2021届江苏省南通市高三上学期期中模拟考试数学试卷

这是一份2021届江苏省南通市高三上学期期中模拟考试数学试卷，共16页。
江苏省南通市2021届期中模拟考试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合
A． B． C． D．
2．在复平面内,复数6－5i,－2＋3i对应的点分别为A、B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( )
A.4＋8i B.8＋2i C.2－i D.4＋i
3．已知函数 (P为自然对数的底数)，若
，则
A． B．
C． D．
4．在中，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象大致是




7．考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为，，所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律：，，若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数，则的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为　　
A． B． C． D．
8．已知，则
A．M的最小值为 B．M的最小值为
C．M的最小值为 D．M的最小值为
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．设是等差数列，是其公差，是其前项和.若则下列结论正确的是( )

10．关于函数有下列命题，其中正确的是
A．是以为最小正周期的周期函数
B．的表达式可改写为
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
11．设，是抛物线上的两点，是坐标原点，下列结论成立的是　　
A．若，则
B．若，直线过定点
C．若，到直线的距离不大于1
D．若直线过抛物线的焦点，且，则
12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是　　
A．当时，
B．函数有3个零点
C．的解集为，，
D．，，都有
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应
位置上。
13．已知的展开式中的系数为40，则实数a的值为________.
14．二项式的展开式中的常数项是　　．（用数字作答）
15．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为　　．
16．函数y＝f(x)图象上不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)处的切线的斜率分别是kA,kB,规定φ(A,B)＝叫做曲线y＝f(x)在点A、B之间的“平方弯曲度”.设曲线y＝ex＋x上不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1－x2＝1,则φ(A,B)的取值范围是__ __.


四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
已知等比数列满足，，成等差数列，且；等差数列的前项和．求：
（1），；
（2）数列的前项和．

18．(本小题满分12分)
已知在中，、、分别为角、、的对边，且．
（1）求角的值；
（2）若，设角，周长为，求的最大值．

19．(本小题满分12分)
某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为，继续排气4分钟后又测得浓度为.由检验知该地下车库一氧化碳浓度与排气时间t(分钟)之间存在函数关系 (为常数)．
(1)求c，m的值；
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态?


20．(本小题满分12分)
某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：

将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．
（1）求的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在，，，内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；
（3）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？

属于“高消费群”
不属于“高消费群”
合计
男



女



合计



（参考公式：，其中

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


21．(本小题满分12分)
已知，分别为椭圆的左、右焦点，为上的动点，其中到的最短距离为1，且当△的面积最大时，△恰好为等边三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆的外切圆为．
求圆的方程；
在平面内是否存在定点，使得以为直径的圆与相切，若存在求出定点的坐标；若不存在，请说明理由


22．(本小题满分12分)
已知函数．
（1）当时，设函数的最小值为（a），证明：（a）；
（2）若函数有两个极值点，，证明：．




江苏省南通市2021届期中模拟考试
数学参考答案
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. B 2. C 3．B 4．D 5. A 6.D 8. D 7.C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9. ABD 10.BD 11. 12.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应
位置上。
13. 3 14. 60 15. 16.

四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 解：（1）设的公比为．
因为，，成等差数列，
所以，即．
因为，所以．
因为，所以．
因此．
由题意，．
所以，，从而．
所以的公差．
所以．
（2）令，则．
因此．
又
两式相减得．
所以．

18. 解：（1）由已知可得，
结合正弦定理可得，
，
又，．
（2）由，．及正弦定理得，
，，
故，

由，得，
当，即时，．

19.解（1）由题意可列方程组两式相除，解昨
（2）由题意可列不等式，
所以，解得.
故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态


20. 解：（1）由题意知，解得，
样本平均数为元．
（2）由题意，从，中抽取7人，从，中抽取3人，
随机变量的所有可能取值有0，1，2，3．
，1，2，所以随机变量的分布列为：

0
1
2
3





随机变量的数学期望．
（3）由题可知，样本中男生40人，女生60人属于“高消费群”的25人，其中女生10人；得出以下列联表：

属于“高消费群”
不属于“高消费群”
合计
男生
15
25
40
女生
10
50
60
合计
25
75
100
，
所以有的把握认为概型学生属于“高消费群”与性别有关．
21. 解：（1）由题意可得：，面积最大时为短轴的顶点，再由△恰好为等边三角形，可得，，
解得：，，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）由（1）得圆的圆心坐标为，半径为，
所以圆的方程为：；
解法一：假设存在满足条件的定点，
由题意可知定点必在轴上，设，，，则，
由可知，圆的圆心为坐标原点，半径为2，
设以为直径的圆的圆心为，半径为，则为线段的中点，
，即，，，
因为圆与圆相切，则，
所以，其中，
两边平方并整理得：，化简得，
上式对任意，恒成立，
故，解得，
所以，当定点恰好为椭圆的焦点时，符合题意．
解法二：存在满足条件的定点，
由题意可知，当为长轴的端点时，即为切点，因此，定点必在轴上，设，，，则，
由可知，圆的圆心为坐标原点，半径为2，
设以为直径的圆的圆心为，半径为，则为线段的中点，则，
即，，，
因为圆与圆相切，则，
所以，
整理得，
设，则，
又因为在椭圆上，设，分别为椭圆的左右焦点，
，
故，分别与，重合，
所以当定点恰好为椭圆的的焦点时，符合题意．
解法三：假设存在满足条件的定点，由题意可知定点必在轴上，
由可知，圆的圆心为坐标原点，半径为2，
设以为直径的圆的圆心为，半径为，则为线段的中点，则，
因为圆与圆相切，则，即，
所以，
设为关于原点对称点，则恰好为△的中位线，
所以，
所以，下同解法二；
解法四：假设存在满足条件的定点，设，，，则
由可知，圆的圆心为坐标原点，半径为2，
设以为直径的圆的圆心为，半径为，则为线段的中点，则，即，，，
因为圆与圆相切，则，
所以，
整理得，
设，因此，下同解法一．
22. 证明：（1），
令，解得，
当时，，
当时，，
，
（a），
令，，
令，解得，
当时，，
当时，，
（1），
，
当时，（a）；
（2），，
令，，
令，解得，
当时，，
当时，，
，
又函数有两个极值点，
，
，且，
当时，单调递增，
当，时，单调递减，
当时，
又，
，
，
令，
令，，
在，上单调递增，
，
在，上单调递增，
，
，
即，
．
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