高考数学一轮复习课时训练：第4章 三角函数、解三角形 21 Word版含解析（含答案）

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【课时训练】第21节　正弦定理、余弦定理一、选择题1．(2018山西晋中一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＝a2＋bc，A＝，则角C＝(　　)A.　 B．　　C．或 D．或【答案】B【解析】在△ABC中，由余弦定理得cos A＝，即＝，所以b2＋c2－a2＝bc.又b2＝a2＋bc，所以c2＋bc＝bc，即c＝(－1)b＜b，则a＝b，所以cos C＝＝，解得C＝.故选B.2．(2018湖南娄底二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b2＋c2－a2＝bc，且b＝a，则下列关系一定不成立的是(　　)A．a＝c　　 B．b＝cC．2a＝c  D．a2＋b2＝c2【答案】B【解析】由余弦定理，得cos A＝＝＝，则A＝30°.又b＝a，由正弦定理得sin B＝sin A＝sin 30°＝，所以B＝60°或120°.当B＝60°时，△ABC为直角三角形，且2a＝c，可知C，D成立；当B＝120°时，C＝30°，所以A＝C，即a＝c，可知A成立．故选B.3．(2018太原模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则c＝(　　)A．1　 B．2　C．3 D．4【答案】D【解析】∵S△ABC＝bcsin A，∴＝×1×c×，∴c＝4.4．(2018武汉调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若＜cos A，则△ABC为(　　)A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形【答案】A【解析】根据正弦定理得＝＜cos A，即sin C＜sin Bcos A，∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin(A＋B)＜sin Bcos A，整理得sin Acos B＜0.又在三角形中sin A＞0，∴cos B＜0，∴＜B＜π.∴△ABC为钝角三角形．5．(2018广西来宾一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，c＝2，则A＝(　　)A.　　 B．　C． D．【答案】C【解析】∵cos A＝＝＝，且A∈，∴A＝.故选C.6．(2018江苏泰州调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a2＋b2－c2)tan C＝ab，则角C的大小为(　　)A.或　　 B．或C. D．【答案】A【解析】由题意知，＝⇒cos C＝，∴sin C＝.又C∈(0，π)，∴C＝或.故选A.7．(2018南京模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，sin C＝2　sin B，则A＝(　　)A．150°　 B．120°C．60° D．30°【答案】D【解析】由a2－b2＝bc，得sin2A－sin2B＝sin B·sin C，∵sin C＝2　sin B，∴sin A＝sin B，∴c＝2　b，a＝b，由余弦定理得cosA＝＝，∴A＝30°.故选D.8．(2018安徽池州一模)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　)A.　　 B．　C． D．【答案】C【解析】∵b＝c，∴B＝C.又由A＋B＋C＝π得B＝－.由正弦定理及a2＝2b2(1－sin A)得sin2A＝2sin2B·(1－sin A)，即sin2A＝2sin2(1－sin A)，即sin2A＝2cos2(1－sin A)，即4sin2cos2＝2cos2(1－sin A)，整理得cos2＝0，即cos2(cos A－sin A)＝0.∵0＜A＜π，∴0＜＜，∴cos≠0，∴cos A＝sin A．又0＜A＜π，∴A＝.二、填空题9．(2018江西九校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝________.【答案】 【解析】因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得＝，解得sin A＝.因为0°＜A＜180°，所以A＝30°或150°(舍去)，此时C＝90°，所以S△ABC＝ab＝.10．(2018山西名校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若b2＋c2＝2a2，则cos A的最小值为________．【答案】 【解析】因为b2＋c2＝2a2，则由余弦定理可得a2＝2bccos A，所以cos A＝＝×≥×＝(当且仅当b＝c时等号成立)，即cos A的最小值为.三、解答题11．(2018河北衡水模拟)如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos A＝bcos C＋ccos B.(1)求角A的大小；(2)若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB＝2，BC＝4，求AD的长．【解】(1)由题意及正弦定理得2sin Acos A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A．　∵sin A≠0，∴cos A＝.∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，即16＝4＋AC2－2AC，解得AC＝1＋，或AC＝1－(负值，舍去)．∵BD是∠ABC的平分线，AB＝2，BC＝4，∴＝＝，∴AD＝AC＝.12．(2019武汉武昌区调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos2B＋cos B＝1－cos Acos C.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．【解】(1)在△ABC中，cos B＝－cos(A＋C)．由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cos Acos C，∴－sin2B－(cos Acos C－sin Asin C)＝－cos Acos C，化简，得sin2B＝sin Asin C.由正弦定理，得b2＝ac，∴a，b，c成等比数列．(2)由(1)及题设条件，得ac＝4.则cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝c时，等号成立．∵0＜B＜π，∴sin B＝≤＝.∴S△ABC＝acsin B≤×4×＝.∴△ABC的面积的最大值为.