C的坐标和菱形OABC的面积，从而找出菱形OABC的面积与k之间的关系．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
19．（8分）计算：
（1）；
（2）（）（）+（）2．
【分析】（1）先根据绝对值的性质、零指数幂及数的开方法则分别计算出各数，再根据二次根式的加减法则进行计算即可；
（2）先算乘方、乘法，再算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣﹣1﹣2
＝1﹣3；
（2）原式＝5﹣4+12+1+4
＝14+4．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
20．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程两边都乘x（x﹣2）得出x（x﹣3）﹣x（x﹣2）＝3（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得出（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1），
方程两边都乘x（x﹣2），得x（x﹣3）﹣x（x﹣2）＝3（x﹣2），
解得：x＝，
检验：当x＝时，x（x﹣2）≠0，
所以分式方程的解是x＝；
（2），
方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1），
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
所以x＝1是增根，
即分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．
21．（8分）先化简，再求值：，其中x＝．
【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝，
当x＝时，
原式＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22．（8分）如图，已知△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）请画出△ABC关于坐标原点O的中心对称图形△A'B'C'，并写出点A的对应点A′的坐标 （2，﹣3） ；
（2）若将点B绕坐标原点O顺时针旋转90°，请直接写出点B的对应点B″的坐标 （0，6） ；
（3）请直接写出：以A′，B″，O为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 （2，﹣9）或（2，3）或（﹣2，9） ．
【分析】（1）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）根据旋转的性质作出图形，再写出点B″的坐标即可；
（3）首先根据题意画出图形，分别以A′O，A′B″，OB″为对角线作平行四边形，即可求得答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求，
点A的对应点A′的坐标为：（2，﹣3）；
故答案为：（2，﹣3）；
（2）如图所示，点B″就是点B旋转后的点，
∴B″的坐标为：（0，6），
故答案为：（0，6）；
（3）如图所示：平行四边形A'B''OD1或平行四边形A'OB''D2或平行四边形A'B''D3O，
以A′、B″、O为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为：D1（2，﹣9），D2（2，3），D3（﹣2，9）．
故答案为：（2，﹣9）或（2，3）或（﹣2，9）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及旋转变换，注意坐标与图形的关系分类讨论是解题关键．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中（AD＞AB）．
（1）仅用无刻度的直尺和圆规在矩形ABCD的边AD上找一点E，使EC平分∠BED．（不写作法，但要求保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，AB＝6，BC＝10，求△CDE的面积．
【分析】（1）以B点为圆心，BC为半径画弧交AD于E，连接BE、CE，则∠BEC＝∠BCE，再根据平行线的性质得到∠BCE＝∠DEC，从而可判断EC平分∠BED；
（2）根据勾股定理可得AE的长，从而得DE的长，即可理由三角形面积公式求值．
【解答】解：（1）如图，点E为所作；
（2）由（1）可得：BC＝BE＝AD＝10，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝8，
∴DE＝10﹣8＝2．
∴△CDE的面积＝DE×CD＝×2×6＝6．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质．
24．（10分）骑电动自行车时佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害，某商店经销进价分别为30元/个和20元/个的甲、乙两种安全头盔，销售时，甲头盔的单价比乙头盔的单价贵15元．某日，甲头盔的销售额为450元，乙头盔的销售额为600元，此时乙头盔的销量恰好是甲头盔的2倍．
（1）求甲、乙两种头盔的销售单价；
（2）若商店准备用不超过2350元的资金再购进这两种头盔共100个，最多能购进甲种头盔多少个？
【分析】（1）设乙头盔的销售单价为x元，则甲头盔的销售单价为（x+15）元，利用销售数量＝销售总价÷销售单价，结合“某日，甲头盔的销售额为450元，乙头盔的销售额为600元，此时乙头盔的销量恰好是甲头盔的2倍”，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙头盔的销售单价，再将其代入（x+15）中，即可求出甲头盔的销售单价；
（2）设购进甲头盔m个，则购进乙头盔（100﹣m）个，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过2300元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙头盔的销售单价为x元，则甲头盔的销售单价为（x+15）元，
根据题意得：＝×2，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是所列分式方程的解，且符合题意，
∴x+15＝30+15＝45．
答：甲头盔的销售单价为45元，乙头盔的销售单价为30元；
（2）设购进甲头盔m个，则购进乙头盔（100﹣m）个，
根据题意得：30m+20（100﹣m）≤2350，
解得：m≤35，
∴m的最大值为35．
答：最多能购进甲种头盔35个．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AD＝，BD＝2，求OE的长．
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DCA，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠OAB＝∠OCD，
∴BC＝AD＝AB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，AB＝AD＝，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝，
∴OE＝OA＝．
【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理是解本题的关键．
26．（10分）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）对偶式与之间的关系为 B
A．互为相反数B．互为倒数C．绝对值相等D没有任何关系
（2）已知，，求的值；
（3）解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）．
【分析】（1）求出（2+）与（2﹣）的积即可得出结论；
（2）求出x+y，x﹣y，xy的值，再根据因式分解，代入计算即可；
（3）根据“对偶式”的性质求出t的值，再将两个方程联立得到＝5，再由算术平方根的意义求解即可．
【解答】解：（1）∵（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1，
∴2+与2﹣互为倒数，
故答案为：B；
（2）∵＝＝+2，＝＝﹣2，
∴x+y＝+2+﹣2＝2，
x﹣y＝+2﹣+2＝4，
xy＝（+2）（﹣2）＝1
∴＝＝＝；
（3）设，
∵①，
∴（+）（﹣）＝2t，
即24﹣x﹣8+x＝2t，
解得t＝8，
∴+＝8 ②，
①+②得，2＝10，
即＝5，
∴24﹣x＝25，
∴x＝﹣1．
【点评】本题考查二次根式的化简，估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义，理解“对偶式”的性质是正确解答的关键．
27．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y1＝（k＞0）的图象与正比例函数y2＝mx（m＞0）的图象交于点A、点C，与正比例函数y3＝nx（n＞0）的图象交于点B、点D，设点A、D的横坐标分别为s，t（0＜s＜t）．
（1）如图1，若点A坐标为（2，4）．
①求m，k的值；
②若点D的横坐标为4，连接AD，求△AOD的面积．
（2）如图2，依次连接AB，BC，CD，DA，若四边形ABCD为矩形，求mn的值．
【分析】（1）①把A（2，4）分别代入y1＝（k＞0）和y2＝mx，即可求得答案；
②如图1，延长DA交y轴于点K，利用待定系数法求得直线AD的解析式为y＝﹣x+6，得出K（0，6），再由S△AOD＝S△DOK﹣S△AOK，即可求得答案；
（2）由题意得：A（s，ms），D（t，nt），k＝ms2＝nt2①，再根据矩形性质可得OA＝OD，即s2+m2s2＝t2+n2t2②，①②联立即可求得答案．
【解答】解：（1）①把A（2，4）代入y2＝mx得：4＝2m，
∴m＝2，
把A（2，4）代入y1＝（k＞0）得：4＝，
∴k＝8，
故m＝2，k＝8；
②如图1，延长DA交y轴于点K，
∵反比例函数y＝，点D的横坐标为4，
∴D（4，2），
设直线AD的解析式为y＝ax+b，
则，
解得：，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x+6，
∴K（0，6），
∴OK＝6，
∴S△AOD＝S△DOK﹣S△AOK＝×6×4﹣×6×2＝6，
故△AOD的面积为6．
（2）如图2，由题意得：A（s，ms），D（t，nt），
∵反比例函数y1＝（k＞0）的图象经过点A、D，
∴k＝ms2＝nt2①，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，
∴OA＝OD，
∴s2+m2s2＝t2+n2t2②，
由①②联立，得：（1+m2）t2＝（1+n2）t2，
∵t≠0，
∴（1+m2）n＝（1+n2）m，
∴（m﹣n）（1﹣mn）＝0，
∵m≠n，
∴1﹣mn＝0，
即mn＝1．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图象和性质，待定系数法，三角形面积，矩形的判定和性质，线段的中点坐标，反比例函数与正比例函数图象交点问题等，难度适中．
28．（12分）（1）【发现证明】
问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．
观察：EF、DF、BE三条线段都不在同一条直线上，能不能借助图形的运动，将部分线段放置在一条直线上加以证明呢？
思路：将△ABE绕点A顺时针旋转90°使AB与AD重合，得到了旋转后的△ADG．
①根据上述思路在图1中画图分析并证明（写出详细的证明过程）．
②若正方形ABCD的边长为6，当动点E在BC边上运动到中点位置时，动点F在CD边上距离D点多长的位置？（写出详细的解答过程）
（2）【类比迁移】
若点E、F分别为正方形两条边的延长线上的动点，EF、BE、DF三者之间还存在（1）中的关系吗？根据解决（1）中问题的经验加以探究．
①如图2，在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，EF、BE、DF之间的数量关系是什么？请借助图2加以分析，并写出详细的证明过程．
②如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF、BE、DF之间的数量关系是 BE＝EF+DF （直接写出关系式，无需证明）．
【分析】（1）【发现证明】
①证明△EAF≌△GAF，可得出EF＝FG，则结论得证；
②设DF＝x，则EF＝FG＝x+3，CF＝6﹣x，在Rt△EFC中，得出关于x的方程，解出x则可得解；
（2）【类比迁移】
①将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM根据SAS可证明△EAF≌△MAF，可得EF＝FM，即可得结论；
②将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，证明△AFE≌△ANE，可得出EF＝EN，即可得结论．
【解答】（1）【发现证明】
①证明：将△ABE绕点A顺时针旋转90°使AB与AD重合，得到了旋转后的△ADG，如图1，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，
∴∠ADF+∠ADG＝180°，
∴F，D，G三点共线，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠FAD＝45°，
∴∠DAG+∠FAD＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG＝DF+DG，
∴EF＝DF+BE；
②解：∵正方形ABCD的边长为6，点E在BC边上运动到中点位置，
∴BE＝BC＝3，
由①可知DG＝BE＝3，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴DC＝BC＝AD＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣3＝3，
设DF＝x，则EF＝FG＝x+3，CF＝6﹣x，
在Rt△EFC中，CF2+CE2＝EF2，
∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，
解得：x＝2．
∴DF＝2，
∴动点F在CD边上距离D点长为2的位置；
（2）【类比迁移】
解：①EF＝DF﹣BE．
证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，
∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，
∴∠FAM＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△MAF（SAS），
∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；
②如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，
∴AN＝AF，∠NAF＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠NAE＝45°，
∴∠NAE＝∠FAE，
∵AE＝AE，
∴△AFE≌△ANE（SAS），
∴EF＝EN，
∴BE＝BN+NE＝DF+EF．
即BE＝EF+DF．
故答案为：BE＝EF+DF．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．
2022-2023学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学教育集团八年级（下）期末数学试卷
一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置。）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列各分式中是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列各组二次根式中，化简后属于同类二次根式的一组是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
4．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≠﹣2 D．x≥﹣2且x≠2
5．（3分）已知反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（﹣3，﹣1）
B．y随x的增大而增大
C．若点P（﹣1，y1）和点Q（2，y2）在函数图象上，则y1＜y2
D．图象既是轴对称图形又是中心对称图形
6．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m（m≠0）与y＝（m≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）若关于x的分式方程的解为整数，且一次函数y＝（7﹣a）x+a的图象不经过第四象限，则符合题意的整数a的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为线段AB上的动点．以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M．作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ）
A．（5，5） B．（6，） C．（，） D．（，5）
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置。）
9．（3分）分式有意义的条件是 ．
10．（3分）若x，y为实数，且|x+1|+＝0，则（xy）2023的值是 ．
11．（3分）已知，则的值为 ．
12．（3分）已知y与x﹣1成反比例，并且当x＝3时，y＝4．则y与x之间的函数解析式为 ．
13．（3分）若分式方程有增根，则m的值是 ．
14．（3分）正比例函数与反比例函数的一个交点为，当正比例函数的图象在反比例函数图象的上方时，则x的取值范围是 ．
15．（3分）如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，若△PAO的面积为7，则k的值为 ．
16．（3分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝12，AE＝CF＝3，则四边形BEDF的周长是 ．
17．（3分）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，DC，AC的中点．若∠ACB＝64°，∠DAC＝22°，则∠EFG的度数为 ．
18．（3分）如图，已知菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
19．（8分）计算：
（1）；
（2）（）（）+（）2．
20．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
21．（8分）先化简，再求值：，其中x＝．
22．（8分）如图，已知△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）请画出△ABC关于坐标原点O的中心对称图形△A'B'C'，并写出点A的对应点A′的坐标 ；
（2）若将点B绕坐标原点O顺时针旋转90°，请直接写出点B的对应点B″的坐标 ；
（3）请直接写出：以A′，B″，O为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 ．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中（AD＞AB）．
（1）仅用无刻度的直尺和圆规在矩形ABCD的边AD上找一点E，使EC平分∠BED．（不写作法，但要求保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，AB＝6，BC＝10，求△CDE的面积．
24．（10分）骑电动自行车时佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害，某商店经销进价分别为30元/个和20元/个的甲、乙两种安全头盔，销售时，甲头盔的单价比乙头盔的单价贵15元．某日，甲头盔的销售额为450元，乙头盔的销售额为600元，此时乙头盔的销量恰好是甲头盔的2倍．
（1）求甲、乙两种头盔的销售单价；
（2）若商店准备用不超过2350元的资金再购进这两种头盔共100个，最多能购进甲种头盔多少个？
25．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AD＝，BD＝2，求OE的长．
26．（10分）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）对偶式与之间的关系为
A．互为相反数B．互为倒数C．绝对值相等D没有任何关系
（2）已知，，求的值；
（3）解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）．
27．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y1＝（k＞0）的图象与正比例函数y2＝mx（m＞0）的图象交于点A、点C，与正比例函数y3＝nx（n＞0）的图象交于点B、点D，设点A、D的横坐标分别为s，t（0＜s＜t）．
（1）如图1，若点A坐标为（2，4）．
①求m，k的值；
②若点D的横坐标为4，连接AD，求△AOD的面积．
（2）如图2，依次连接AB，BC，CD，DA，若四边形ABCD为矩形，求mn的值．
28．（12分）（1）【发现证明】
问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．
观察：EF、DF、BE三条线段都不在同一条直线上，能不能借助图形的运动，将部分线段放置在一条直线上加以证明呢？
思路：将△ABE绕点A顺时针旋转90°使AB与AD重合，得到了旋转后的△ADG．
①根据上述思路在图1中画图分析并证明（写出详细的证明过程）．
②若正方形ABCD的边长为6，当动点E在BC边上运动到中点位置时，动点F在CD边上距离D点多长的位置？（写出详细的解答过程）
（2）【类比迁移】
若点E、F分别为正方形两条边的延长线上的动点，EF、BE、DF三者之间还存在（1）中的关系吗？根据解决（1）中问题的经验加以探究．
①如图2，在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，EF、BE、DF之间的数量关系是什么？请借助图2加以分析，并写出详细的证明过程．
②如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF、BE、DF之间的数量关系是 （直接写出关系式，无需证明）．
2022-2023学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学教育集团八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置。）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）下列各分式中是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、＝，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；
D、＝x﹣y，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是最简二次根式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
3．（3分）下列各组二次根式中，化简后属于同类二次根式的一组是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【分析】先将各选项进行二次根式的化简，再根据同类二次根式的概念求解即可．
【解答】解：A、因为＝3，所以和3不是同类二次根式，故本选项错误；
B、因为＝3，所以与不是同类二次根式，故本选项错误；
C、因为＝2，＝3，所以和是同类二次根式，故本选项正确；
D、因为＝2，＝2，所以不是同类二次根式，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念．
4．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≠﹣2 D．x≥﹣2且x≠2
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x+2≥0且x﹣2≠0，
解得x≥﹣2且x≠2．
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
5．（3分）已知反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（﹣3，﹣1）
B．y随x的增大而增大
C．若点P（﹣1，y1）和点Q（2，y2）在函数图象上，则y1＜y2
D．图象既是轴对称图形又是中心对称图形
【分析】依据反比例函数的图象与性质逐一判断即可．
【解答】解：A．当x＝﹣3时，y＝1，故点（﹣3，﹣1）不在图象上，此选项错误，不符合题意；
B．在每一象限内y随x的增大而增大，故说法错误，不符合题意；
C．当x＝﹣1时，y1＝3，当x＝2时，，故y1＞y2，选项错误，不符合题意；
D．图象既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟记性质是解题的关键．
6．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m（m≠0）与y＝（m≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】在各选项中，先利用反比例函数图象确定m的符号，再利用m的符号对一次函数图象的位置进行判断，从而判断该选项是否正确．
【解答】解：A、由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以A选项错误；
B、由反比例函数图象得m＞0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以B选项错误；
C、由反比例函数图象得m＞0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以C选项正确；
D、由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象：反比例函数y＝为双曲线，当k＞0时，图象分布在第一、三象限；当k＜0时，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数的性质．
7．（3分）若关于x的分式方程的解为整数，且一次函数y＝（7﹣a）x+a的图象不经过第四象限，则符合题意的整数a的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意求得满足条件的a的值，从而可以得到满足条件的所有整数a的个数．
【解答】解：∵一次函数y＝（7﹣a）x+a的图象不经过第四象限，
∴，
解得0≤a＜7，
由分式方程得，x＝，
∵分式方的解为整数，且x≠1，
∴a＝0，2，4，
∴符合题意的整数a的个数3个，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质、分式方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出满足条件的a的值，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为线段AB上的动点．以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M．作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ）
A．（5，5） B．（6，） C．（，） D．（，5）
【分析】根据矩形的性质和直角三角形的性质，可以得到CP⊥AB时，CP取得最小值，此时MN取得最小值，然后即可求得点E的坐标．
【解答】解：连接CP，
∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴AC2+BC2＝82+62＝102＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴∠PMC＝∠PNC＝∠ACB＝90°，
∴四边形CMPN是矩形，
∴MN＝CP，
当CP⊥AB时，CP取得最小值，此时CP＝＝＝，AP＝＝＝，
∴函数图象最低点E的坐标为（，），
故选：C．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置。）
9．（3分）分式有意义的条件是 x≠﹣2 ．
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：分式有意义，
∴x+2≠0，
∴x≠﹣2．
故答案为：x≠﹣2．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
10．（3分）若x，y为实数，且|x+1|+＝0，则（xy）2023的值是 ﹣1 ．
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵x，y为实数，且|x+1|+＝0，
∴x+1＝0，y﹣1＝0，
解得：x＝﹣1，y＝1，
则（xy）2023＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
11．（3分）已知，则的值为 ．
【分析】由，可得b＝2a，再计算分式的加法运算，再代入即可．
【解答】解：∵，
∴b＝2a，
∴＝＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是分式化简的求值，熟记运算法则是解本题的关键．
12．（3分）已知y与x﹣1成反比例，并且当x＝3时，y＝4．则y与x之间的函数解析式为 ．
【分析】根据反比例函数的定义，可表示出y与x﹣1的关系式，再由一对x，y的值，可求出待定系数，进而确定函数解析式．
【解答】解：由题知，
令，
又当x＝3时，y＝4，
则，解得k＝8．
所以y与x之间的函数解析式为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了整体思想的应用，将“x﹣1“看作一个整体，替换中的“x“，再用待定系数法求出函数表达式．
13．（3分）若分式方程有增根，则m的值是 ﹣6 ．
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，再由分式方程有增根得到x＝2，然后将x的值代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：
分式方程去分母得：6+2（x﹣2）＝﹣m，
由分式方程有增根，∴x﹣2＝0，即x＝2，
∴m＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了分式方程的增根，掌握增根的定义是解题的关键．
14．（3分）正比例函数与反比例函数的一个交点为，当正比例函数的图象在反比例函数图象的上方时，则x的取值范围是 x＜﹣2或0＜x＜2 ．
【分析】待定系数法先求出正比例函数与反比例函数解析式，再根据反比例函数的图象性质正比例函数的图象性质求出自变量x的取值范围．
【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的一个交点为，
∴正比例函数为y＝﹣x，反比例函数为y＝﹣．
∴当正比例函数图象在反比例函数图象上方时，即﹣x＞﹣，
解得x＜﹣2或0＜x＜2．
故答案为：x＜﹣2或0＜x＜2．
【点评】主要考查了反比例函数的图象性质正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
（1）反比例函数y＝的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
（2）正比例函数y＝kx的图象性质：图象是一条直线，一定经过坐标轴的原点．当k＞0时，图象经过一，三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
15．（3分）如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，若△PAO的面积为7，则k的值为 ﹣14 ．
【分析】由△PAO的面积为7可得|k|＝7，再结合图象经过的是第二象限，从而可以确定k值．
【解答】解：∵S△PAO＝7，
∴|x•y|＝7，即|k|＝7，则|k|＝14，
∵图象经过第二象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣14．
故答案为：﹣14．
【点评】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，解题的关键是要明确过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|．
16．（3分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝12，AE＝CF＝3，则四边形BEDF的周长是 12 ．
【分析】根据题意和正方形的性质，利用勾股定理，可以求得DE、EB、BF、FD的长，从而可以求得四边形BEDF的周长．
【解答】解：如图，连接BD，交AC于O，
∵四边形ABCD是正方形，AC＝12，
∴AC＝BD＝12，AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD＝6，
∵AE＝CF＝3，
∴EO＝FO＝3，
∴DE＝DF＝BF＝BE＝＝3，
∴四边形BEDF的周长是12，
故答案为：12．
【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．（3分）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，DC，AC的中点．若∠ACB＝64°，∠DAC＝22°，则∠EFG的度数为 21° ．
【分析】根据三角形中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可．
【解答】解：∵AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线．
∴GF∥AD且GF＝AD，GE∥BC且GE＝BC．
又∵AD＝BC，
∴GF＝GE，∠FGC＝∠DAC＝22°，∠AGE＝∠ACB＝64°．
∴∠EFG＝∠FEG．
∵∠FGE＝∠FGC+∠EGC＝22°+（180°﹣64°）＝138°，
∴∠EFG＝（180°﹣∠FGE）＝21°．
故答案为：21°．
【点评】主要考查了中位线定理和等腰三角形两底角相等的性质，题目的难度不大．
18．（3分）如图，已知菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为，则k的值为 ．
【分析】过点C，B分别作x轴的垂线，垂足分别为E，F，设OE＝a，CE＝b，OA＝t，则点C的坐标为（a，b），证Rt△OCE和Rt△ABF全等得OE＝AF＝a，则点B（a+t，b），进而得点D，据此得，整理得3ab＝bt，然后根据菱形OABC的面积为得，由此可求出k的值．
【解答】解：过点C，B分别作x轴的垂线，垂足分别为E，F，如图：
设OE＝a，CE＝b，OA＝t，
∴点C的坐标为（a，b），
∵四边形OABC为菱形，
∴OC＝AB＝OA＝BC＝t，BC∥OA，
∴CE＝BF＝b，
在Rt△OCE和Rt△ABF中，
，
∴Rt△OCE≌Rt△ABF（HL），
∴OE＝AF＝a，
∴OF＝OA+AF＝a+t，
∴点B的坐标为（a+t，b），
∵点D为OB的中点，
∴点D的坐标为点，
∵反比例函数经过点C，D，
∴，
∴3ab＝bt，
∵菱形OABC的面积为，
∴S菱形OABC＝OA•CE＝t•b＝，
∴，
即：k＝ab＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，菱形的面积，解答此题的关键是熟练掌握菱形的面积计算公式，难点是设OE＝a，CE＝b，OA＝t，然后用a，b，t的代数式分别表示出点B、点C的坐标和菱形OABC的面积，从而找出菱形OABC的面积与k之间的关系．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
19．（8分）计算：
（1）；
（2）（）（）+（）2．
【分析】（1）先根据绝对值的性质、零指数幂及数的开方法则分别计算出各数，再根据二次根式的加减法则进行计算即可；
（2）先算乘方、乘法，再算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣﹣1﹣2
＝1﹣3；
（2）原式＝5﹣4+12+1+4
＝14+4．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
20．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程两边都乘x（x﹣2）得出x（x﹣3）﹣x（x﹣2）＝3（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得出（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1），
方程两边都乘x（x﹣2），得x（x﹣3）﹣x（x﹣2）＝3（x﹣2），
解得：x＝，
检验：当x＝时，x（x﹣2）≠0，
所以分式方程的解是x＝；
（2），
方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1），
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
所以x＝1是增根，
即分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．
21．（8分）先化简，再求值：，其中x＝．
【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝，
当x＝时，
原式＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22．（8分）如图，已知△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）请画出△ABC关于坐标原点O的中心对称图形△A'B'C'，并写出点A的对应点A′的坐标 （2，﹣3） ；
（2）若将点B绕坐标原点O顺时针旋转90°，请直接写出点B的对应点B″的坐标 （0，6） ；
（3）请直接写出：以A′，B″，O为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 （2，﹣9）或（2，3）或（﹣2，9） ．
【分析】（1）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）根据旋转的性质作出图形，再写出点B″的坐标即可；
（3）首先根据题意画出图形，分别以A′O，A′B″，OB″为对角线作平行四边形，即可求得答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求，
点A的对应点A′的坐标为：（2，﹣3）；
故答案为：（2，﹣3）；
（2）如图所示，点B″就是点B旋转后的点，
∴B″的坐标为：（0，6），
故答案为：（0，6）；
（3）如图所示：平行四边形A'B''OD1或平行四边形A'OB''D2或平行四边形A'B''D3O，
以A′、B″、O为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为：D1（2，﹣9），D2（2，3），D3（﹣2，9）．
故答案为：（2，﹣9）或（2，3）或（﹣2，9）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及旋转变换，注意坐标与图形的关系分类讨论是解题关键．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中（AD＞AB）．
（1）仅用无刻度的直尺和圆规在矩形ABCD的边AD上找一点E，使EC平分∠BED．（不写作法，但要求保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，AB＝6，BC＝10，求△CDE的面积．
【分析】（1）以B点为圆心，BC为半径画弧交AD于E，连接BE、CE，则∠BEC＝∠BCE，再根据平行线的性质得到∠BCE＝∠DEC，从而可判断EC平分∠BED；
（2）根据勾股定理可得AE的长，从而得DE的长，即可理由三角形面积公式求值．
【解答】解：（1）如图，点E为所作；
（2）由（1）可得：BC＝BE＝AD＝10，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝8，
∴DE＝10﹣8＝2．
∴△CDE的面积＝DE×CD＝×2×6＝6．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质．
24．（10分）骑电动自行车时佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害，某商店经销进价分别为30元/个和20元/个的甲、乙两种安全头盔，销售时，甲头盔的单价比乙头盔的单价贵15元．某日，甲头盔的销售额为450元，乙头盔的销售额为600元，此时乙头盔的销量恰好是甲头盔的2倍．
（1）求甲、乙两种头盔的销售单价；
（2）若商店准备用不超过2350元的资金再购进这两种头盔共100个，最多能购进甲种头盔多少个？
【分析】（1）设乙头盔的销售单价为x元，则甲头盔的销售单价为（x+15）元，利用销售数量＝销售总价÷销售单价，结合“某日，甲头盔的销售额为450元，乙头盔的销售额为600元，此时乙头盔的销量恰好是甲头盔的2倍”，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙头盔的销售单价，再将其代入（x+15）中，即可求出甲头盔的销售单价；
（2）设购进甲头盔m个，则购进乙头盔（100﹣m）个，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过2300元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙头盔的销售单价为x元，则甲头盔的销售单价为（x+15）元，
根据题意得：＝×2，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是所列分式方程的解，且符合题意，
∴x+15＝30+15＝45．
答：甲头盔的销售单价为45元，乙头盔的销售单价为30元；
（2）设购进甲头盔m个，则购进乙头盔（100﹣m）个，
根据题意得：30m+20（100﹣m）≤2350，
解得：m≤35，
∴m的最大值为35．
答：最多能购进甲种头盔35个．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AD＝，BD＝2，求OE的长．
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DCA，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠OAB＝∠OCD，
∴BC＝AD＝AB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，AB＝AD＝，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝，
∴OE＝OA＝．
【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理是解本题的关键．
26．（10分）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）对偶式与之间的关系为 B
A．互为相反数B．互为倒数C．绝对值相等D没有任何关系
（2）已知，，求的值；
（3）解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）．
【分析】（1）求出（2+）与（2﹣）的积即可得出结论；
（2）求出x+y，x﹣y，xy的值，再根据因式分解，代入计算即可；
（3）根据“对偶式”的性质求出t的值，再将两个方程联立得到＝5，再由算术平方根的意义求解即可．
【解答】解：（1）∵（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1，
∴2+与2﹣互为倒数，
故答案为：B；
（2）∵＝＝+2，＝＝﹣2，
∴x+y＝+2+﹣2＝2，
x﹣y＝+2﹣+2＝4，
xy＝（+2）（﹣2）＝1
∴＝＝＝；
（3）设，
∵①，
∴（+）（﹣）＝2t，
即24﹣x﹣8+x＝2t，
解得t＝8，
∴+＝8 ②，
①+②得，2＝10，
即＝5，
∴24﹣x＝25，
∴x＝﹣1．
【点评】本题考查二次根式的化简，估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义，理解“对偶式”的性质是正确解答的关键．
27．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y1＝（k＞0）的图象与正比例函数y2＝mx（m＞0）的图象交于点A、点C，与正比例函数y3＝nx（n＞0）的图象交于点B、点D，设点A、D的横坐标分别为s，t（0＜s＜t）．
（1）如图1，若点A坐标为（2，4）．
①求m，k的值；
②若点D的横坐标为4，连接AD，求△AOD的面积．
（2）如图2，依次连接AB，BC，CD，DA，若四边形ABCD为矩形，求mn的值．
【分析】（1）①把A（2，4）分别代入y1＝（k＞0）和y2＝mx，即可求得答案；
②如图1，延长DA交y轴于点K，利用待定系数法求得直线AD的解析式为y＝﹣x+6，得出K（0，6），再由S△AOD＝S△DOK﹣S△AOK，即可求得答案；
（2）由题意得：A（s，ms），D（t，nt），k＝ms2＝nt2①，再根据矩形性质可得OA＝OD，即s2+m2s2＝t2+n2t2②，①②联立即可求得答案．
【解答】解：（1）①把A（2，4）代入y2＝mx得：4＝2m，
∴m＝2，
把A（2，4）代入y1＝（k＞0）得：4＝，
∴k＝8，
故m＝2，k＝8；
②如图1，延长DA交y轴于点K，
∵反比例函数y＝，点D的横坐标为4，
∴D（4，2），
设直线AD的解析式为y＝ax+b，
则，
解得：，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x+6，
∴K（0，6），
∴OK＝6，
∴S△AOD＝S△DOK﹣S△AOK＝×6×4﹣×6×2＝6，
故△AOD的面积为6．
（2）如图2，由题意得：A（s，ms），D（t，nt），
∵反比例函数y1＝（k＞0）的图象经过点A、D，
∴k＝ms2＝nt2①，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，
∴OA＝OD，
∴s2+m2s2＝t2+n2t2②，
由①②联立，得：（1+m2）t2＝（1+n2）t2，
∵t≠0，
∴（1+m2）n＝（1+n2）m，
∴（m﹣n）（1﹣mn）＝0，
∵m≠n，
∴1﹣mn＝0，
即mn＝1．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图象和性质，待定系数法，三角形面积，矩形的判定和性质，线段的中点坐标，反比例函数与正比例函数图象交点问题等，难度适中．
28．（12分）（1）【发现证明】
问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．
观察：EF、DF、BE三条线段都不在同一条直线上，能不能借助图形的运动，将部分线段放置在一条直线上加以证明呢？
思路：将△ABE绕点A顺时针旋转90°使AB与AD重合，得到了旋转后的△ADG．
①根据上述思路在图1中画图分析并证明（写出详细的证明过程）．
②若正方形ABCD的边长为6，当动点E在BC边上运动到中点位置时，动点F在CD边上距离D点多长的位置？（写出详细的解答过程）
（2）【类比迁移】
若点E、F分别为正方形两条边的延长线上的动点，EF、BE、DF三者之间还存在（1）中的关系吗？根据解决（1）中问题的经验加以探究．
①如图2，在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，EF、BE、DF之间的数量关系是什么？请借助图2加以分析，并写出详细的证明过程．
②如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF、BE、DF之间的数量关系是 BE＝EF+DF （直接写出关系式，无需证明）．
【分析】（1）【发现证明】
①证明△EAF≌△GAF，可得出EF＝FG，则结论得证；
②设DF＝x，则EF＝FG＝x+3，CF＝6﹣x，在Rt△EFC中，得出关于x的方程，解出x则可得解；
（2）【类比迁移】
①将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM根据SAS可证明△EAF≌△MAF，可得EF＝FM，即可得结论；
②将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，证明△AFE≌△ANE，可得出EF＝EN，即可得结论．
【解答】（1）【发现证明】
①证明：将△ABE绕点A顺时针旋转90°使AB与AD重合，得到了旋转后的△ADG，如图1，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，
∴∠ADF+∠ADG＝180°，
∴F，D，G三点共线，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠FAD＝45°，
∴∠DAG+∠FAD＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG＝DF+DG，
∴EF＝DF+BE；
②解：∵正方形ABCD的边长为6，点E在BC边上运动到中点位置，
∴BE＝BC＝3，
由①可知DG＝BE＝3，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴DC＝BC＝AD＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣3＝3，
设DF＝x，则EF＝FG＝x+3，CF＝6﹣x，
在Rt△EFC中，CF2+CE2＝EF2，
∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，
解得：x＝2．
∴DF＝2，
∴动点F在CD边上距离D点长为2的位置；
（2）【类比迁移】
解：①EF＝DF﹣BE．
证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，
∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，
∴∠FAM＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△MAF（SAS），
∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；
②如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，
∴AN＝AF，∠NAF＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠NAE＝45°，
∴∠NAE＝∠FAE，
∵AE＝AE，
∴△AFE≌△ANE（SAS），
∴EF＝EN，
∴BE＝BN+NE＝DF+EF．
即BE＝EF+DF．
故答案为：BE＝EF+DF．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．
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