高考数学一轮复习课时训练：第6章 数 列 30 Word版含解析（含答案）

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【课时训练】第30节　数列求和一、选择题1．(2018阳泉质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2＝2an＋1－an，a5＝4－a3，则S7＝(　　)A．7　　　 B．12　　 C．14  D．21【答案】C【解析】由an＋2＝2an＋1－an知数列{an}为等差数列，由a5＝4－a3得a5＋a3＝4＝a1＋a7，所以S7＝＝14.2．(2018辽宁五校联考)已知等差数列{an}满足a3＝7，a5＋a7＝26，bn＝(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，则S100的值为(　　)A. B．　C． D．【答案】C【解析】在等差数列{an}中，a5＋a7＝2a6＝26⇒a6＝13.又数列{an}的公差d＝＝＝2，所以an＝a3＋(n－3)·d＝7＋(n－3)×2＝2n＋1，那么bn＝＝＝，故Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝⇒S100＝＝.3．(2018河南郑州模拟)已知在等差数列{an}中，a1＝120，公差d＝－4.若Sn≤an(n≥2)，其中Sn为该数列的前n项和，则n的最小值为(　　)A．60　　  B．62　　　C．70  D．72【答案】B【解析】由题意得an＝120－4(n－1)＝124－4n，Sn＝120n＋×(－4)＝122n－2n2.由Sn≤an，得122n－2n2≤124－4n，即n2－63n＋62≥0，解得n≥62或n≤1(舍去)．故选B.4．(2018嘉兴调研)已知an＝(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn＞0的n的最小值为(　　)A．99　　　  B．100　　　 C．101  D．102【答案】C【解析】由通项公式得a1＋a100＝a2＋a99＝a3＋a98＝…＝a50＋a51＝0，a101＝＞0.故选C.5．(2018广东肇庆二模)已知数列{an}的前n项和是Sn，且4Sn＝(an＋1)2，则下列说法正确的是(　　)A．数列{an}为等差数列B．数列{an}为等差或等比数列C．数列{an}为等比数列D．数列{an}既不是等差数列也不是等比数列【答案】B【解析】∵4Sn＝(an＋1)2，∴4Sn＋1＝(an＋1＋1)2，∴4Sn＋1－4Sn＝4an＋1＝(an＋1＋1)2－(an＋1)2，化简得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，∴an＋1＝an＋2，或an＋1＋an＝0，∵4a1＝(a1＋1)2，∴a1＝1.故选B.6．(2019山西太原五中调考)在数列{an}中，an＞0，a1＝，如果an＋1是1与的等比中项，那么a1＋＋＋＋…＋的值是(　　)A.  B．C．　 D．　【答案】C【解析】由题意得a＝⇒(2an＋1＋anan＋1＋1)(2an＋1－anan＋1－1)＝0⇒an＋1＝⇒an＋1－1＝⇒＝－1，∴数列为以－2为首项，－1为公差的等差数列，∴＝－2－(n－1)＝－n－1⇒an＝⇒＝＝－.∴a1＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝.7．(2018湖南衡阳模拟)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋1＝|an－an－1|(n≥2)，则该数列前2 017项的和S2 017＝(　　)A．1 345　　  B．671　　 C．1 342  D．1 341【答案】A【解析】由a1＝1，a2＝1，an＋1＝|an－an－1|(n≥2)，得a3＝0，a4＝1，a5＝1，a6＝0，则数列{an}是以3为周期的周期数列，且a1＋a2＋a3＝2.又2 017＝672×3＋1，所以S2 017＝672×2＋1＝1 345.二、填空题8．(2018河北冀州中学月考)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S3，S4成等差数列，则数列{an}的公比为________．【答案】【解析】设{an}的公比为q，由题意易知q＞0且q≠1.因为S1，S3，S4成等差数列，所以2S3＝S1＋S4，即＝a1＋，解得q＝.9．(2018泰安模拟)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n·(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2 017＝________.【答案】－1 007 【解析】由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得，该数列是周期为4的数列，且a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，所以S2 017＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 017＝504×(－2)＋1＝－1 007.10．(2018山东枣庄质检)对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”．若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.【答案】 2n＋1－2 【解析】 ∵an＋1－an＝2n, ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝＝2n＋1－2.三、解答题11．(2018湖北稳派教育联考)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，Sn＝n2＋n(a1－1)(n∈N*)，且a1，a3－1，a5＋7成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.【解】(1)∵Sn＝n2＋n(a1－1)，又Sn＝na1＋d＝n2＋n，∴d＝2.又a1，a3－1，a5＋7成等比数列．∴a1(a5＋7)＝(a3－1)2，即a1(a1＋15)＝(a1＋3)2，解得a1＝1，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)由(1)可得bn＝＝＝，故Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝＝.12．(2018辽宁五校联考)若数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在y＝－x的图象上(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若c1＝0，且对任意正整数n都有cn＋1－cn＝logan.求证：对任意正整数n≥2，总有≤＋＋＋…＋＜.(1)【解】∵Sn＝－an，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，∴an＝an－1.又∵S1＝a1＝－a1，∴a1＝，∴an是以为首项，为公比的等比数列．∴an＝n－1＝2n＋1.(2)【证明】由cn＋1－cn＝logan＝2n＋1，得当n≥2时，cn＝c1＋(c2－c1)＋(c3－c2)＋…＋(cn－cn－1)＝0＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2－1＝(n＋1)(n－1)，∴＝＝，∴＋＋＋…＋＝×＝＝－＜.又∵＋＋＋…＋≥＝，∴原式得证．