高考数学一轮复习作业本4.1 平面向量的线性运算与基本定理(含答案)
展开2020高考数学(理数)复习作业本4.1
平面向量的线性运算与基本定理
1.已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1),则下列结论正确的是( )
A.a∙b=2 B.a//b C.|a|=|b| D.b⊥(a+b)
A、 B、 C、 D、3
A.a+b B.-a-b C.a-b D.b-a
4.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么( )
A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向
5.设a、b为非零向量,且满足|a-b|=|a|+|b|,则a与b的关系是( )
A.共线 B.垂直 C.同向 D.反向
A.10 B.-10 C.10 D.10
7.设M是△ABC所在平面上的一点,且++=0,,D是AC的中点,则的值为( )
A. B. C.1 D.2
8.在△ABC中,N是AC边上一点,且=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为( )
A. B. C.1 D.3
9.如图,D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,则________________.
①++=0;②-+=0;③+-=0;④--=0.
③--;④-+-.结果为零向量的个数是________.
11.向量a、b满足|a|=6,|b|=10,则|a+b|的最大值是________,最小值是________.
12.如图,在等腰直角三角形ABC中,点O是斜边BC的中点,过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若=m,=n(m>0,n>0),则mn的最大值为________.
13.如图所示,在▱ABCD的对角线BD的延长线上取点E、F,使BE=DF.
求证:四边形AECF是平行四边形.
14.已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,用a,b,c表示.
15.已知向量=(3,﹣4),=(6,﹣3),=(5﹣x,3).
(1)若点A,B,C三点共线,求x的值;
(2)若△ABC为直角三角形,且∠B为直角,求x的值.
16.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,如图所示.点C在以O为圆心的圆弧上运动.若=x+y,其中x,y∈R,求x+y的最大值.
解析:设a、b的起点为O,终点分别为A、B,则a-b=,由|a-b|=|a|+|b|,故O、A、B共线,且O在AB之间.故与反向,所以选D.
解析:∵D是AC的中点,∴+=0,.又∵++=0,,
∴=-(+)=-×2,即=3,故=,∴=.故选A.
解析:如图,因为=,P是上一点,
所以=,=m+=m+.
因为B,P,N三点共线,所以m+=1,所以m=.
解析:(1)当a、b不共线时,如图(1),作=a,=b,则=a+b.由向量加法的几何意义知|a+b|<|a|+|b|=16.当a、b共线同向时,如图(2),作=a,=b,=a+b,由向量加法的几何意义可知||=|a+b|=|a|+|b|=16.
(2)当a、b共线反向时:如图(3)所示,作=a,=b,则=a+b,由向量加法的几何意义可知|a+b|=|b|-|a|=10-6=4,∴|a+b|的最大值为16,最小值为4.
(3)
本题也可以直接利用||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.
解析:以A为坐标原点,线段AC、AB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设△ABC的腰长为2,则B(0,2),C(2,0),O(1,1).
∵=m,=n,∴M,N,∴直线MN的方程为+=1,
∵直线MN过点O(1,1),∴+=1,即m+n=2,
∴mn≤=1,当且仅当m=n=1时取等号,∴mn的最大值为1.
14.解:O=O+A+B+C=O+B+(A+C)=O+B+0
=O+(B+O)=a+(-b+c)=a-b+c.
16.解:解法一:如图,以O为坐标原点,OA所在的直线为x轴,的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,则可知A(1,0),B(-,),设C(cos α,sin α)(α∈[0,]),
则有x=cos α+sin α,y=sin α,所以x+y=cos α+sin α=2sin(α+),
所以当α=时,x+y取得最大值2.
解法二:如图,连接AB,记OC交AB于D点.
则==x+y,
∵D,A,B三点共线,∴x+y==,∴(x+y)max==2.
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