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高考数学一轮复习考点测试刷题本48 双曲线（含答案解析）
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2020高考数学(文数)考点测试刷题本48
双曲线
1.已知双曲线-=1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A．± B．± C．± D．±
2.已知平面内两定点A(-5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|-|MB|=6，则点M的轨迹方程是( )
A．-=1 B．-=1(x≥4) C．-=1 D．-=1(x≥3)
A． B． C．1 D．
4.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
A．-=1 B．-=1 C．-=1 D．-=1
5.双曲线-=1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
6.过双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点F作圆x2＋y2=a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P，若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为( )
A． B． C．2 D．
7.已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点相同，若以点F为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为( )
A．-x2=1 B．-y2=1 C．-=1 D．-=1
8.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2=6，则双曲线的方程为( )
A．-=1 B．-=1 C．-=1 D．-=1
9.已知双曲线－=1(a＞0)和抛物线y2=8x有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．
10.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率e=2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________．
11.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是________．
12.已知双曲线
的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2＋y2=16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|-|MO|=________.
13.已知点F1，F2分别是双曲线C：x2－=1(b＞0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求·的值．
14.已知∀m∈R，直线l：y=x＋m与双曲线C：-=1(b>0)恒有公共点．
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P，Q两点，并且满足=，求双曲线C的方程．
15.已知直线l：y=x＋2与双曲线C：-=1(a>0，b>0)相交于B，D两点，且BD的中点为M(1，3)．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)设双曲线C的右顶点为A，右焦点为F，|BF|·|DF|=17，试判断△ABD是否为直角三角形，并说明理由．
16.P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：-=1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足=λ＋，求λ的值．
解析：由m2＋16=52，解得m=3(m=-3舍去)．所以a=5，b=3，从而±=±，故选D．
解析：由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A，C；
又c=5，a=3，∴b2=c2-a2=16．∵焦点在x轴上，∴轨迹方程为-=1(x≥3)．故选D．
解析：焦点F(，0)到渐近线x±y=0的距离d==1，故选C．
解析：∵-=1的焦距为10，∴c=5=．①
又双曲线渐近线方程为y=±x，且P(2，1)在渐近线上，∴=1，即a=2b．②
由①②解得a=2，b=，则C的方程为-=1．故选A．
解析：∵e==，∴==e2-1=3-1=2，∴=．
因为该双曲线的渐近线方程为y=±x，所以该双曲线的渐近线方程为y=±x，故选A．
解析：连接OM．由题意知OM⊥PF，且|FM|=|PM|，∴|OP|=|OF|，∴∠OFP=45°，
∴|OM|=|OF|·sin45°，即a=c·，∴e==．故选A．
解析：
设双曲线C的方程为-=1(a>0，b>0)，而抛物线y2=8x的焦点为(2，0)，即F(2，0)，
∴4=a2＋b2．又圆F：(x-2)2＋y2=2与双曲线C的渐近线y=±x相切，
由双曲线的对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为=，∴a2=b2=2，
故双曲线C的方程为-=1．故选D．
解析：
∵双曲线-=1(a>0，b>0)的离心率为2，∴e2=1＋=4，∴=3，即b2=3a2，∴c2=a2＋b2=4a2，
由题意可设A(2a，3a)，B(2a，-3a)，∵=3，∴渐近线方程为y=±x，
则点A与点B到直线x-y=0的距离分别为d1==a，
d2==a，又∵d1＋d2=6，∴a＋a=6，解得a=，
∴b2=9．∴双曲线的方程为-=1，故选C．
解析：易知抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，所以双曲线－=1的焦点为(2,0)，
则a2＋2=22，即a=，所以双曲线的离心率e===.
解析：由题意得解得则b=，故所求方程为x2-=1．
解析：
双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0，则F(c，0)到这条渐近线的距离为=c，
∴b=c，∴b2=c2，又b2=c2-a2，∴c2=4a2，∴e==2．
13.解：
(1)由题易知F2(，0)，可设M(，y1)．
因为点M在双曲线C上且在x轴上方，所以1＋b2－=1，得y1=b2，所以|F2M|=b2.
在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，|MF2|=b2，所以|MF1|=2b2.由双曲线的定义可知，
|MF1|－|MF2|=b2=2，故双曲线C的方程为x2－=1.
(2)易知两条渐近线方程分别为l1：x－y=0，l2：x＋y=0.
设双曲线C上的点P(x0，y0)，两条渐近线的夹角为θ，
不妨设P1在l1上，P2在l2上，
则点P到两条渐近线的距离分别为|PP1|=，|PP2|=.
因为P(x0，y0)在双曲线x2－=1上，所以2x－y=2，
又易知cos θ=，所以·=·cos θ=·=.
(1)联立消去y，整理得(b2-2)x2-4mx-2(m2＋b2)=0．
当b2=2，m=0时，易知直线l是双曲线C的一条渐近线，不满足题意，故b2≠2，易得e≠．
当b2≠2时，由题意知Δ=16m2＋8(b2-2)(m2＋b2)≥0，即b2≥2-m2，故b2>2，
则e2===>2，e>．
综上可知，e的取值范围为(，＋∞)．
(2)由题意知F(c，0)，直线l：y=x-c，与双曲线C的方程联立，得消去x，
化简得(b2-2)y2＋2cb2y＋b2c2-2b2=0，
当b2=2时，易知直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与双曲线C只有一个交点，
不满足题意，故b2≠2．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
即因为=，所以y1=y2， ③
由①③可得y1=，y2=，代入②整理得5c2b2=9(b2-2)(c2-2)，
又c2=b2＋2，所以b2=7．
所以双曲线C的方程为-=1．
(1)设B(x1，y1)，D(x2，y2)．把y=x＋2代入-=1，
并整理得(b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2=0，则x1＋x2=，x1x2=-．
由M(1，3)为BD的中点，得==1，即b2=3a2，故c==2a，
所以双曲线C的离心率e==2．
(2)由(1)得C的方程为-=1，A(a，0)，F(2a，0)，x1＋x2=2，x1x2=-<0，
不妨设x1≤-a，x2≥a，
则|BF|===a-2x1，
|DF|===2x2-a，
所以|BF|·|DF|=(a-2x1)(2x2-a)=2a(x1＋x2)-4x 1x2-a2=5a2＋4a＋8，
又|BF|·|DF|=17，所以5a2＋4a＋8=17，解得a=1或a=-(舍去)．
所以A(1，0)，x1＋x2=2，x1x2=-．
所以=(x1-1，y1)=(x1-1，x1＋2)，=(x2-1，x2＋2)，
·=(x1-1)(x2-1)＋(x1＋2)(x2＋2)=2x1x2＋(x1＋x2)＋5=0，
所以⊥，即△ABD为直角三角形．
(1)由点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线-=1上，有-=1．
由题意有·=，可得a2=5b2，c2=a2＋b2=6b2，e==．
(2)联立得4x2-10cx＋35b2=0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①
设=(x3，y3)，=λ＋，即
又C为双曲线上一点，即x-5y=5b2，有
(λx1＋x2)2-5(λy1＋y2)2=5b2．
化简得λ2(x-5y)＋(x-5y)＋2λ(x1x2-5y1y2)=5b2．②
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x-5y=5b2，x-5y=5b2．
由①式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2＋5c(x1＋x2)-5c2=10b2，
②式可化为λ2＋4λ=0，解得λ=0或λ=-4．
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