高考数学一轮复习考点测试刷题本14 变化率与导数（含答案解析）

2020高考数学(文数)考点测试刷题本14

变化率与导数

一         、选择题

1.已知一个物体的运动方程为s=1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在4 s末的瞬时速度是(　　)

A．7 m/s           B．6 m/s            C．5 m/s          D．8 m/s

2.设f(x)是可导函数，且满足=－1，则y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为(　　)

A．－1          B．1           C．2             D．－2

3.设函数f(x)=x＋＋b，若曲线y=f(x)在点(a，f(a))处的切线经过坐标原点，则ab=(　　)

A．1         B．0           C．－1             D．－2

4.已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)＋ln ，则f(1)=(　　)

A．－e           B．2            C．－2            D．e

5.已知函数y=f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)

A．f′(xA)＞f′(xB)    B．f′(xA)＜f′(xB)    C．f′(xA)=f′(xB)     D．不能确定

6.已知函数f(x)=xsinx＋cosx，则f′的值为(　　)

A.         B．0            C．－1                D．1

7.过函数f(x)=x3－x2图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为(　　)

A.       B．∪    C.      D．

8.已知f ′(x)是f(x)=sin x＋acos x的导函数，且f ′=，则实数a的值为(　　)

A.           B．             C．           D．1

二         、填空题

9.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．

10.已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln (－x)＋3x，则曲线y=f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．

11.已知a∈R，设函数f(x)=ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．

12.已知a为常数，若曲线y=ax2＋3x－ln x上存在与直线x＋y－1=0垂直的切线，则实数a的取值范围是________．

三         、解答题

13.已知函数f(x)=excosx－x.

(1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)求函数f(x)在区间0，上的最大值和最小值．

14.设函数f(x)=[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.

(1)若曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；

(2)若f(x)在x=1处取得极小值，求a的取值范围．

15.已知函数f(x)=x3-x.

(1)求曲线y=f(x)在点M(1,0)处的切线方程；

(2)如果过点(1，b)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．

16.设函数f(x)=ax-，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．

答案解析

1.答案为：A；

解析：==7＋Δt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于7.故选A.

2.答案为：A；

解析：=－1，即f′(1)=－1，

由导数的几何意义知，y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为－1.

3.答案为：D；

解析：

由题意可得，f(a)=a＋＋b，f′(x)=1－，所以f′(a)=1－，

故切线方程是y－a－－b=1－(x－a)，将(0，0)代入得－a－－b=1－(－a)，

故b=－，故ab=－2，故选D.

4.答案为：B；

解析：由已知得f′(x)=2f′(1)－，令x=1得f′(1)=2f′(1)－1，

解得f′(1)=1，则f(1)=2f′(1)=2.

5.答案为：B；

解析：f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A，B处的切线的斜率，故f′(xA)＜f′(xB)．

6.答案为：B；

解析：f′(x)=sinx＋xcosx－sinx=xcosx，∴f′=cos=0，故选B.

7.答案为：B；

解析：

设切线的倾斜角为α.由题意得k=f′(x)=x2－2x=(x－1)2－1≥－1，即k=tan α≥－1，

解得0≤α<或≤α<π，即切线倾斜角的范围为∪.故选B.

8.答案为：B；

解析：由题意可得f′(x)=cos x－asin x，则由f′=可得－a=，解得a=.

一         、填空题

9.答案为：-1

10.答案为：y=－2x－1；

解析：

令x>0，则－x<0，f(－x)=ln x－3x，又f(－x)=f(x)，∴f(x)=ln x－3x(x>0)，

则f′(x)=－3(x>0)，∴f′(1)=－2，

∴在点(1，－3)处的切线方程为y＋3=－2(x－1)，即y=－2x－1.

11.答案为：1；

解析：

由题意可知f′(x)=a－，所以f′(1)=a－1，因为f(1)=a，所以切点坐标为(1，a)，

所以切线l的方程为y－a=(a－1)(x－1)，即y=(a－1)x＋1.令x=0，得y=1，

即直线l在y轴上的截距为1.

12.答案为： ；

解析：

由题意知曲线的切线斜率为1，所以y′=2ax＋3－=1有正根，即2ax2＋2x－1=0有正根．

当a≥0时，显然满足题意；当a＜0时，需满足Δ≥0，解得－≤a＜0.综上，a≥－.

二         、解答题

13.解：

(1)因为f(x)=excosx－x，

所以f′(x)=ex(cosx－sinx)－1，f′(0)=0.

又因为f(0)=1，所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=1.

(2)设h(x)=ex(cosx－sinx)－1，

则h′(x)=ex(cosx－sinx－sinx－cosx)=－2exsinx.

当x∈0，时，h′(x)＜0，

所以h(x)在区间0，上单调递减．

所以对任意x∈0，有h(x)＜h(0)=0，

即f′(x)＜0.

所以函数f(x)在区间0，上单调递减．

因此f(x)在区间0，上的最大值为f(0)=1，最小值为f=－.

14.解：

(1)因为f(x)=[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，所以f′(x)=[ax2－(a＋1)x＋1]ex.

f′(2)=(2a－1)e2.

由题设知f′(2)=0，即(2a－1)e2=0，解得a=.

(2)由(1)得f′(x)=[ax2－(a＋1)x＋1]ex=(ax－1)(x－1)ex.

若a>1，则当x∈，1时，f′(x)<0；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.

所以f(x)在x=1处取得极小值．

若a≤1，则当x∈(0，1)时，ax－1≤x－1<0，

所以f′(x)>0.

所以1不是f(x)的极小值点．

综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．

15.解：

(1)f′(x)=3x2-1，∴f′(1)=2.

故切线方程为y-0=2(x-1)，即2x-y-2=0.

(2)设切点为(x0，x-x0)，则切线方程为y-(x-x0)=f′(x0)(x-x0)．

又切线过点(1，b)，所以(3x-1)(1-x0)＋x-x0=b，

即2x-3x＋b＋1=0.

由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解．

记g(x)=2x3-3x2＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，

而g′(x)=6x(x-1)，令g′(x)=0得x=0或x=1，

则结合图像可知g(0)g(1)<0即可，可得b∈(-1,0)．

16.解：

(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3，当x=2时，y=.

又f′(x)=a＋，所以解得

故f(x)=x-.

(2)是定值，理由如下：设P(x0，y0)为曲线y=f(x)上任一点，

由f′(x)=1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0)，

即y-=(x-x0)．

令x=0，得y=-，得切线与直线x=0的交点坐标为.

令y=x，得y=x=2x0，得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0)．

所以曲线y=f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x=0，

y=x所围成的三角形的面积S=·|2x0|=6.

故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，

且此定值为6.