高考数学一轮复习考点测试刷题本28 数列的概念与简单表示法（含答案解析）

2020高考数学(文数)考点测试刷题本28

数列的概念与简单表示法

一         、选择题

1.已知数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有an·am=an＋m，且a1=，那么a5=(　　)

A．          B．            C．          D．

2.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2an-4，n∈N*，则an=(　　)

A．2n＋1          B．2n           C．2n-1            D．2n-2

3.若数列{an}满足a1=2，an＋1=，则a2018=(　　)

A．-2           B．-1              C．2             D．0.5

4.设an=-2n2＋29n＋3，则数列{an}的最大项是(　　)

A．107          B．108           C．               D．109

5.在数列{an}中，a1=2，且(n＋1)an=nan＋1，则a3的值为(　　)

A．5             B．6            C．7             D．8

6.已知数列{an}的通项公式an=(n∈N*)，则是这个数列的(　　)

A．第8项         B．第9项       C．第10项         D．第12项

7.已知数列{an}，则“an＋1>an－1”是“数列{an}为递增数列”的(　　)

A．充分不必要条件             B．必要不充分条件

C．充要条件                   D．既不充分也不必要条件

8.已知数列{xn}满足xn＋2=|xn＋1-xn|(n∈N*)，若x1=1，x2=a(a≤1，a≠0)，且xn＋3=xn对于任意的正整数n均成立，则数列{xn}的前2020项和S2020=(　　)

A．673        B．674          C．1345           D．1347

二         、填空题

9.设数列{an}的前n项和为Sn．若S2=4，an＋1=2Sn＋1，n∈N*，则a1=________，S5=________．

10.数列{an}满足an＋1=，a8=2，则a1=________．

11.记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=2an＋1，则S6=________．

12.对于数列{an}，定义数列{bn}满足：bn=an＋1-an(n∈N*)，且bn＋1-bn=1(n∈N*)，a3=1，a4=-1，则a1=________．

三         、解答题

13.已知数列{an}满足a1=4，an=4－ (n≥2)，令bn=.

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

14.已知数列{an}的前n项和Sn=n2＋1，数列{bn}中，bn=，且其前n项和为Tn，设cn=T2n＋1－Tn.

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)判断数列{cn}的增减性．

15.已知数列{an}满足a1=3，an＋1=4an＋3.

(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{an}的通项公式；

(2)证明：=4.

16.已知数列{an}中，an=1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．

(1)若a=-7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；

(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．

答案解析

1.答案为：A；

解析：

∵数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有an·am=an＋m，且a1=，∴a2=a1a1=，a3=a1·a2=．

那么a5=a3·a2=．故选A．

2.答案为：A；

解析：

因为Sn=2an-4，所以n≥2时，有Sn-1=2an-1-4，两式相减可得Sn-Sn-1=2an-2an-1，

即an=2an-2an-1，整理得an=2an-1，即=2(n≥2)．因为S1=a1=2a1-4，

所以a1=4，所以an=2n＋1．故选A．

3.答案为：B；

4.答案为：B；

解析：因为an=-2n2＋29n＋3=-22＋，n∈N*，所以当n=7时，an取得最大值108．

5.答案为：B；

解析：由(n＋1)an=nan＋1得=，所以数列为常数列，则==2，即an=2n，

所以a3=2×3=6．故选B．

6.答案为：C；

7.答案为：B；

解析：由题意，若“数列{an}为递增数列”，则an＋1>an>an－1，但an＋1>an－1不能推出an＋1>an，

如an=1，an＋1=1，{an}为常数列，则不能推出“数列{an}为递增数列”，

所以“an＋1>an－1”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．故选B.

8.答案为：D；

解析：

∵x1=1，x2=a(a≤1，a≠0)，∴x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a，∴x1＋x2＋x3=1＋a＋(1-a)=2，

又xn＋3=xn对于任意的正整数n均成立，∴数列{xn}的周期为3，

∴数列{xn}的前2020项和S2020=S673×3＋1=673×2＋1=1347．故选D．

一         、填空题

9.答案为：1，121；

解析：

∵an＋1=2Sn＋1，∴a2=2S1＋1，即S2-a1=2a1＋1，又∵S2=4，∴4-a1=2a1＋1，解得a1=1．

又an＋1=Sn＋1-Sn，∴Sn＋1-Sn=2Sn＋1，即Sn＋1=3Sn＋1，由S2=4，可求出S3=13，S4=40，S5=121．

10.答案为：；

解析：

由an＋1=，得an=1-，∵a8=2，∴a7=1-=，a6=1-=-1，a5=1-=2，…，

∴{an}是以3为周期的数列，∴a1=a7=．

11.答案为：-63；

解析：

根据Sn=2an＋1，可得Sn＋1=2an＋1＋1，两式相减得an＋1=2an＋1-2an，即an＋1=2an，

当n=1时，S1=a1=2a1＋1，解得a1=-1，所以数列{an}是以-1为首项，

以2为公比的等比数列，所以S6==-63．

12.答案为：8；

解析：

由bn＋1-bn=1知数列{bn}是公差为1的等差数列，又b3=a4-a3=-2，

所以b1=-4，b2=-3，b1＋b2=(a2-a1)＋(a3-a2)=a3-a1=-7，解得a1=8．

二         、解答题

13. (1)证明:∵an=4－ (n≥2)，∴an＋1=4－ (n∈N*)．

∴bn＋1－bn==.∴bn＋1－bn=，n∈N*.∴{bn}是等差数列，首项为，公差为.

(2)解:b1==，d=.∴bn=b1＋(n－1)d=＋(n－1)=.

∴=，∴an=2＋.

14.解：

(1)a1=2，an=Sn－Sn－1=2n－1(n≥2)．∴bn=

(2)∵cn=bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1=＋＋…＋，

∴cn＋1－cn=＋－=－=＜0，

∴{cn}是递减数列．

15.解：

(1)a1=3，a2=15，a3=63，a4=255.因为a1=41－1，a2=42－1，a3=43－1，a4=44－1，…，

所以归纳得an=4n－1.

(2)证明：因为an＋1=4an＋3，所以===4.

16.解：

(1)∵an=1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，

a=-7，∴an=1＋(n∈N*)．

结合函数f(x)=1＋的单调性，

可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．

∴数列{an}中的最大项为a5=2，最小项为a4=0．

(2)an=1＋=1＋．

∵对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，结合函数f(x)=1＋的单调性，

∴5<<6，∴-10<a<-8．