高考数学一轮复习考点测试刷题本07 函数的奇偶性（含答案解析）

2020高考数学(文数)考点测试刷题本07

函数的奇偶性

一         、选择题

1.下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是(　　)

A．y=ex              B．y=tanx          C．y=x3－x       D．y=ln

2.已知奇函数f(x)在x>0时单调递增，且f(1)=0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为(　　)

A．{x|0<x<1或x>2}    B．{x|x<0或x>2}   C．{x|x<0或x>3}   D．{x|x<－1或x>1}

3.已知函数y=f(x)满足y=f(－x)和y=f(x＋2)是偶函数，且f(1)=，设F(x)=f(x)＋f(－x)，则F(3)=(　　)

A．          B．           C．π           D．

4.已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时，f(x)=x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)=－f(x)；当x>时，f=f．则f(6)=(　　)

A．－2           B．－1         C．0             D．2

5.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x)．若a=g(－log25．1)，b=g(20．8)，c=g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a＜b＜c        B．c＜b＜a       C．b＜a＜c        D．b＜c＜a

6.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)=4x2＋2，设g(x)=f(x)－2x2，若g(x)的最大值和最小值分别为M和m，则M＋m=(　　)

A．1           B．2            C．3              D．4

7.已知偶函数fx＋，当x∈－，时，f(x)=x＋sinx，设a=f(1)，b=f(2)，c=f(3)，则(　　)

A．a<b<c          B．b<c<a        C．c<b<a          D．c<a<b

8.已知f(x)=2x＋为奇函数，g(x)=bx－log2(4x＋1)为偶函数，则f(ab)=(　　)

A．           B．           C．－        D．－

二         、填空题

9.已知f(x)是奇函数，g(x)=.若g(2)=3，则g(－2)=________．

10.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)=－f(x)，且在[0，2]上为增函数，若方程f(x)=m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值为________．

11.若f(x)=(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a=________．

12.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)=

其中a∈R．若f=f，则f(5a)的值是________．

三         、解答题

13.设函数f(x)=(2k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．

(1)求k的值；

(2)若f(1)=－，不等式f(3x－t)＋f(－2x＋1)≥0对x∈[－1，1]恒成立，求实数t的最小值．

14.已知函数f(x)=是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

15.已知函数f(x)=loga(x＋1)，g(x)=loga(1－x)(其中a>0，且a≠1)．

(1)求函数f(x)＋g(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并予以证明；

(3)求使f(x)＋g(x)<0成立的x的集合．

16.已知函数f(x)=log为奇函数，a为常数．

(1)确定a的值；

(2)求证f(x)是(1，＋∞)上的增函数；

(3)若对于区间[3，4]上的每一个x值，不等式f(x)>x＋m恒成立，求实数m的取值范围．

答案解析

1.答案为：D；

解析：

函数y=ex不是奇函数，不满足题意；函数y=tanx是奇函数，但在整个定义域内不是增函数，

不满足题意；函数y=x3－x是奇函数，当x∈－，时，y′=3x2－1<0，为减函数，

不满足题意；函数y=ln 是奇函数，在定义域(－2，2)内，函数t==－1－为增函数，

函数y=ln t也为增函数，故函数y=ln 在定义域内为增函数，满足题意．故选D．

2.答案为：A；

解析：

∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)=0，∴函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，

且f(－1)=0，则－1<x<0或x>1时，f(x)>0；x<－1或0<x<1时，f(x)<0．

∴不等式f(x－1)>0即－1<x－1<0或x－1>1，解得0<x<1或x>2，故选A．

3.答案为：B；

解析：

由y=f(－x)和y=f(x＋2)是偶函数知f(－x)=f(x)，且f(x＋2)=f(－x＋2)，

则f(x＋2)=f(x－2)，则f(x)=f(x＋4)．

所以F(3)=f(3)＋f(－3)=2f(3)=2f(－1)=2f(1)=．故选B．

4.答案为：D；

解析：

当x>时，由f=f，可得当x>0时，f(x)=f(x＋1)，所以f(6)=f(1)，

而f(1)=－f(－1)，f(－1)=(－1)3－1=－2，所以f(6)=f(1)=2，故选D．

5.答案为：C；

解析：

依题意a=g(－log25．1)=(－log25．1)·f(－log25．1)=log25．1·f(log25．1)=g(log25．1)．

因为奇函数f(x)在R上是增函数，可设0＜x1＜x2，则0=f(0)<f(x1)＜f(x2)．

从而x1f(x1)＜x2f(x2)，即g(x1)＜g(x2)．所以g(x)在(0，＋∞)上亦为增函数．

又log25．1＞0，20．8＞0，3＞0，且log25．1＜log28=3，20．8＜21＜3，

而20．8＜21=log24＜log25．1，所以3＞log25．1＞20．8＞0，所以c＞a＞b．故选C．

6.答案为：B；

解析：

由g(x)=f(x)－2x2，得g(－x)=f(－x)－2x2，两式相加，可得g(－x)＋g(x)=2，

故g(x)的图象关于(0，1)对称，其最高点、最低点也关于(0，1)对称，所以M＋m=2，故选B．

7.答案为：D；

解析：

∵当x∈－，时，y=sinx单调递增，y=x也为增函数，∴函数f(x)=x＋sinx也为增函数．

∵函数fx＋为偶函数，∴f－x＋=fx＋，f(x)的图象关于x=对称，

∴f(2)=f(π－2)，f(3)=f(π－3)，∵0<π－3<1<π－2<，

∴f(π－3)<f(1)<f(π－2)，即c<a<b，故选D．

8.答案为：D；

解析：

由f(x)=2x＋为奇函数，得f(－x)＋f(x)=0，即2x＋＋2－x＋=0，可得a=－1；

由g(x)=bx－log2(4x＋1)为偶函数，得g(x)=g(－x)，

即bx－log2(4x＋1)=b(－x)－log2(4－x＋1)，可得b=1，

则ab=－1，f(ab)=f(－1)=2－1－=－，故选D．

一         、填空题

9.答案为：－1；

解析：由题意可得g(2)==3，则f(2)=1，又f(x)是奇函数，则f(－2)=－1，

所以g(－2)===－1.

10.答案为：－8；

解析：因为f(x－4)=－f(x)，所以f(x－8)=f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，

由f(x－4)=－f(x)可得f(x＋2)=－f(x＋6)=－f(x－2)，因为f(x)是奇函数，

所以f(x＋2)=－f(x－2)=f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x=2对称，

结合f(x)在[0，2]上为增函数，可得函数f(x)的大致图象如图，由图看出，

四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(－6)，

另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1＋x2＋x3＋x4=－8.

11.答案为：4；

解析：

因为f(x)=(x＋a)(x－4)为偶函数，所以f(x)=f(－x)对于任意的x都成立，

即(x＋a)(x－4)=(－x＋a)(－x－4)，所以x2＋(a－4)x－4a=x2＋(4－a)x－4a，

所以a－4=4－a，即a=4．

12.答案为：－；

解析：

∵f(x)是周期为2的函数，∴f=f=f，f=f=f．

又∵f=f，所以f=f，即－＋a=，解得a=，

则f(5a)=f(3)=f(4－1)=f(－1)=－1＋=－．

二         、解答题

13.解：

(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(0)=2k－1－1=0，解得k=1．

(2)由(1)知f(x)=ax－a－x，因为f(1)=－，

所以a－=－，解得a=或a=－(舍去)，故f(x)=x－x，

则易知函数y=f(x)是R上的减函数，

∵f(3x－t)＋f(－2x＋1)≥0，∴f(3x－t)≥f(2x－1)，

∴3x－t≤2x－1，∴t≥x＋1，

即t≥x＋1在[－1，1]上恒成立，则t≥2，即实数t的最小值是2．

14.解：

(1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)=－(－x)2＋2(－x)=－x2－2x．

又f(x)为奇函数，所以f(－x)=－f(x)，

于是x<0时，f(x)=x2＋2x=x2＋mx，所以m=2．

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，

结合f(x)的图象(如图所示)知

所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．

15.解：

(1)由题意得∴－1<x<1，

∴所求定义域为{x|－1<x<1}．

(2)函数f(x)－g(x)为奇函数，

令H(x)=f(x)－g(x)，

则H(x)=loga(x＋1)－loga(1－x)=loga，

∵H(－x)=loga=－loga=－H(x)，

∴函数H(x)=f(x)－g(x)为奇函数．

(3)∵f(x)＋g(x)=loga(x＋1)＋loga(1－x)

=loga(1－x2)<0=loga1，

∴当a>1时，0<1－x2<1，∴0<x<1或－1<x<0．

当0<a<1时，1－x2>1，不等式无解，

综上，当a>1时，使f(x)＋g(x)<0成立的x的集合为{x|0<x<1或－1<x<0}．

16.解：

(1)∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x)，

即log=－log，∴=，

整理得1－x2=1－a2x2，∴a2=1，解得a=±1，

当a=1时，=－1，不符合题意舍去，

∴a=－1．

(2)证明：由(1)可得f(x)=log，

设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，

则－==，

∵x2>x1>1，∴x1－x2<0，(x2－1)(x1－1)>0，

∴<0，∴<，

∴log>log，即f(x2)>f(x1)．

∴f(x)是(1，＋∞)上的增函数．

(3)依题意得m<log－x在[3，4]上恒成立，

设u(x)=log－x，x∈[3，4]，

由(2)知函数u(x)=log－x在[3，4]上单调递增，

∴当x=3时，u(x)有最小值，且u(x)min=u(3)=－，所以m<－．

故实数m的取值范围为－∞，－．