高考数学一轮复习作业本7.4 空间向量及其应用（含答案）

2020高考数学(理数)复习作业本7.4

空间向量及其应用

一         、选择题

1.若向量=(1,1,x),=(1,2,1),=(1,1,1),满足条件(﹣)(2)=﹣2,则x的值为(　　)

A.1                                B.2                             C.3                           D.4

2.已知向量=(2，4，5)，=(3，x，y)分别是直线l1、l2方向向量，若l1∥l2，则(  )

A.x=6，y=15        B.x=3，y=7.5        C.x=3，y=15          D.x=6，y=7.5

3.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F满足=3，=3，则BE与DF所成角正弦值为(  )             

A.                          B.                         C.                            D.

4.若直线l的方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)

A．120°　        B．60°           C．30°           D．60°或30°

5.在四棱锥P­ABCD中，=(4，－2，3)，=(－4，1，0)，=(－6，2，－8)，则这个四棱锥的高h=(　　)

A．1             B．2             C．13            D．26

6.在空间直角坐标系O­xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(1，0，2)，(1，2，0)，(1，2，1)，(0，2，2)，若正视图以yOz平面为投射面，则该四面体侧视图的面积为(　　)

A.0.5            B．1            C．2           D．4

7.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC上的点，A1M=AN=，

则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)

A．相交             B．平行          C．垂直             D．不能确定

8.如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论正确的是(　　)

A．DB1⊥D1P                     B．平面AD1P⊥平面A1DB1

C．∠APD1的最大值为90°        D．AP＋PD1的最小值为

二         、填空题

9.=(2，﹣3，5)，=(﹣3，1，﹣4)，则||=        .

10.点P是二面角α­AB­β棱上的一点，分别在平面α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α­AB­β的大小为________．

11.如图，已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PD=，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是________．

12.已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1=AB=2，若棱AB上存在点P，使得D1P⊥PC，则AD的取值范围是________．

三         、解答题

13.如图,在矩形ABCD中,CD=2,BC=1,E,F是平面ABCD同一侧两点,EA∥FC,AE⊥AB,EA=2,DE=,FC=1.

(1)证明：平面CDF⊥平面ADE；

(2)求二面角E﹣BD﹣F的正弦值.

14.已知：在▱ABCD中，∠DAB=45°，AB=2，AD=2，平面AED⊥平面ABCD，△AED为等边三角形，EF∥AB，EF=，M为线段BC的中点．

(1)求证：直线MF∥平面BED.

(2)求平面BED与平面FBC所成角的正弦值．

15.如图(1)，在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，AE=BF=2，AB=2，现将梯形沿CB，DA折起，使EF∥AB且EF=2AB，得一简单组合体ABCDEF如图(2)所示，已知M，N分别为AF，BD的中点．

(1)求证：MN∥平面BCF.

(2)若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为，则求平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角大小．

16.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF.

(1)求证：EF⊥平面BCF；

(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．

答案解析

1.B.

2.D.                                         

3.A.

4.答案为：C.

解析：设直线l与平面α所成的角为β，直线l与平面α的法向量的夹角为γ.

则sin β=|cos γ|=|cos 120°|=.又因为0°≤β≤90°，所以β=30°.

5.答案为：B.

解析：设平面ABCD的一个法向量为n=(x，y，z)．则⇒

令y=4，则n=，则cos〈n，〉===－.

因为=|cos〈n，〉|，所以h=×2=2.

6.答案为：B.

解析：如图，在棱长为2的正方体中建立空间直角坐标系O­xyz，确定四面体的四个顶点，

设为A，B，C，D，则侧视图以△BCD所在的平面为投射面，对应的射影分别为A′，B′，C′，D′，

从而该四面体的侧视图，即△A′B′D′的面积为×1×2=1，故选B.

7.答案为：B.

解析：因为正方体的棱长为a，A1M=AN=，所以=，=，

所以=＋＋=＋＋=(＋)＋＋(＋)=＋，

又是平面B1BCC1的一个法向量，且·=·=0，

所以⊥，又MN⊄平面B1BCC1，所以MN∥平面B1BCC1.

8.答案为：B.

解析：建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则有D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，

C(0，1，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，

∵=(0，1，－1)，又P为线段A1B上的动点，

∴设P(1，λ，1－λ)(0＜λ＜1)，

∴=(－1，0，1)，=(1，λ，－λ)，设n=(x，y，z)是平面AD1P的法向量，

则有即可取n=，

又平面A1DB1的法向量可为=(－1，0，1)，∵·n=0，

∴平面AD1P⊥平面A1DB1.故选B.

9.答案为：；

10.答案为：90°；

解析：不妨设PM=a，PN=b，如图．

作ME⊥AB于点E，NF⊥AB于点F，因为∠EPM=∠FPN=45°，所以PE=a，PF=b，

所以·=(－)·(－)=·－·－·＋·

=abcos 60°－a×bcos 45°－abcos 45°＋a×b=－－＋=0，

∴⊥，∴二面角α­AB­β的大小为90°.

11.答案为：;

解析：以O为原点，OA所在直线为x轴，过O且平行于AB的直线为y轴，OP所在直线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz，则B(1，2，0)，P(0，0，2)，C(－1，2，0)，

M，O(0，0，0)，=(0，0，2)，=(－1，2，0)，=.

设平面PCO的法向量为m=(x，y，z)，则可取m=(2，1，0)，

设直线BM与平面PCO所成的角为θ，

则sin θ=|cos〈m，〉|===.

12.答案为：(0，1]；

解析：如图，以D1为原点建立空间直角坐标系D1­xyz.

设AD=a(a＞0)，AP=x(0≤x≤2)，则P(a，x，2)，C(0，2，2)，

所以=(a，x，2)，=(a，x－2，0)，

因为D1P⊥PC，所以·=0，即a2＋x(x－2)=0，a==.

当0≤x≤2时，a∈(0，1]．即AD的取值范围是(0，1]．

13.

14.解：

(1)证明：取BD的中点G，连接MG，EG，

因为M为线段BC的中点，G是BD的中点，所以MG綊CD，

又CD綊AB，EF綊AB，所以EF綊GM，所以四边形EFMG是平行四边形，

所以MF∥EG，

又MF⊄平面BED，EG⊂平面BED，所以MF∥平面BED.

(2)过点E作EO⊥AD，垂足为O，则O为AD的中点，因为平面AED⊥平面ABCD，

平面AED∩平面ABCD=AD，OE⊂平面EAD，所以OE⊥平面ABCD，

所以OE⊥AB，过O作ON⊥AB，垂足为N，则ON⊥OM，以O为原点，

以ON，OM，OE所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示

则E(0，0，)，M(0，2，0)，G(0，，0)，B(，，0)，F(0，，)，

所以=，=(0，－，)，

=，=(0，－，)．

设平面BDE的法向量为m=(x1，y1，z1)，平面BCF的法向量为n=(x2，y2，z2)，

则所以

令y1=y2=得m=(－，，)，n=(，，)，

所以cos〈m，n〉===，

设平面BED与平面FBC所成角为θ，则|cos θ|=，

所以sin θ= =，

所以平面BED与平面FBC所成角的正弦值为.

15.解：

(1)证明：连接AC，

因为四边形ABCD是矩形，N为BD中点，所以N为AC中点．

在△ACF中，M为AF中点，故MN∥CF.

因为CF⊂平面BCF，MN⊄平面BCF，

所以MN∥平面BCF.

(2)依题意知DA⊥AB，DA⊥AE且AB∩AE=A，所以AD⊥平面ABFE，

所以DE在平面ABFE上的射影是AE.

所以∠DEA就是DE与平面ABFE所成的角．

故在Rt△DAE中：tan∠DEA===，

所以AD=，DE=.

在平面ABFE内作AP⊥EF，P为垂足，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间

直角坐标系A­xyz，则A(0，0，0)，D(0，0，)，E(－，，0)，F(3，，0)，

C(2，0，)

所以=(0，0，)，=(－，，0)，=(－，，－)，=(2，0，0)．

设m=(x，y，z)，n=(r，s，t)分别是平面ADE与平面CDEF的法向量，

令即

取m=(1，1，0)，n=(0，1，1)，则cos〈m，n〉==，

所以平面CDEF与平面ADE所成锐二面角的大小为.

16.解：(1)证明：在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，

∵AB∥CD，∠BCD=，∴AB=2，∴AC2=AB2＋BC2－2AB·BC·cos=3.

∴AB2=AC2＋BC2，∴BC⊥AC.

∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥CF，又CF∩BC=C，

∴AC⊥平面BCF.

∵四边形ACFE是矩形，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BCF.

 (2)由(1)，以CA，CB，CF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系C­xyz，

设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ(0≤λ≤)，则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，

M(λ，0，1)，∴=(－，1，0)，=(λ，－1，1)，

设平面MAB的法向量为n1=(x，y，z)，则即

令x=1，则n1=(1，，－λ)为平面MAB的一个法向量．

易知n2=(1，0，0)是平面FCB的一个法向量，

设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ，

则cos θ===.

∵0≤λ≤，∴当λ=0时，cos θ有最小值，

∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，此时二面角的余弦值为.