高考数学一轮复习作业本5.1 数列的概念与简单表示法（含答案）

2020高考数学(理数)复习作业本5.1

数列的概念与简单表示法

一         、选择题

1.数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为(　　)

A.an=2n－1　             B.an=(－1)n(1－2n)

C.an=(－1)n(2n－1)       D.an=(－1)n(2n＋1)

2.数列2,0,4,0,6,0，…的一个通项公式是(　　)

A.an=[1＋(－1)n]         B.an=[1＋(－1)n＋1]

C.an=[1＋(－1)n＋1]        D.an=[1＋(－1)n]

3.已知数列{an}中，a1=1，=2，则此数列是(　　)

A.递增数列　         B.递减数列       C.摆动数列　     D.常数列

4.数列{an}的前n项和Sn=2n2－3n(n∈N*)，若p－q=5，则ap－aq=(　　)

A．10           B．15         C．－5         D．20

5.下面四个结论：

①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3……，n})上的函数；

②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；

③数列的项数是无限的；

④数列通项的表示式是唯一的.

其中正确的是(　　)

A.①②　       B.①②③         C.②③　       D.①②③④

6.在数列{an}中,已知a1=2,a2=7,an+2等于anan+1(n∈N*)的个位数,则a2 015=(　　)

A.8                             B.6                          C.4                           D.2

7.数列{an}中,an=,则该数列前100项中的最大项与最小项分别是(　　)

A.a1,a50                                  B.a1,a44                  C.a45,a44                                 D.a45,a50

8.定义：在数列{an}中，若满足－=d(n∈N*，d为常数)，称{an}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{an}中，a1=a2=1，a3=3，则等于(　　)

A．4×2 0212－1      B．4×2 0202－1     C．4×2 0192－1     D．4×2 0192

二         、填空题

9.根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点.

10.已知a1=2,an+1-an=2n+1(n∈N*),则an=　　　　. 

11.在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10=80，则a7－a8的值为________.

12.已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列，

则|m－n|=________.

三         、解答题

13.已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．

14.已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4=2S2＋4，数列{bn}中，bn=.

(1)求公差d的值；

(2)若a1=－，求数列{bn}中的最大项和最小项的值；

(3)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围．

15.已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和为Sn，数列{a}的前n项和为Tn，且3Tn=S＋2Sn，n∈N*.

(1)求a1的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

16.已知数列{an}满足a1=，且当n>1，n∈N*时，有，设bn=，n∈N*.

(1)求证：数列{bn}为等差数列．

(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．

答案解析

1.答案为：B;

解析：当n=1时，a1=1排除C、D；当n=2时，a2=－3排除A，故选B.

2.答案为：B;

3.答案为：B;

解析：由=2可知该数列的前一项是后一项的2倍，而a1=1>0，所以数列{an}的项依次减小为其前一项的一半，故为递减数列.

4.答案为：D.

5.答案为：A；

解析：数列的项数可以是有限的也可以是无限的.数列通项的表示式可以不唯一.

例如数列1,0，－1,0,1,0，－1,0……的通项可以是an=sin，

也可以是an=cos等等.

6.答案为：D；解析：由题意得a3=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8,所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现,周期为6,故a2 015=a335×6+5=a5=2.

7.答案为：C；

8.答案为：C.

由题意知是首项为1，公差为2的等差数列，则=2n－1，

所以an=××…××a1=(2n－3)×(2n－5)×…×1.

所以=

=4 039×4 037=(4 038＋1)(4 038－1)

=4 0382－1=4×2 0192－1.

9.答案为：n2－n＋1

解析：序号n决定了每图的分支数，而每分支有(n－1)个点，中心再加一点，

故有n·(n－1)＋1=n2－n＋1个点.

10.答案为：n2+1；

11.8；

解析：由a2＋a4＋a6＋a8＋a10=5a6=80，

∴a6=16，∴a7－a8=(2a7－a8)=(a6＋a8－a8)=a6=8.

12.0.5；

解析：由题意设这4个根为，＋d，＋2d，＋3d.

则＋(+3d)=2，∴d=，∴这4个根依次为，，，，

∴n=×=，m=×=或n=，m=，∴|m－n|=.

13.解:设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得

a-3d+a-d+a+d+a+3d=26,(a-d)(a+d)=40.

∴4a=36,a2-d2=40,解得a=6.5,d=1.5或a=6.5,d=-1.5.

所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.

14.解：

(1)∵S4=2S2＋4，∴4a1＋d=2(2a1＋d)＋4，解得d=1.

(2)∵a1=－，∴数列{an}的通项公式为an=－＋(n－1)=n－，

∴bn=1＋=1＋.

∵函数f(x)=1＋在和上分别是单调减函数，

∴b3＜b2＜b1＜1，当n≥4时，1＜bn≤b4，

∴数列{bn}中的最大项是b4=3，最小项是b3=－1.

(3)由bn=1＋，得bn=1＋.

又函数f(x)=1＋在(－∞，1－a1)和(1－a1，＋∞)上分别是单调减函数，

且x＜1－a1时，y＜1；当x＞1－a1时，y＞1.

∵对任意的n∈N*，都有bn≤b8，

∴7＜1－a1＜8，∴－7＜a1＜－6，

∴a1的取值范围是(－7，－6)．

15.解：(1)由3T1=S＋2S1，得3a=a＋2a1，即a－a1=0.

因为a1＞0，所以a1=1.

(2)因为3Tn=S＋2Sn，①

所以3Tn＋1=S＋2Sn＋1，②

②－①，得3a=S－S＋2an＋1.

因为an＋1＞0，所以3an＋1=Sn＋1＋Sn＋2，③

所以3an＋2=Sn＋2＋Sn＋1＋2，④

④－③，得3an＋2－3an＋1=an＋2＋an＋1，即an＋2=2an＋1，

所以当n≥2时，=2.

又由3T2=S＋2S2，

得3(1＋a)=(1＋a2)2＋2(1＋a2)，即a－2a2=0.

因为a2＞0，所以a2=2，所以=2，

所以对n∈N*，都有=2成立，

所以数列{an}的通项公式为an=2n－1，n∈N*.

16. (1)证明:当n>1，n∈N*时，

-2=2+-=4.

⇔bn－bn－1=4，且b1==5.∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5.

(2)解:由(1)知bn=b1＋(n－1)d=5＋4(n－1)=4n＋1.∴an==，n∈N*.

∴a1=，a2=，∴a1a2=.令an==，∴n=11.

即a1a2=a11，∴a1a2是数列{an}中的项，是第11项．