高考数学一轮复习作业本2.2 导数与函数的单调性（含答案）

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2020高考数学(理数)复习作业本2.2 导数与函数的单调性一         、选择题1.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　)A．(-∞，-2]         B．(-∞，-1]     C．[2，＋∞)        D．[1，＋∞) 2.已知函数，则(　　)A.f(e-1)=f(2-1)   B.f(e-1)<=f(2-1)   C.f(e-1)>f(2-1)   D.f(e-1),f(2-1大小关系无法确定 3.函数f(x)=(x﹣3)ex的单调递增区间是(  )A.(0，3)          B.(1，4)          C.(2，+∞)           D.(﹣∞，2)4.对于R上可导的任意函数f(x),若满足,则必有(　　)A.f(0)+f(2)>2f(1)                  B.f(0)+f(2)≤2f(1)C.f(0)+f(2)<2f(1)                   D.f(0)+f(2)≥2f(1)5.函数y=x2-ln x的单调递减区间为(　   　)A.(0,1)                            B.(0,+∞)       C.(1,+∞)                  D.(0,2) 6.已知f(x)是可导的函数，且f′(x)＜f(x)对于x∈R恒成立，则(　　)A．f(1)＜ef(0)，f(2 020)＞e2 020f(0)B．f(1)＞ef(0)，f(2 020)＞e2 020f(0)C．f(1)＞ef(0)，f(2 020)＜e2 020f(0)D．f(1)＜ef(0)，f(2 020)＜e2 020f(0)  7.若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的是(　　) A．f(x)=2-x        B．f(x)=x2              C．f(x)=3-x         D．f(x)=cos x 8.若函数f(x)=aex﹣x﹣2a有两个零点，则实数a的取值范围(     )                                          A.(﹣∞,e-1)        B.(0，e-1)           C.(﹣∞，0)           D.(0，+∞) 二         、填空题9.函数f(x)=x3﹣3x2+4的减区间是     .                                           10.使y=sinx＋ax为R上的增函数的a的取值范围是________. 11.函数f(x)=(x2＋x＋1)ex(x∈R)的单调递减区间为________. 12.若函数f(x)=x2-ex-ax在R上存在单调递增区间,则实数a的取值范围是　　　　　　.   三         、解答题13.求函数f(x)=x3-3x＋1的单调区间：               14.已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)是否存在实数a，使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.(2)证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.                         15.已知函数，讨论函数f(x)的单调性.                     16.已知x＞0，证明不等式成立.                     答案解析1.答案为：D.解析：由于f′(x)=k-，则f(x)=kx-ln x在区间(1，＋∞)上单调递增⇒f′(x)=k-≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k≥，而0<<1，所以k≥1，即k的取值范围为[1，＋∞)． 2.答案为：C；3.C.解析：函数f(x)=(x﹣3)ex，∴f′(x)=ex+(x﹣3)ex=(x﹣2)ex，令f′(x)=0，解得x=2；当x＞2时，f′(x)＞0，f(x)是单调增函数，∴f(x)的单调增区间是(2，+∞).4.A；当x<1时, f '(x)<0,此时函数f(x)单调递减,当x>1时, f '(x)>0,此时函数f(x)单调递增,∴当x=1时,函数f(x)取得极小值同时也取得最小值,所以f(0)>f(1), f(2)>f(1),则f(0)+f(2)>2f(1).5.A；函数y=x2-ln x的定义域为{x|x>0},y'=x-=,令<0,又x>0,所以x2-1<0,解得0<x<1.即函数y=x2-ln x的单调递减区间为(0,1).6.答案为：D.解析：令g(x)=，则g′(x)=′==＜0，所以函数g(x)=是单调减函数，所以g(1)＜g(0)，g(2 020)＜g(0)，即＜，＜，故f(1)＜ef(0)，f(2 020)＜e2 020f(0)． 7.答案为：A.解析：当f(x)=2-x时，ex·f(x)=ex·2-x=，令y=，则y′=′==(1-ln 2)．∵ex＞0，2x＞0，ln 2＜1，∴y′＞0.∴当f(x)=2-x时，ex·f(x)在f(x)的定义域上单调递增，故具有M性质，经验证B、C、D不具有M性质，故选A.  8.D.                                          9.答案为：[0，2](或(0，2)).解析：∵函数f(x)=x3﹣3x2+4，∴f′(x)=3x2﹣6x，令f′(x)≤0，得3x2﹣6x≤0，可得x∈[0，2]，∴函数f(x)的单调减区间是[0，2].10.答案为：[1，＋∞);解析：因为y′=cosx＋a≥0，所以a≥－cosx对x∈R恒成立.所以a≥1.11.答案为：(－2，－1)；解析：f′(x)=(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex=ex(x2＋3x＋2)=ex(x＋1)(x＋2)，令f′(x)<0，解得－2<x<－1，∴函数f(x)的单调减区间为(－2，－1).12.答案：(-∞,2ln 2-2]；解析：∵f(x)=x2-ex-ax,∴f '(x)=2x-ex-a,∵函数f(x)=x2-ex-ax在R上存在单调递增区间,∴f '(x)=2x-ex-a≥0,即a≤2x-ex有解,令g(x)=2x-ex,则g'(x)=2-ex,令g'(x)=0,解得x=ln 2,则当x<ln 2时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x>ln 2时,g'(x)<0,g(x)单调递减,∴当x=ln 2时,g(x)取得最大值,且g(x)max=g(ln 2)=2ln 2-2,∴a≤2ln 2-2.13.解:函数f(x)的定义域为R，f′(x)=3x2-3，令f′(x)＞0，则3x2-3＞0.即3(x＋1)(x-1)＞0，解得x＞1或x＜-1.∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞，-1)和(1，＋∞)，令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x-1)＜0，解得-1＜x＜1.∴函数f(x)的单调递减区间为(-1,1). 14.解：(1)已知函数f(x)=x3-ax-1，∴f′(x)=3x2-a，由题意知3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，∴a≥3x2在x∈(-1,1)上恒成立.但当x∈(-1,1)时，0＜3x2＜3，∴a≥3，即当a≥3时，f(x)在(-1,1)上单调递减.(2)证明：取x=-1，得f(-1)=a-2＜a，即存在点(-1，a-2)在f(x)=x3-ax-1的图象上，且在直线y=a的下方.即f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方. 15.解：由题设知a≠0.f′(x)=3ax2-6x=3ax(x-2a-1)，令f′(x)=0，得x1=0，x2=2a-1.当a>0时，若x∈(-∞，0)，则f′(x)>0.∴f(x)在区间(-∞，0)上为增函数.若x∈(0,2a-1)，则f′(x)<0，∴f(x)在区间(0,2a-1)上为减函数.若x∈(2a-1,+∞)，则f′(x)>0，∴f(x)在区间(2a-1,+∞)上是增函数.当a<0时，若x∈(-∞,2a-1)，则f′(x)<0.∴f(x)在(-∞,2a-1)上是减函数.若x∈(2a-1,0)，则f′(x)>0.∴f(x)在区间(2a-1,0)上为增函数.若x∈(0，＋∞)，则f′(x)<0.∴f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数.16.