高考数学一轮复习课时训练：第2章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 5 Word版含解析（含答案）

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【课时训练】第5节　函数的单调性与最值一、选择题1．(2018安徽淮北一中四模)下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)A．y＝ln(x＋2) B．y＝－C．y＝x   D．y＝x＋【答案】A【解析】函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．(2018湖南邵阳第二次联考)如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在(－∞，1)上是减函数，则(　　)A．a＝－2 B．a＝2C．a≤－2 D．a≥2【答案】C【解析】二次函数f(x)的对称轴为x＝－，由题意知－≥1，即a≤－2.3．(2018重庆一中期中)给定函数①y＝x；②y＝log(x＋1)；③y＝|x－1|；④y＝2x＋1.其中在(0,1)上为减函数的是(　　)A．①② 　  B．②③C．③④  　 D．①④【答案】B【解析】①y＝x在(0,1)上单调递增；②∵t＝x＋1在(0,1)上单调递增，而y＝logt在(0,1)上单调递减，故y＝log(x＋1)在(0,1)上单调递减；③结合图象(图略)可知y＝|x－1|在(0,1)上单调递减；④∵u＝x＋1在(0,1)上单调递增，y＝2u在(0,1)上单调递增，故y＝2x＋1在(0,1)上单调递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.4．(2018湖北省级示范高中期中联考)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1) D．(0,1]【答案】D【解析】由于g(x)＝在区间[1,2]上是减函数，所以a＞0；由于f(x)＝－x2＋2ax在区间[1,2]上是减函数，且f(x)的对称轴为x＝a，则a≤1.综上有0＜a≤1.故选D.5．(2018四川名校第一次联考)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则(　　)A．f(－1)<f(3) 　 B．f(0)>f(3)　　C．f(－1)＝f(3)   D．f(0)＝f(3)【答案】A【解析】依题意得f(3)＝f(1)，且－1<1<2.又函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，则f(－1)<f(1)＝f(3)．6．(2018湖北华大新联盟考试)若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围是(　　)A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]【答案】B【解析】易知，函数f(x)＝2|x－a|＋3的增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]．因为函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a>1.故选B.7．(2018九江模拟)已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)A．f(x1)<0，f(x2)<0  B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0【答案】B【解析】∵函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时， f(x1)<f(2)＝0；当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，即f(x1)<0, f(x2)>0.8．(2018山东潍坊四县联考)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则a的取值范围是(　　)A. B．(0，＋∞)C. D．(－∞，0)∪【答案】C【解析】∵f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(2a－1)，∴解得0<a<.故选C.二、填空题9．(2018山西太原模拟)已知函数f(x)＝，x∈[2,5]，则f(x)的最大值是________．【答案】3【解析】函数f(x)＝1＋在[2,5]上为减函数，故其最大值为f(2)＝1＋2＝3.10．(2019四川成都外国语学校段考)函数f(x)＝log2 (x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．【答案】(－4,4]【解析】因为函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是增函数，所以当x∈[2，＋∞)时，x2－ax＋3a>0且函数g(x)＝x2－ax＋3a为增函数，即≤2且f(2)＝4＋a>0，解得－4<a≤4.11．(2018湖北荆州模拟)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．【答案】[0,1)【解析】由题意知g(x)＝函数图象如图所示，由图象可得函数g(x)的单调递减区间是[0,1)．12．(2018辽宁大连质检)已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________．【答案】2　－3 【解析】当x≥1时，x＋－3≥2 －3＝2　－3，当且仅当x＝，即x＝时等号成立，此时f(x)min＝2　－3＜0；当x＜1时，lg(x2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f(x)min＝0.所以f(x)的最小值为2　－3.三、解答题13．(2018河南信阳调研)已知函数f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．(1)【证明】任取x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．(2)【解】任取1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a的取值范围是(0,1]．14．(2018广西名校联考)已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．【解】f(x)＝ax＋(1－x)＝x＋.当a>1时，a－>0，此时f(x)在[0,1]上为增函数，∴g(a)＝f(0)＝；当0<a<1时，a－<0，此时f(x)在[0,1]上为减函数，∴g(a)＝f(1)＝a；当a＝1时， f(x)＝1，此时g(a)＝1.∴g(a)＝∴g(a)在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数．又a＝1时，有a＝＝1，∴当a＝1时，g(a)取得最大值1.