高考数学一轮复习考点测试刷题本35 一元二次不等式及其解法（含答案解析）

2020高考数学(文数)考点测试刷题本35

一元二次不等式及其解法

一         、选择题

1.不等式|x2-x|<2的解集为(　　)

A．(-1,2)        B．(-1,1)        C．(-2,1)         D．(-2,2)

2.如果二次函数y=3x2＋2(a-1)x＋b在区间(-∞，1]上是减函数，那么a的取值范围是(　　)

A．(-∞，-2)      B．(2，＋∞)      C．(-∞，-2]      D．[2，＋∞)

3.设函数f(x)=若f(-4)=f(0)，f(-2)=0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为(　　)

A．(-∞，-3]∪[-1，＋∞)         B．[-3，-1]

C．[-3，-1]∪(0，＋∞)           D．[-3，＋∞)

4.设a∈R，关于x的不等式ax2＋(1-2a)x-2>0的解集有下列四个命题：

①原不等式的解集不可能为∅；

②若a=0，则原不等式的解集为(2，＋∞)；

③若a<-，则原不等式的解集为；

④若a>0，则原不等式的解集为(-∞，-)∪(2，＋∞)．

其中正确命题的个数为(　　)

A．1            B．2             C．3               D．4

5.已知不等式ax2-5x＋b>0的解集为{x|-3<x<-2}，则不等式bx2-5x＋a>0的解集为(　　)

A．x-＜x＜-     B．x＞-或x＜-    C．{x|-3＜x＜2}    D．{x|x＜-3或x＞2}

6.已知函数f(x)=ln (x2-4x-a)，若对任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)=m，则实数a的取值范围是(　　)

A．(-∞，-4)      B．(-4，＋∞)     C．(-∞，-4]      D．[-4，＋∞)

7.若不等式(m＋1)x2-(m-1)x＋3(m-1)<0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)    B．(-∞，-1)    C．(-∞，-)     D．(-∞，-)∪(1，＋∞)

8.在R上定义运算☆：a☆b=ab＋2a＋b，则满足x☆(x-2)<0的实数x的取值范围为(　　)

A．(0,2)       B．(-2,1)     C．(-∞，-2)∪(1，＋∞)  D．(-1,2)

二         、填空题

9.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-4x．那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．

10.已知函数f(x)=x2＋mx-1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，则实数m的取值范围是________．

11.已知三个不等式：①x2-4x＋3<0，②x2-6x＋8<0，③2x2-9x＋m<0．要使同时满足①②的所有x的值满足③，则m的取值范围为________．

12.对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则k的取值范围是　　　　　. 

三         、解答题

13.已知二次函数f(x)满足f(-2)=0，且2x≤f(x)≤对一切实数x都成立．

(1)求f(2)的值；

(2)求f(x)的解析式．

14.已知抛物线y=(m-1)x2＋(m-2)x-1(x∈R)．

(1)当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？

(2)若关于x的方程(m-1)x2＋(m-2)x-1=0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围．

15.已知f(x)=2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0，5)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若对于任意的x∈[-1，1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．

16.已知二次函数f(x)=mx2-2x-3，关于实数x的不等式f(x)≤0的解集为[-1，n]．

(1)当a>0时，解关于x的不等式：ax2＋n＋1>(m＋1)x＋2ax；

(2)是否存在实数a∈(0，1)，使得关于x的函数y=f(ax)-3ax＋1(x∈[1，2])的最小值为-5？若存在，求实数a的值；若不存在，说明理由．

答案解析

1.答案为：A；

2.答案为：C；

解析：∵二次函数y=3x2＋2(a-1)x＋b在区间(-∞，1]上是减函数，

∴-≥1，解得a≤-2．故选C．

3.答案为：C；

解析：

当x≤0时，f(x)=x2＋bx＋c且f(-4)=f(0)，故其对称轴为x=-=-2，∴b=4．

又f(-2)=4-8＋c=0，∴c=4．当x≤0时，令x2＋4x＋4≤1，有-3≤x≤-1；

当x>0时，f(x)=-2≤1显然成立，故不等式的解集为[-3，-1]∪(0，＋∞)．

4.答案为：C；

解析：

原不等式等价于(ax＋1)(x-2)>0．当a=0时，不等式化为x-2>0，得x>2．

当a≠0时，方程(ax＋1)·(x-2)=0的两根分别是2和-，若a<-，解不等式得-<x<2；

若a=-，不等式的解集为∅；若-<a<0，解不等式得2<x<-；若a>0，解不等式得x<-或x>2．

故①为假命题，②③④为真命题．

5.答案为：A；

解析：

由题意得解得a=-1，b=-6，

所以不等式bx2-5x＋a＞0为-6x2-5x-1＞0，即(3x＋1)(2x＋1)＜0，

所以解集为x-＜x＜-．故选A．

6.答案为：D；

解析：

依题意得函数f(x)的值域为R，令函数g(x)=x2-4x-a，则函数g(x)的值域取遍一切正实数，

因此对方程x2-4x-a=0，有Δ=16＋4a≥0，解得a≥-4．故选D．

7.答案为：C；

解析：

①当m=-1时，不等式化为2x-6<0，即x<3，显然不对任意实数x恒成立．

②当m≠-1时，由题意得所以m<-．故选C．

8.答案为：B；

解析：

根据定义得x☆(x-2)=x(x-2)＋2x＋(x-2)=x2＋x-2<0，解得-2<x<1，

所以实数x的取值范围为(-2,1)，故选B．

一         、填空题

9.答案为：(-7,3)；

解析：

当x≥0时，f(x)=x2-4x<5的解集为[0,5)，又f(x)为偶函数，

所以f(x)<5的解集为(-5,5)．所以f(x＋2)<5的解集为(-7,3)．

10.答案为：；

解析：

由题可得f(x)<0对于x∈[m，m＋1]恒成立，等价于解得-<m<0．

11.答案为：m≤9；

解析：

由①②得2<x<3，要使同时满足①②的所有x的值满足③，

即不等式2x2-9x＋m<0在x∈(2,3)上恒成立，即m<-2x2＋9x在x∈(2,3)上恒成立，

又-2x2＋9x在x∈(2,3)上大于9，所以m≤9．

12.答案为：(-∞,1)；

解析：函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的图像的对称轴方程为x=-=.

当<-1,即k>6时,f(x)的值恒大于零等价于f(-1)= 1+(k-4)×(-1)+4-2k>0,解得k<3,故k不存在;

当-1≤≤1,即2≤k≤6时,f(x)的值恒大于零等价于f=+×+4-2k>0,即k2<0,故k不存在;

当>1,即k<2时,f(x)的值恒大于零等价于f(1)=1+(k-4)+4-2k>0,即k<1.

综上可知,当k<1时,对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零.

二         、解答题

13.解：

(1)∵2x≤f(x)≤对一切实数x都成立，

∴4≤f(2)≤4，∴f(2)=4.

(2)设f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)．

∵f(-2)=0，f(2)=4，

∴⇒

∵ax2＋bx＋c≥2x，即ax2-x＋2-4a≥0，

∴Δ=1-4a(2-4a)≤0，即(4a-1)2≤0，得a=，

同理f(x)≤对一切实数x都成立，也解得a=，

∴当a=，满足2x≤f(x)≤，

∴a=，c=2-4a=1，故f(x)=＋x＋1.

14.解：

(1)根据题意，m≠1且Δ>0，

即Δ=(m-2)2-4(m-1)(-1)>0，得m2>0，所以m≠1且m≠0.

(2)在m≠0且m≠1的条件下，

因为＋==m-2，所以＋=2-=(m-2)2＋2(m-1)≤2.

得m2-2m≤0，所以0≤m≤2.

所以m的取值范围是{m|0<m<1或1<m≤2}．

15.解：

(1)∵f(x)=2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0，5)，

∴0和5是方程2x2＋bx＋c=0的两个根，由根与系数的关系知，-=5，=0，

∴b=-10，c=0，f(x)=2x2-10x.

(2)f(x)＋t≤2恒成立等价于2x2-10x＋t-2≤0恒成立，

∴2x2-10x＋t-2的最大值小于或等于0.

设g(x)=2x2-10x＋t-2，则由二次函数的图象可知

g(x)=2x2-10x＋t-2在区间[-1，1]上为减函数，

∴g(x)max=g(-1)=10＋t，∴10＋t≤0，即t≤-10.

∴t的取值范围为(-∞，-10]．

16.解：

(1)由不等式mx2-2x-3≤0的解集为[-1，n]知关于x的方程mx2-2x-3=0的两根为-1和n，

且m>0，由根与系数关系得解得

所以原不等式化为(x-2)(ax-2)>0.

①当0<a<1时，原不等式化为(x-2)x->0且2<，解得x<2或x>；

②当a=1时，原不等式化为(x-2)2>0，解得x∈R且x≠2；

③当a>1时，原不等式化为(x-2)x->0且2>，解得x<或x>2；

综上所述，当0<a≤1时，原不等式的解集为x；

当a>1时，原不等式的解集为x.

(2)假设存在满足条件的实数a，由(1)得m=1，f(x)=x2-2x-3，

y=f(ax)-3ax＋1=a2x-(3a＋2)ax-3，

令ax=t(a2≤t≤a)，则y=t2-(3a＋2)t-3(a2≤t≤a)，对称轴为t=，因为a∈(0，1)，

所以a2<a<1，1<<，所以函数y=t2-(3a＋2)t-3在[a2，a]单调递减，

所以当t=a时，y的最小值为ymin=-2a2-2a-3=-5，解得a=(负值舍去)．