高考数学一轮复习考点测试刷题本24 正弦定理和余弦定理（含答案解析）

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2020高考数学(文数)考点测试刷题本24 正弦定理和余弦定理 一         、选择题1.在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状是(　　)A．锐角三角形      B．直角三角形      C．钝角三角形      D．不能确定  2.已知△ABC中，cosA=，cosB=，BC=4，则△ABC的面积为(　　)A．6          B．12            C．5                 D．10  3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a∶b∶c=6∶4∶3，则=(　　)A．－          B．           C．－           D．－  4.在△ABC中，“sinA<sinB”是“A<B”的(　　)A．充分不必要条件           B．必要不充分条件C．充要条件                 D．既不充分也不必要条件  5.在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=(　　)A．4          B．          C．          D．2  6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=(　　)A．         B．         C．           D．  7.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcosC=c(1－3cosB)，则sinC∶sinA=(　　)A．2∶3         B．4∶3          C．3∶1         D．3∶2  8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若(a2＋c2－b2)tanB=ac，则角B的值为(　　)A．             B．            C．或          D．或    二         、填空题9.在△ABC中，已知角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C=60°，a=4b，c=，则△ABC的面积为________．  10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB=4asinBsinC，b2＋c2－a2=8，则△ABC的面积为________．  11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=________，c=________．  12.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=bcosA，a=4，若△ABC的面积为4，则b＋c=________．  三         、解答题13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)=c．(1)求C；(2)若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．                              14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为．(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．                     15.已知向量m=(cosA，－sinA)，n=(cosB，sinB)，m·n=cos2C，其中A，B，C为△ABC的内角．(1) 求角C的大小；(2) 若AB=6，且·=18，求AC，BC的长．                    16.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2=c(a－c)＋b2．(1)求角B的大小；(2)设m=2a－c，若b=，求m的取值范围．                     
答案解析1.答案为：C；解析：由正弦定理得a2＋b2<c2，所以cosC=<0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．  2.答案为：A；解析：因为cosA=，cosB=，所以sinA=，sinB=，则由正弦定理得=，所以AC==3，则由余弦定理得AC2=AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即32=AB2＋42－8×AB，解得AB=5，所以△ABC是以AC，BC为直角边的直角三角形，所以其面积为×3×4=6，故选A．  3.答案为：A；解析：不妨设a=6，b=4，c=3，由余弦定理可得cosA==－，则====－，故选A．  4.答案为：C；解析：根据正弦定理，“sinA<sinB”等价于“a<b”，根据“大边对大角”，得“a<b”等价于“A<B”．故选C．  5.答案为：A；解析：因为cosC=2cos2－1=2×2－1=－，所以AB2=BC2＋AC2－2BC×ACcosC=1＋25－2×1×5×－=32，∴AB=4．故选A．  6.答案为：C；解析：由题可知S△ABC=absinC=，所以a2＋b2－c2=2absinC．由余弦定理得a2＋b2－c2=2abcosC，所以sinC=cosC．∵C∈(0，π)，∴C=，故选C．  7.答案为：C；解析：由正弦定理得3sinBcosC=sinC－3sinCcosB，3sin(B＋C)=sinC，因为A＋B＋C=π，所以B＋C=π－A，所以3sinA=sinC，所以sinC∶sinA=3∶1，故选C．  8.答案为：C；解析：由余弦定理，知a2＋c2－b2=2accosB，所以由(a2＋c2－b2)tanB=ac可得2accosB·=ac，所以sinB=，所以B=或，故选C．   一         、填空题9.答案为：；解析：根据余弦定理，有a2＋b2－2abcosC=c2，即16b2＋b2－8b2×=13，所以b2=1，解得b=1，所以a=4，所以S△ABC=absinC=×4×1×=．  10.答案为：；解析：根据题意，结合正弦定理可得sinBsinC＋sinC·sinB=4sinAsinBsinC，即sinA=，结合余弦定理可得2bccosA=8，所以A为锐角，且cosA=，从而求得bc=，所以△ABC的面积为S=bcsinA=××=．  11.答案为：，3；解析：由=得sinB=sinA=，由a2=b2＋c2－2bccosA，得c2－2c－3=0，解得c=3．  12.答案为：8；解析：由asinB=bcosA得=，再由正弦定理=，所以=，即tanA=，又A为△ABC的内角，所以A=．由△ABC的面积为S=bcsinA=bc×=4，得bc=16．再由余弦定理a2=b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2=32，所以b＋c====8．   二         、解答题13.解：(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)=sinC，2cosCsin(A＋B)=sinC．故2sinCcosC=sinC．因sinC≠0，可得cosC=，因为C∈(0，π)，所以C=．(2)由已知，得absinC=．又C=，所以ab=6．由已知及余弦定理，得a2＋b2－2abcosC=7．故a2＋b2=13，从而(a＋b)2=25，a＋b=5．所以△ABC的周长为5＋．  14.解：(1)由题设得acsinB=，即csinB=．由正弦定理得sinCsinB=．故sinBsinC=．(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC=－，即cos(B＋C)=－，所以B＋C=，故A=．由题设得bcsinA=，即bc=8．由余弦定理得b2＋c2－bc=9，即(b＋c)2－3bc=9，得b＋c=．故△ABC的周长为3＋．  15.解：(1) 因为m·n=cosAcosB－sinAsinB=cos(A＋B)=－cosC，所以－cosC=cos2C，即2cos2C＋cosC－1=0故cosC=或cosC=－1(舍)．又0<C<π，所以C=.(2) 因为·=18，所以CA×CB=36.　①由余弦定理AB2=AC2＋BC2－2AC·BC·cos60°，及AB=6得，AC＋BC=12.　②由①②解得AC=6，BC=6.  16.解：(1)因为a2=c(a－c)＋b2，所以a2＋c2－b2=ac，所以cosB==．又因为0<B<π，所以B=．(2)由正弦定理得====2，所以a=2sinA，c=2sinC．所以m=2a－c=4sinA－2sinC=4sinA－2sin－A=4sinA－2×cosA＋sinA=3sinA－cosA=2×sinA－cosA=2sinA－．因为A，C都为锐角，则0<A<，且0<C=－A<，所以<A<，所以0<A－<，所以0<sinA－<，所以0<m<3．