高考数学一轮复习课时训练：第2章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 6 Word版含解析（含答案）

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【课时训练】第6节　函数的奇偶性与周期性一、选择题1．(2018河南洛阳统考)下列函数为奇函数的是(　　)A．f(x)＝　 B．f(x)＝exC．f(x)＝cos x   D．f(x)＝ex－e－x【答案】D【解析】对于A，定义域不关于原点对称，故不是；对于B, f(－x)＝e－x＝≠－f(x)，故不是；对于C，f(－x)＝cos(－x)＝cos x≠－f(x)，故不是；对于D，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，是奇函数，故选D.2．(2018江南十校联考)设函数f(x)＝x＋sin x(x∈R)，则下列说法错误的是(　　)A．f(x)是奇函数 B．f(x)在R上单调递增  C．f(x)的值域为R   D．f(x)是周期函数【答案】D【解析】因为f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－(x＋sin x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；因为f ′(x)＝1＋cos x≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，故B正确；f(x)的值域为R，故C正确；f(x)不是周期函数，故D错误．3．(2018兰州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)A．－　 B．　C．－ D．【答案】B【解析】∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴b＝0.又a－1＝－2a，∴a＝，∴a＋b＝.故选B.4．(2018四川遂宁一模)已知函数f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2,0)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)＝(　　)A．－2 B．2　C．－98　 D．98【答案】B【解析】由f(x＋4)＝f(x)知，函数f(x)的周期为4，则f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)，又f(3)＝f(－1)，且f(－1)＝2，∴f(2 019)＝2.5．(2018安徽十大名校年联考)设e是自然对数的底数，函数f(x)是周期为4的奇函数，且当0<x<2时，f(x)＝－ln x，则ef()的值为(　　)A. B．C． D．【答案】D【解析】因为函数以4为周期，所以f＝f＝f＝－f＝ln ，所以ef()＝eln ＝.故选D.6．(2018东北三校二模)已知偶函数f(x)的定义域为R，若f(x－1)为奇函数，且f(2)＝3，则f(5)＋f(6)的值为(　　)A．－3 B．－2C．2 D．3【答案】C【解析】依题意f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且在R上是奇函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以f(－2)＝－f(2)＝0，结合图象可知f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．故选C.7．(2018福建泉州模拟)已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围是(　　)A．(1，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【答案】B【解析】由题意，偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，即不等式f(a)≥f(x)对任意x∈[1,2]恒成立，即不等式f(|a|)≥f(|x|)对任意x∈[1,2]恒成立，所以|a|≤|x|对任意x∈[1,2]恒成立，所以|a|≤1，则－1≤a≤1.故选B.8．(2018江西九江七校联考)已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＋f(x)＝0，y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且f(2)＝4，则f(2 014)＝(　　)A．0 　　 B．－4　　　C．－8   D．－16【答案】B【解析】由题意可知，函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＝－f(x)，∴f(x＋12)＝f [(x＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴f(2 014)＝f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4.故选B.二、填空题9．(2018山东菏泽模拟)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，且当0<x<1时，f(x)＝9x，则f＋f(2)＝________.【答案】－3【解析】∵函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，∴f＝f＝f＝－f.又当0<x<1时，f(x)＝9x，∴f＝－9＝－3.又f(2)＝f(0)＝0，∴f＋f(2)＝－3.10．(2018广东珠海二中、斗门一中联考)若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，则f(2a－b)＝________.【答案】5【解析】∵函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，∴－1－a＋2a＝0，即a＝1.∵f(x)＝f(－x)，∴ax2＋bx＋1＝ax2－bx＋1，∴b＝0，即f(x)＝x2＋1.则f(2a－b)＝f(2)＝5.11．(2018山东泰安模拟)已知函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时， f(x)＝＋1，则当x<0时， f(x)＝________.【答案】－－1 【解析】∵f(x)为奇函数，且x>0时， f(x)＝＋1，∴当x<0时，即－x>0，有 f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，即x<0时， f(x)＝－(＋1)＝－－1.　12．(2018山东烟台模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x.若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是________．【答案】(－2,1) 【解析】∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时， f(x)＝－x2＋2x.做出函数f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数．由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.三、解答题13．(2018云南民族中学月考)已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．【解】(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时， f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．14．(2018天津六校期中联考)已知函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2, 且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．【解】(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数．证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)依题意有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，又由(2)知， f(x)是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16)．∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴0<|x－1|<16，解得－15<x<17且x≠1.∴x的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．