高考数学一轮复习作业本4.2 平面向量的数量积及应用（含答案）

2020高考数学(理数)复习作业本4.2

平面向量的数量积及应用

一         、选择题

1.已知向量反向，下列等式中成立的是（ 　  ）

              A.  B.  C.   D.

2.|m|=2，m·n=8，<m，n>=60°，则|n|=(　　)

A.5          B.6          C.7          D.8

3.已知向量a=(1,m),b=(0,-2),且(a+b)⊥b,则m等于(　　)

A.-2                                   B.-1                                      C.1                                        D.2

4.设a、b、c满足a＋b＋c=0，且a⊥b，|a|=1，|b|=2，则|c|2等于(　　)

A.1          B.2             C.4          D.5

5.已知两个非零向量a、b满足|a＋b|=|a－b|，则下面结论正确的是(　　)

A.a∥b          B.a⊥b         C.|a|=|b|       D.a＋b=a－b

6.有下列四个式子：①0·a=0；②0·a=0；③0－=；④|a·b|=|a||b|，

其中正确的个数为(　　)

A.4个       B.3个         C.2个        D.1个

7.在△ABC中，·<0，则△ABC的形状是(　　)

A.锐角三角形     B.直角三角形      C.钝角三角形      D.不能确定

8.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)=0，则|c|的最大值是(　　)

A．1            B．2             C.            D．

二         、填空题

9.已知a⊥b，|a|=2，|b|=3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________.

10.已知a·b=16，若a与b方向上的射影数量为4，则|b|=________.

11.已知为单位向量，=4，的夹角为，则方向上的投影为      .

12.在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则·的取值范围是________．

三         、解答题

13.已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°，c=2a－3b，d=ma＋b，若c⊥d，求实数m的值.

14.已知a、b满足|a|=，|b|=2，|a＋b|=，求a＋b与a－b的夹角θ的余弦值.

15.已知向量a=(ksin,cos2),b=(cos,-k),实数k为大于零的常数,函数f(x)=a·b,x∈R,且函数f(x)的最大值为.

(1)求k的值;

(2)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若<A<π, f(A)=0,且a=2,求·的最小值.

16.已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量m=(sin A，sin B)，n=(cos B，cos A)，且m·n=sin 2C.

(1)求角C的大小；

(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)=18，求边c的长．

答案解析

1.C　　

2.答案为：D；解析：∵=cos<m，n>，∴=，∴|n|=8.

3.答案为：D；

解析：∵a=(1,m),b=(0,-2),∴a+b=(1,m-2),又(a+b)⊥b,∴0×1-2(m-2)=0,即m=2.

4.答案为：D；

解析：∵a＋b＋c=0，∴c=－a－b，∴c2=|c|2=(a＋b)2=|a|2＋2a·b＋|b|2=1＋4=5，故选D.

5.答案为：B；

解析：由题意知|a＋b|=|a－b|，∴|a＋b|2=|a－b|2，即a2＋2a·b＋b2=a2－2a·b－b2，

∴a·b=0，∴a⊥b.注意：|a＋b|2=(a＋b)2=a2＋2a·b＋b2.

6.答案为：D；

解析：0·a=0，故①错；0·a=0，故②错；0－=，故③正确；

|a·b|=|a||b|cos〈a，b〉，故④错，∴选D.

7.答案为：C；

解析：∵与的夹角与角B相等，又·<0，

∴cosB<0，又∵0≤B≤π，∴B为钝角，故选C.

8.答案为：C.

设a=(1,0)，b=(0,1)，c=(x，y)，则(a－c)·(b－c)=0，即(1－x，－y)·(－x,1－y)=0，

整理得2＋2=，这是一个圆心坐标为，半径为的圆，

所求的值等价于这个圆上的点到坐标原点的最大距离．

根据图形可知，这个最大距离是，即所求的最大值为.

9.答案为：1.5；

解析：∵(3a＋2b)⊥(λa－b)∴(λa－b)·(3a＋2b)=0，∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2=0.

又∵|a|=2，|b|=3，a⊥b，∴12λ＋(2λ－3)×2×3×cos 90°－18=0，

∴12λ－18=0，∴λ=1.5.

10.答案为：4；

解析：设a与b的夹角为θ，∵a·b=16，∴|a||b|cosθ=16.

又∵a在b方向上的射影的数量为4，∴|a|cosθ=4，∴|b|=4.

11.答案为：-2；   

12.答案为：[1,4]；

解析：由题意设BM=k，CN=2k(0≤k≤1)，由=＋，=＋知，

·=(＋)·(＋)=·＋·＋·＋·

=·＋·=4－3k，又0≤k≤1，所以1≤4－3k≤4，

故·的取值范围是[1,4]．

13.解：a·b=|a||b|cos60°=1.因为c⊥d，所以c·d=0，

即(2a－3b)·(ma＋b)=2ma2＋(2－3m)a·b－3b2=2m－12＋2－3m=0，解得m=－10.

14.解：

15.解:(1)由题意知, f(x)=a·b=(ksin,cos2)∙(cos,-k)=ksin·cos-kcos2

=ksin-k·=-=sin-cos)-

=sin(-)-.

因为x∈R,所以f(x)的最大值为=,则k=1.

(2)由(1)知, f(x)=sin(-)-,所以f(A)=sin(-)-=0,

化简得sin(-)=,因为<A<π,

所以<(-)<,则(-)=,解得A=.

因为cos A=-==,所以b2+c2+bc=40,

则b2+c2+bc=40≥2bc+bc(当且仅当b=c时取等号),所以bc≤=20(2-).

则·=||||cos=-bc≥20(1-),

所以·的最小值为20(1-).

16.解：

(1)由已知得m·n=sin Acos B＋cos Asin B=sin(A＋B)，

因为A＋B＋C=π，所以sin(A＋B)=sin(π－C)=sin C，所以m·n=sin C.

又m·n=sin 2C，所以sin 2C=sin C，所以cos C=.

又0＜C＜π，所以C=.

(2)由已知得2sin C=sin A＋sin B，由正弦定理得2c=a＋b.

因为·(－)=·=18，所以abcos C=18，所以ab=36.

由余弦定理得c2=a2＋b2－2abcos C=(a＋b)2－3ab所以c2=4c2－3×36，

所以c2=36，所以c=6.