2021届江苏省扬州市宝应县高三上学期初调研测试数学试题（解析版）

这是一份2021届江苏省扬州市宝应县高三上学期初调研测试数学试题（解析版），共20页。
2021届江苏省扬州市宝应县高三上学期初调研测试数学试题


一、单选题
1．已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】集合A表示圆上的点，集合B表示直线上的点，联立方程判断根的个数即得交集元素的个数.
【详解】
依题意，集合A表示圆上的点，集合B表示直线上的点，故集合中元素表示直线与圆的交点，联立得，方程有两根，故直线与圆有两个交点，故集合中有2个元素.
故选：B.
【点睛】
本题考查了直线与圆的交点个数和集合的交集运算，属于基础题.
2．有四个关于三角函数的命题：
；
；
；
；
其中真命题是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先判断出的正误，从而可得正确的选项.
【详解】
因为，所以的最大值为，
可得不存在，使成立，得命题是假命题.
因为存在，使成立，故命题是真命题.
因为，所以，结合得
由此可得，得命题是真命题.
因为当时，，不满足，
所以存在，使不成立，故命题是假命题．
故选：B.
【点睛】
本题考查全称命题和特称命题的真假，全称命题为真需给出证明，特称命题为真需给出实例，本题属于中档题.
3．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬43°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）

A．137° B．47° C．43° D．21.5°
【答案】C
【解析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点处的纬度，计算出晷针与点处的水平面所成角.
【详解】
画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；
是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得.
由于，所以，
由于，
所以，也即晷针与点处的水平面所成角为.
故选：C.

【点睛】
本题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.
4．函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先验证函数是否满足奇偶性，由f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln |x|－x2＝f(x)，故函数f（x）为偶函数，，排除B,D ，再由函数的特殊值确定答案．
【详解】
令f(x)＝y＝ln|x|－x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln |x|－x2＝f(x)，故函数y＝ln|x|－x2为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D；当x>0时，y＝ln x－x2，则y′＝－2x，当x∈时，y′＝－2x>0，y＝ln x－x2单调递增，排除C，A项满足.
【点睛】
本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．
5．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由诗句可分析,“返回家乡”之前一定是“攻破楼兰”的,但“攻破楼兰”后还是否有其他任务需要完成诗句中并未提及,进而得到结论.
【详解】
由题,“不破楼兰终不还”意味着如果“返回家乡”,则一定“攻破楼兰”；
但“攻破楼兰”后,是否还有其他任务,诗句中并未提及,无法判断此时可否“返回家乡”；
故选:B
【点睛】
本题考查充分条件和必要条件的判定,属于基础题.
6．从编号分别为的八个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据古典概型计算公式，结合组合数定义、列举法进行求解即可.
【详解】
从编号分别为的八个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球共有
种方法，
从编号分别为的八个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球恰有两个小球编号相邻的情况如下：

共有30种情况，
所以恰有两个小球编号相邻的概率为：，
故选：D
【点睛】
本题考查了古典概型计算公式的应用，考查了列举法和组合数的应用，考查了数学运算能力.
7．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（ ）
A．是减函数 B．是增函数 C．有最小值 D．有最大值
【答案】B
【解析】由函数在区间上有最小值求出的取值范围，表示出，进一步应用的范围对的单调性、最值作出判断．
【详解】
函数在区间上有最小值，
函数的对称轴应当位于区间内，
有，则，
当时，在区间上为增函数，此时，（1）；
当时，在区间上为增函数，此时，（1）；
当时，，，在上单调递增，此时（1）；
综上，在区间上单调递增．
故选：
【点睛】
本题考查函数的单调性及函数最值的求解，考查分类讨论思想，考查学生解决问题的能力属于中档题．
8．已知函数（，且）在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意首先求得a的取值范围，然后结合函数的解析式将原问题转化为两函数图像存在两个交点的问题，数形结合即可确定a的取值范围.
【详解】
由函数的解析式可知函数在区间上单调递增，
当时，函数单调递减，由复合函数的单调性法则可知：，
且函数在处满足：，解得：，故，
方程恰有两个不相等的实数解，则函数与函数的图像有且仅有两个不同的交点，
绘制函数的图像如图中虚线所示，

令可得：，
由可知，，
则直线与函数的图像在区间上存在唯一的交点，
原问题转化为函数与二次函数在区间上存在唯一的交点，
很明显当，即时满足题意，
当直线与二次函数相切时，设切点坐标为，亦即，
由函数的解析式可得：，故：，则，
切点坐标为，从而：，即.
据此可得：的取值范围是.
故选D.
【点睛】
本题主要考查分段函数的单调性，数形结合的数学思想，导函数研究函数的切线方程，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

二、多选题
9．设集合，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】求出集合和，即可
【详解】
，
所以，，或，所以，
，
故选：AB
【点睛】
本题主要考查了集合的交并补运算，涉及求函数值域和对数复合型函数的定义域，属于中档题.
10．已知两个命题：对任意，总有；：“”是“”的充分不必要条件.则下列说法正确的是（ ）
A．为真命题 B．为假命题
C．为真命题 D．为假命题
【答案】BC
【解析】利用特列判断为假命题，利用不等式的性质以及充分条件与必要条件的定义判断为假命题，从而可得答案.
【详解】
时，不成立，故命题为假命题；A错B对，
“”不能推出“”， “”能推出“”，
“”是“”的必要不充分条件，故为假命题，为真命题，C对D错，
故选：BC.
【点睛】
本题主要考查全称命题、不等式的性质以及充分条件与必要条件的定义，考查了复合命题的真假判断，属于基础题.
11．如图，在三棱锥C-ABD中，△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB=4，二面角A-BD-C的大小为60°，以下结论正确的是（ ）

A．AC⊥BD
B．△AOC为正三角形
C．四面体A-BCD外接球的表面积为32π
D．
【答案】ABC
【解析】先根据等腰三角形性质得,再根据线面垂直判定与性质定理证明A成立；结合二面角定义判断B成立；确定O为四面体A-BCD外接球球心，再根据求表面积公式计算判断C成立；根据余弦定理计算判断D错误.
【详解】
因为△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，
所以，又为平面内两相交直线，
因此平面，因为平面，所以,即A正确；
因为，所以为二面角A-BD-C的平面角，即
因为，所以△AOC为正三角形，，即B正确；
因为,所以O为四面体A-BCD外接球球心，半径为，
因此四面体A-BCD外接球的表面积为，即C正确；
因为,所以，即D错误
故选：ABC
【点睛】
本题考查线面垂直判定与性质定理、二面角平面角、外接球表面积，考查综合分析判断能力，属中档题.
12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E. J. Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】根据已知定义，将问题转化为方程有解，然后逐项进行求解并判断即可.
【详解】
根据定义可知：若有不动点，则有解.
A．令，所以，此时无解，故不是“不动点”函数；
B．令，所以或，所以是“不动点”函数；
C．当时，令，所以或，所以是“不动点”函数；
D．令，所以，所以是“不动点”函数.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查新定义的函数问题，难度较难.解答本题的关键是能通过定义将问题转化为方程是否有解的问题，对于转化能力要求较高.


三、填空题
13．已知函数，则的值域是________.
【答案】[0，+∞)
【解析】求出时二次函数的值域，再由基本不等式求出时函数的值域，取并集得答案．
【详解】
解：由，知当时，；
当时，，当且仅当，即时取“”，
取并集得：的值域是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查分段函数值域的求法，分段函数的值域分段求，然后取并集即可，属于中档题．
14．若函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】根据函数在区间上是单调增函数，转化为导数不小于0在区间上恒成立，分离参数，利用函数最值求解.
【详解】
，
函数在区间上是单调增函数，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
由(),
所以，
即，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究不等式恒成立问题，二次函数最值，转化思想，属于中档题.
15．四棱锥P-ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD，，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是_________

【答案】
【解析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积求线线角.
【详解】

以A为坐标原点，AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则


因此异面直线BE与AC所成角的余弦值是
故答案为：
【点睛】
本题考查利用空间向量求线线角，考查基本分析求解能力，属基础题.
16．设，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】先展开，利用条件化简，再根据基本不等式求取值范围，最后根据函数单调性求最值.
【详解】


令，即在上单调递减
因此当时，取最小值为
故答案为：
【点睛】
本题考查基本不等式求取值范围、利用单调性求函数最值、利用导数判断函数单调性，考查综合分析求解能力，属中档题.

四、解答题
17．已知集合，.
（1）当时，求AB；
（2）设，，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，解得范围，可得，由可得：，解得．即可得出．
（2）由，解得．根据是成立的必要条件，利用包含关系列不等式即可得出实数的取值范围．
【详解】
（1）由，解得，可得：．
，可得：，化为：，解得，．
所以=.
（2）q是p成立的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集.
由，解得．
，又集合A=，
所以 或
解得0≤a≤2，即实数a的取值范围是.
【点睛】
本题考查了简易逻辑的判定方法、集合之间的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．已知函数.
(1)当时，求函数的值域；
(2)如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2) .
【解析】（1）利用配方法化简函数，根据函数的定义域，换元得到t＝∈[0,2]，由二次函数的性质，即可求出函数的值域；（2）先利用对数运算化简不等式，换元，再通过分离参数法，转化为最值问题，利用基本不等式求出最值，即可求出实数的取值范围．
【详解】
(1)h(x)＝(4－2)·＝－2(－1)2＋2，
因为x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，，
故函数h(x)的值域为[0,2]．
(2)由f(x2)·f()＞k·g(x)，
得(3－4)(3－)＞k·，
令，因为x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，
所以(3－4t)(3－t)＞k·t对一切t∈[0,2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0,2]时，恒成立，
即，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为－3.所以k＜－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．
【点睛】
本题主要考查含有对数式的二次函数的值域的求法，利用分离参数法解决不等式恒成立问题，以及利用基本不等式求最值．意在考查学生的转化与化归思想和数学运算能力．
19．设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最大值为，正实数满足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）分3段去绝对值解不等式组，再求并集即可得答案；
（2）先根据分段函数的单调性求出最大值可得，再通过变形后使用基本不等式可得最小值．
【详解】
（1）不等式或或，解得，
故原不等式的解集为；
（2），
，

，
的最小值为，当且仅当时取等.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法，考查了利用基本不等式求最值，同时考查了分类讨论思想与转化思想的应用，考查计算能力，属中档题．
20．如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°，AD⊥BC.

（1）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（2）求直线CD与平面ABD所成角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）取棱的中点，连接，，又为棱的中点，可得（或其补角）为异面直线与所成角，求解三角形可得异面直线与所成角的余弦；
（2）连接，由为等边三角形，为边的中点，可得，且，再由面面垂直的性质可得平面，则为直线与平面所成角，求解三角形可得直线与平面所成角的正弦值．
【详解】
（1）取棱的中点，连接，.又因为为棱的中点，故.

所以(或其补角)为异面直线与所成的角.
在中，，故
因为可证平面，
故.在中，，故.
在等腰三角形中，，可得
所以，异面直线与所成角的余弦值为
（2）连接，因为为等边三角形，为边的中点，故，.又因为平面⊥平面，而平面，故平面.
所以，为直线与平面所成的角.
在中，.
在中，.
所以，直线与平面所成角的余弦值为.
【点睛】
本题考查异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面垂直等基本知识，考查空间想象能力、运算求解能力与推理论证能力，属中档题．
21．（本小题满分12分）
某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位： ）进行测量，得出这批钢管的直径 服从正态分布．
(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为,他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；
(2)如果钢管的直径满足为合格品（合格品的概率精确到0．01），现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数的分布列和数学期望．
（参考数据：若,则；
．
【答案】（1）有道理；（2）分布列见解析， ．
【解析】（1）因为,求出的概率，即可说明该质检员的决定有道理；
（2）次品数的可能取值为，根据根据排列组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.
【详解】
(1),.
此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理.
(2),
由题意可知钢管直径满足：为合格品，
故该批钢管为合格品的概率约为0.95
60根钢管中，合格品57根，次品3根，任意挑选3根，
则次品数的可能取值为:0,1,2,3.
，
.
则次品数的分布列列为：

0
1
2
3





得：.
22．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为；
（3）比较与的大小，并加以证明.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），证明见解析.
【解析】（1）利用导数的几何意义即可求解.
（2）将问题转化为方程在区间有唯一解，构造函数，利用导数判断函数的单调性，再利用零点存在性定理即可证明.
（3）由题意证明当时，，构造函数设，利用导数判断函数的单调递增，即可证明.
【详解】
（1）函数的定义域是，
导函数为.
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由已知.
所以只需证明方程在区间有唯一解.
即方程在区间有唯一解.
设函数，
则.
当时，，故在区间单调递增.
又，，
所以存在唯一的，使得.
综上，存在唯一的，
使得曲线在点处的切线的斜率为.
（3）.证明如下：
首先证明：当时，.
设，
则.
当时，，，
所以，故在单调递增，
所以时，有，
即当时，有.
所以.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义、利用导数研究方程的根、构造函数判断函数的单调性比较函数值的大小，考查了转化与划归的思想，属于中档题.