2021届广西南宁市普通高中高三10月摸底测试 数学（理）

绝密★启用前

2021届南宁市普通高中毕业班摸底测试

理科数学

(考试时间：120分钟  满分：150分)

注意事项：

1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{t∈Z|t＝2x＋1，x∈A}，则A∩B的元素个数为

A.4个     B.3个     C.2个     D.1个

2.复数的虚部是

A.     B.i     C.i     D.

3.已知a，b均为单位向量，它们的夹角为120°，c＝λa－μb，若a⊥c，则下列结论正确的是

A.2λ＋μ＝0     B.2λ－μ＝0     C.λ－μ＝0     D.λ＋μ＝0

4.设直线x＝4与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE(O为坐标原点)。则C的焦点坐标为

A.(，0)     B.(，0)     C.(1，0)     D.(2，0)

5.一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都乘以a(a>0)得到一组新数据，则下列说法正确的是

A.这组新数据的平均数为m     B.这组新数据的平均数为a＋m

C.这组新数据的方差为an       D.这组新数据的标准格为a

6.在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c着a＝4，b＝5，c＝6，则

A.     B.     C.     D.1

7.如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为

A.4＋4     B.2＋6     C.3＋3     D.8

8.已知a∈(0，π)，cos(α＋)＝，则sinα的值为

A.     B.     C.     D.

9.射线测厚技术原理公式为I＝I0e－ρµt，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，µ是被测物对射线的吸收系数。工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度。若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8(单位：cm)，钢的密度为7.6(单位：g/cm3)，则这种射线的吸收系数为

(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2＝0.6931，结果精确到0.001)

A.0.110     B.0.112     C.0.114     D.0.116

10.已知过定点A(O，b)(b>0)的直线l与圆O：x2＋y2＝1相切时，与y轴夹角为45°。则直线l的方程为

A.x－y＋＝0                      B.x＋y－1＝0  

C.x＋y－＝0或x－y＋＝0      D.x＋y－1＝0或x－y＋1＝0

11.已知双曲线C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，设双曲线C的左焦点为F，右顶点为B，点P为C上一点，且PF⊥x轴，若|PF|＝2|BF|，则双曲线C的离心率为

A.3     B.2     C.     D.

12.已知函数f(x)＝＋x2－x，若a＝f(20.3)，b＝f(2)，c＝f(log25)，则a，b，c的大小关系为

A.c<b<a     B.a<b<c     C.c>a>b     D.b>c>a

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设x，y满足约束条件，则z＝2x＋y的最小值是          。

14.若(x＋2)5＝x5＋ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e，则a＋b＋c＋d＋e的值为          。

15.已知球在底面半径为1、高为2的圆锥内，则该圆锥内半径最大的球的体积为      。

16.已知a>，函数f(x)＝sinx＋2x－，若f(1－3a)＋f(a2－2a＋3)≤0，则实数a的取值范围是          。

三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

设数列{an}满足a1＝1。an＋1＝2an－(2n－3)。

(I)计算a2，a3。猜想{an}的通项公式并利用数学归纳法加以证明；

(II)记bn＝2n·an，求数列{bn}的前n项和Sn。

18.(本小题满分12分)

某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，将调查得到的学生日均课余读书时间分成[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]六组，绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人。

(I)求p和n的值；

(II)根据已知条件和下面表中两个数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关?

(III)将本次调查所得到有关事件发生的频率视为其发生的概率，现从该地区大量学生中。随机抽取20名学生参加读书与文学素养的研讨会，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X，求X的数学期望E(X)。

附：，其中n＝a＋b＋c＋d。

19.(本小题满分12分)

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点E、F在侧棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，C1F＝2FC，点D、G在侧棱AB、AC上，且BD＝2DA，CG＝2GA。

(I)证明：点G在平面EFD内；

(II)若∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，AA1＝2，求二面角A1－AB1－C1的余弦值。

20.(本小题满分12分)

已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆的离心率为，若M是椭圆上的一个点，且|MF1|＋|MF2|＝4。

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)已知点P(2，y0)是椭圆C上位于第一象限内一点，直线l平行于OP(O为原点)交椭圆C于A、B两点，点D是线段AB上(异于端点)的一点，延长PD至点Q，使得，求四边形PAQB面积的最大值。

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝a(x－2)ex＋(x－1)2，(a≠0，a∈R)。

(I)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；

(II)若a>0，证明：函数y＝f(x)有两个不同的零点。

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程：

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：(α为参数)，曲线C1与坐标轴交于(异于坐标原点O)两点M，N。

(I)求线段MN的长度；

(II)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M，N关于直线l对称，求直线l的极坐标方程。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲：

已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3。

(I)当a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；

(II)设a>－1，且当x∈[－，)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围。