高考数学一轮复习考点测试刷题本16 函数的极值、最值与导数（含答案解析）

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2020高考数学(文数)考点测试刷题本16 函数的极值、最值与导数 一         、选择题1.已知a为函数f(x)=x3－12x的极小值点，则a=(　　)A．－4          B．－2          C．4         D．2  2.已知函数f(x)=x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极大值、极小值分别为(　　)A．－，0　　      B．0，－         C.，0          D．0，  3.已知函数f(x)=x(x－m)2在x=1处取得极小值，则实数m=(　　)A．0　         B．1　　       C．2           D．3  4.设函数f(x)在定义域R上可导，其导函数为f′(x)，若函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D．函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)  5.已知函数f(x)=x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x=(　　)A.　         B．          C．          D．  6.已知函数f(x)=x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为(　　)A．[－3，＋∞)     B．(－3，＋∞)     C．(－∞，－3)       D．(－∞，－3]   7.已知y=f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)=ln x－ax，当x∈(－2，0)时，f(x)的最小值为1，则a=(　　)A.                                    B．              C.                                                  D．1  8.若函数f(x)=x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是(　　)A．[－5,0)　       B．(－5,0)　     C．[－3,0)         D．(－3,0)  二         、填空题9.已知函数f(x)=x3＋3ax2＋bx＋a2在x=－1时有极值0，则a－b=________. 10.f(x)=x(x－c)2在x=2处有极大值，则常数c的值为________． 11.已知函数f(x)=ax3＋c，且f′(1)=6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c=________. 12.已知函数f(x)的定义域是[－1，5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，下列关于函数f(x)的命题：①函数f(x)的值域为[1，2]；②函数f(x)在[0，2]上是减函数；③若x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，则t的最大值为4；④当1<a<2时，函数y=f(x)－a最多有4个零点．其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都填上) 三         、解答题13.已知函数f(x)=ex(ax＋b)-x2-4x，曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．            14.已知常数a≠0，f(x)=aln x＋2x.(1)当a=－4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．                  15.已知函数f(x)=(a＞0)的导函数y=f′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间．(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．                             16.已知函数f(x)=2ln x＋x2－2ax(a＞0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，且f(x1)－f(x2)≥－2ln 2恒成立，求a的取值范围．               
答案解析1.答案为：D； 2.答案为：C；解析：由题意知， f ′(x)=3x2－2px－q，由f ′(1)=0, f(1)=0得解得p=2，q=－1，∴f(x)=x3－2x2＋x.由f ′(x)=3x2－4x＋1=0，得x=或x=1，易知当x=时， f(x)取极大值，当x=1时， f(x)取极小值0. 3.答案为：B；解析：f ′(x)=(x－m)2＋2x(x－m)=(x－m)·(3x－m)．由f ′(1)=0可得m=1或m=3.当m=3时， f ′(x)=3(x－1)(x－3)，当1＜x＜3时， f ′(x)＜0；当x＜1或x＞3时， f ′(x)＞0.此时在x=1处取得极大值，不合题意．所以m=1，此时f ′(x)=(x－1)(3x－1)，当＜x＜1时， f ′(x)＜0；当x＜或x＞1时， f ′(x)＞0.此时在x=1处取得极小值．选B. 4.答案为：D；解析：由题图可知，当x＜-2时，f′(x)＞0；当x=-2时，f′(x)=0；当-2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x=2时，f′(x)=0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可得函数f(x)在x=-2处取得极大值，在x=2处取得极小值．故选D. 5.答案为：C；解析：由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，因此解得b=－3，c=2，所以f(x)=x3－3x2＋2x，所以f ′(x)=3x2－6x＋2.因为x1，x2是方程f ′(x)=3x2－6x＋2=0的两根，所以x1＋x2=2，x1x2=，所以x＋x=(x1＋x2)2－2x1x2=4－=. 6.答案为：D；解析：由题意知f ′(x)=3x2＋6x－9，令f ′(x)=0，解得x=1或x=－3，所以f ′(x), f(x)随x的变化情况如下表：又f(－3)=28, f(1)=－4, f(2)=3, f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，所以k≤－3.  7.答案为：D.解析：因为f(x)是奇函数，所以f(x)在(0，2)上的最大值为－1.当x∈(0，2)时，f′(x)=－a，令f′(x)=0，得x=，又a＞，所以0＜＜2.当x＜时，f′(x)＞0，f(x)在上单调递增；当x＞时，f′(x)＜0，f(x)在上单调递减，所以f(x)max=f=ln －a·=－1，解得a=1. 8.答案为：C解析：由题意知， f ′(x)=x2＋2x=x(x＋2)，令f ′(x)=0，解得x=0或－2，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，做出其图象如图所示．令x3＋x2－=－得，x=0或x=－3，则结合图象可知，解得 a∈[－3,0)．故选C. 9.答案为：－7；解析：由题意得f ′(x)=3x2＋6ax＋b，则解得或经检验当a=1，b=3时，函数f(x)单调递增无法取得极值，而a=2，b=9满足题意，故a－b=－7.  10.答案为：6；解析：f(x)=x3－2cx2＋c2x，f′(x)=3x2－4cx＋c2，f′(2)=0⇒c=2或c=6，若c=2，f′(x)=3x2－8x＋4，令f′(x)＞0⇒x＜或x＞2，f′(x)＜0⇒＜x＜2，故函数在及(2，＋∞)上单调递增，在上单调递减，所以x=2是极小值点，故c=2(不合题意，舍去)，c=6. 11.答案为：4；解析：∵f′(x)=3ax2，∴f′(1)=3a=6，∴a=2.当x∈[1,2]时，f′(x)=6x2>0，即f(x)在[1,2]上是增函数，∴f(x)max=f(2)=2×23＋c=20，∴c=4.12.答案为：①②④；解析：由导函数的图象可知，当－1<x<0及2<x<4时，f′(x)>0，函数单调递增，当0<x<2及4<x<5时，f′(x)<0，函数单调递减，当x=0及x=4时，函数取得极大值f(0)=2，f(4)=2，当x=2时，函数取得极小值f(2)=1.5.又f(－1)=f(5)=1，所以函数的最大值为2，最小值为1，值域为[1，2]，①②正确；因为当x=0及x=4时，函数取得极大值f(0)=2，f(4)=2，要使当x∈[－1，t]时，函数f(x)的最大值是2，则0≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；因为极小值f(2)=1.5，极大值f(0)=f(4)=2，所以当1<a<2时，y=f(x)－a最多有4个零点，所以④正确，所以正确命题的序号为①②④. 13. [解析]　(1)f'(x)=ex(ax＋a＋b)-2x-4.由已知得f(0)=4，f'(0)=4，故b=4，a＋b=8.从而a=4，b=4.(2)由(1)知，f(x)=4ex(x＋1)-x2-4x，f'(x)=4ex(x＋2)-2x-4=4(x＋2)(ex-)．令f'(x)=0得，x=-ln2或x=-2.从而当x∈(-∞，-2)∪(-ln2，＋∞)时，f'(x)>0；当x∈(-2，-ln2)时，f'(x)<0.故f(x)在(-∞，-2)，(-ln2，＋∞)上单调递增，在(-2，-ln2)上单调递减．当x=-2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(-2)=4(1-e-2)．14.解：(1)由已知得f(x)的定义域为x∈(0，＋∞)，f′(x)=＋2=.当a=－4时，f′(x)=.∴当0＜x＜2时，f′(x)＜0，即f(x)单调递减；当x＞2时，f′(x)＞0，即f(x)单调递增．∴f(x)只有极小值，且在x=2时，f(x)取得极小值f(2)=4－4ln 2，无极大值．(2)∵f′(x)=，∴当a＞0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，即f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；当a＜0时，由f′(x)＞0得，x＞－，∴f(x)在上单调递增；由f′(x)＜0得，0＜x＜－，∴f(x)在上单调递减．∴当a＜0时，f(x)的最小值为f=aln＋2×.根据题意得f=aln＋2×≥－a，即a[ln(－a)－ln 2]≥0.∵a＜0，∴ln(－a)－ln 2≤0，解得－2≤a＜0，∴实数a的取值范围是[－2，0)．  15.解：(1)f′(x)==，令g(x)=－ax2＋(2a－b)x＋b－c，因为ex＞0，所以y=f′(x)的零点就是g(x)=－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)符号相同．又因为a＞0，所以－3＜x＜0时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，当x＜－3或x＞0时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，所以f(x)的单调增区间是(－3，0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x=－3是f(x)的极小值点，所以有解得a=1，b=5，c=5，所以f(x)=.因为f(x)的单调增区间是(－3，0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，所以f(0)=5为函数f(x)的极大值，故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者．而f(－5)==5e5＞5=f(0)，所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5. 16.解：(1)由题意知，函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)=，令x2－ax＋1=0，则Δ=a2－4，①当0＜a≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a＞2时，Δ＞0，方程x2－ax＋1=0有两个不同的实根，分别设为x3，x4，不妨令x3＜x4，则x3=，x4=，此时0＜x3＜x4，因为当x∈(0，x3)时，f′(x)＞0，当x∈(x3，x4)时，f′(x)＜0，当x∈(x4，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．(2)由(1)得f(x)在(x1，x2)上单调递减，x1＋x2=a，x1·x2=1，则f(x1)－f(x2)=2ln＋(x1－x2)(x1＋x2－2a)=2ln＋=2ln＋－，令t=，则0＜t＜1，f(x1)－f(x2)=2ln t＋－t，令g(t)=2ln t＋－t(0＜t＜1)，则g′(t)=－＜0，故g(t)在(0，1)上单调递减且g=－2ln 2，故g(t)=f(x1)－f(x2)≥－2ln 2=g，即0＜t≤，而a2=(x1＋x2)2=＋＋2=t＋＋2，其中0＜t≤，令h(t)=t＋＋2，t∈，所以h′(t)=1－＜0在t∈上恒成立，故h(t)=t＋＋2在上单调递减，从而a2≥，故a的取值范围是.