高考数学一轮复习课时训练：第5章 平面向量 26 Word版含解析（含答案）

【课时训练】第26节　平面向量的综合应用

一、选择题

1．(2018保定模拟)若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是(　　)

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

【答案】B

【解析】＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，所以|＋|＝|－|⇒|＋|2＝|－|2⇒·＝0，所以三角形为直角三角形．故选B.

2．(2018贵阳考试)设M为边长为4的正方形ABCD的边BC的中点，N为正方形区域内任意一点(含边界)，则·的最大值为(　　)

A．32 B．24

C．20 D．16

【答案】B

【解析】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(4,0)，C(4,4)，M(4,2)，设N(x，y)(0≤x，y≤4)，则·＝4x＋2y≤4×4＋2×4＝24，当且仅当＝时取等号，故选B.

3．(2018重庆一诊)已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上的一点，且＋＝，则△ABC的面积的最大值为(　　)

A．3 B．4

C．3 D．4

【答案】B

【解析】由题设＋＝，可知四边形ABDC是平行四边形．由圆内接四边形的性质可知∠BAC＝90°，且当AB＝AC时，四边形ABDC的面积最大，则△ABC的面积的最大值为Smax＝AB·AC＝×(2)2＝4.故选B.

4．(2018邵阳大联考)在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC形状为(　　)

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】A

【解析】由题意得acos＝bcos，acos＝ccos，由正弦定理得sinAcos＝sinBcos⇒sin＝sin⇒B＝A，同理可得C＝A，所以△ABC为等边三角形．故选A.

5．(2018沈阳模拟)已知点M(－3,0)，N(3,0)。动点P(x，y)满足||·||＋·＝0，则点P的轨迹的曲线类型为(　　)

A．双曲线 B．抛物线

C．圆 D．椭圆

【答案】B

【解析】＝(3,0)－(－3,0)＝(6,0)，||＝6，＝(x，y)－(－3,0)＝(x＋3，y)，＝(x，y)－(3,0)＝(x－3，y)，所以||·||＋·＝6＋6(x－3)＝0，化简可得y2＝－12x.故点P的轨迹为抛物线．故选B.

6．(2018西安二模)称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”，若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则(　　)

A．a⊥b B．a⊥(a－b)

C．b⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)

【答案】C

【解析】由d(a，tb)≥d(a，b)，可知|a－tb|≥|a－b|，所以(a－tb)2≥(a－b)2，又|b|＝1，所以t2－2(a·b)t＋2(a·b)－1≥0.因为上式对任意t∈R恒成立，所以Δ＝4(a·b)2－4[2(a·b)－1]≤0，即(a·b－1)2≤0，所以a·b＝1.于是b·(a－b)＝a·b－|b|2＝1－12＝0，所以b⊥(a－b)．故选C.

二、填空题

7．(2018长春模拟)在△ABC中，若·＝·＝2，则边AB的长等于________．

【答案】2

【解析】由题意知·＋·＝4，

即·(＋)＝4，即·＝4，

所以||＝2.

8．(2019重庆调研)已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________．

【答案】

【解析】由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cos θ＝0，所以cos θ＝－，又因为0≤θ≤π，所以θ＝.

9．(2018四川成都模拟)在平面直角坐标系内，已知B(－3，－3)，C(3，－3)，且H(x，y)是曲线x2＋y2＝1上任意一点，则·的最大值为________．

【答案】6＋19

【解析】由题意得＝(x＋3，y＋3)，＝(x－3，y＋3)，所以·＝(x＋3，y＋3)·(x－3，y＋3)＝x2＋y2－9＋6y＋27＝6y＋19≤6＋19，当且仅当y＝1时取最大值．

10．(2018广西模拟)已知点A(1－m,0)，B(1＋m,0)，若圆C：x2＋y2－8x－8y＋31＝0上存在一点P使得·＝0，则m的最大值为________．

【答案】6

【解析】圆C：(x－4)2＋(y－4)2＝1，圆心C(4,4)，半径r＝1，设P(x0，y0)，则＝(1－m－x0，－y0)，＝(1＋m－x0，－y0)，所以·＝(1－x0)2－m2＋y＝0，即m2＝(x0－1)2＋y.所以|m|为点P与点M(1,0)之间的距离，当|PM|最大时，|m|取得最大值．因为|PM|的最大值为|MC|＋1＝＋1＝6，所以m的最大值为6.

三、解答题

11．(2018临沂模拟)已知向量m＝(sin α－2，－cos α)，n＝(－sin α，cos α)，其中α∈R.

(1)若m⊥n，求角α.

(2)若|m－n|＝，求cos 2α的值．

【解】(1)向量m＝(sin α－2，－cos α)，

n＝(－sin α，cos α)，

若m⊥n，则m·n＝0，

即为－sin α(sin α－2)－cos2α＝0，

即sin α＝，可得α＝2kπ＋或2kπ＋，k∈Z.

(2)若|m－n|＝，即有(m－n)2＝2，

即(2sin α－2)2＋(2cos α)2＝2，

即为4sin2α＋4－8sin α＋4cos2α＝2，

即有8－8sin α＝2，可得sin α＝，

即有cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－.

12．(2018山东德州一模)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C.

(1)求角C的大小；

(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)＝18，求边c的长．

【解】(1)m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A＝sin(A＋B)，

对于△ABC，A＋B＝π－C,0＜C＜π，

∴sin(A＋B)＝sin C，

∴m·n＝sin C，

又m·n＝sin 2C，∴sin 2C＝sin C，

∴cos C＝，C＝.

(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin C＝sin A＋sin B，

由正弦定理得2c＝a＋b.

∵·(－)＝18，

∴·＝||·||·cos C＝abcos C＝18，∴ab＝36.

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，

∴c2＝4c2－3×36，∴c2＝36，∴c＝6.