高考数学一轮复习考点测试刷题本52 古典概型（含答案解析）

2020高考数学(文数)考点测试刷题本52

古典概型

一         、选择题

1.有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)

A．          B．          C．             D．

2.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)

A．            B．           C．             D．

3.在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是(　　)

A．           B．             C．                    D．

4.某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：箱子中有编号为1，2，3，4，5的五个形状、大小完全相同的小球，从中任取两球，若摸出的两球号码的乘积为奇数则中奖；否则不中奖，则中奖的概率为(　　)

A．            B．          C．            D．

5.一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当y>x，y>z时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{1，2，3，4}中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为(　　)

A．            B．             C．            D．

6.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是(　　)

A．         B．            C．           D．

7.在《周易》中，长横“__”表示阳爻，两个短横“__”表示阴爻，有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23=8种组合方法，这便是《系辞传》所说：“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻三次有八种不同的情况即为八卦，在一次卜卦中，恰好出现两个阳爻一个阴爻的概率是(　　)

A．           B．          C．             D．

8.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为(　　)

A．             B．            C．             D．

二         、填空题

9.某路公交车在6：30,7：00,7：30准时发车，小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率为________．

10.口袋中有形状、大小完全相同的4个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________．

11.一个正方体，它的表面涂满了红色，切割为27个同样大小的小正方体，从中任取一个，它恰有一个面涂有红色的概率是________．

12.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．

三         、解答题

13.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．

(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．

14.某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．

(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．

15.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：

①若xy≤3，则奖励玩具一个；

②若xy≥8，则奖励水杯一个；

③其余情况奖励饮料一瓶．

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．

(1)求小亮获得玩具的概率；

(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．

16.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：

该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：

假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：

(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；

(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；

(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．

答案解析

1.答案为：C

解析：从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P==．故选C．

2.答案为：D；

解析：

从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的基本事件总数为5×5=25，

第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，

∴所求概率P==．故选D．

3.答案为：A；

解析：

在1，2，3，6中随机取出三个数，所有的可能结果为(1，2，3)，(1，2，6)，(1，3，6)，

(2，3，6)，共4种，其中数字2是这三个不同数字的平均数的结果有(1，2，3)，

共1种．由古典概型概率公式可得所求概率为P=．故选A．

4.答案为：C

解析：

由题得试验的所有基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，

(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个，

摸出的两球号码的乘积为奇数的基本事件有(1，3)，(1，5)，(3，5)，共3个，

由古典概型的概率公式得P=．故选C．

5.答案为：B；

解析：从集合{1，2，3，4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，其中是“凸数”的是132，142，143，231，241，243，341，342，共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为=．故选B．

6.答案为：C；

解析：

记3个红球分别为a，b，c，3个黑球分别为x，y，z，则随机取出两个小球共有15种可能：

ab，ac，ax，ay，az，bc，bx，by，bz，cx，cy，cz，xy，xz，yz，

其中两个小球同色共有6种可能，ab，ac，bc，xy，xz，yz，

根据古典概型概率公式可得所求概率为=，故选C．

7.答案为：C

解析：

由题意知，所有可能出现的情况有：(阳，阳，阴)，(阳，阴，阳)，(阴，阳，阳)，

(阴，阴，阳)，(阴，阳，阴)，(阳，阴，阴)，(阳，阳，阳)，(阴，阴，阴)，

共8种，恰好出现两个阳爻、一个阴爻的情况有3种，利用古典概型的概率计算公式，

可得所求概率为．故选C．

8.答案为：B；

解析：

记三本不同的书为a，b，c，两人分书的基本结果用(x，y)表示，有(0，abc)，(a，bc)，

(b，ac)，(c，ab)，(ab，c)，(ac，b)，(bc，a)，(abc，0)，共8种情况，

其中一人没有分到书，另一人分得3本书有两种情况，所以一人没有分到书，

另一人分得3本书的概率为=，故选B．

9.答案为：；

解析：小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，总时长为40分钟，公交车在6：30,7：00,7：30准时发车，他等车时间不超过10分钟，则必须在6：50至7：00或7：20至7：30之间到达，时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率P==.

10.答案为：；

解析：从袋中一次随机摸出2个球，共有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}6个基本事件，其中摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共4个，因此摸出的2个球的编号之和大于4的概率为=.

11.答案为：；

解析：

研究涂红后的正方体的六个面，发现每个面中仅最中间那块只有一个面涂有红色，

故所求概率为=．

12.答案为：；

解析：

先后抛掷2次骰子，所有可能出现的情况共36个，其中点数之和不小于10的有

(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6个，

从而点数之和小于10的有30个，故所求概率P==．

13.解：

(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，

由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，

因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．

(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，

{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，

{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．

②由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，

来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有

可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．

所以事件M发生的概率P(M)=．

14.解：

(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：

{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，

{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．

所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个．

则所求事件的概率为P==．

(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有：

{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．

包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，

则所求事件的概率为P=．

15.解：

用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，

则基本事件空间Ω与点集S={(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．

因为S中元素的个数是4×4=16，

所以基本事件总数n=16．

(1)记“xy≤3”为事件A，

则事件A包含的基本事件数共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)．

所以P(A)=，即小亮获得玩具的概率为．

(2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C，

则事件B包含的基本事件数共6个，即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)．

所以P(B)==．

事件C包含的基本事件数共5个，即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)．

所以P(C)=．

因为>，

所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．

16.解：

(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，

所以估计一位会员至少消费两次的概率为=0．4．

(2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为200－150=50(元)，

第2次消费时，公司获得的利润为200×0．95－150=40(元)，

所以，公司获得的平均利润为=45(元)．

(3)因为20∶10∶5∶5=4∶2∶1∶1，所以用分层抽样方法抽出的8人中，

消费2次的有4人，分别设为A1，A2，A3，A4，消费3次的有2人，分别设为B1，B2，

消费4次和5次及以上的各有1人，分别设为C，D，从中抽出2人，

抽到A1的有A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1C，A1D，共7种；

去掉A1后，抽到A2的有A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2C，A2D，共6种；

……

去掉A1，A2，A3，A4，B1，B2后，抽到C的有：CD，共1种，

总的抽取方法有7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=28种，

其中恰有1人消费两次的抽取方法有4＋4＋4＋4=16种，

所以，抽出的2人中恰有1人消费两次的概率为=．