高考数学一轮复习课时训练：第8章 立体几何 40 Word版含解析（含答案）

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【课时训练】第40节　空间向量及其运算一、选择题1．(2018泸州模拟)在空间直角坐标系中，点P(m,0,0)到点P1(4,1,2)的距离为，则m的值为(　　)A．－9或1 B．9或－1C．5或－5 D．2或3【答案】B【解析】由题意知|PP1|＝，即＝，∴(m－4)2＝25，解得m＝9或m＝－1.故选B.2．(2018滨州模拟)已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)A．－2 B．－C．  D．2【答案】D【解析】由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.3．(2018东营质检)已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为(　　)A．±　  B．C．－  D．±【答案】C【解析】∵＋λ＝(1，－λ，λ)，∴cos 120°＝＝－，得λ＝±.经检验λ＝不合题意，舍去，∴λ＝－.4．(2018贵州遵义模拟)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6，2μ－1,2λ)．若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　)A．2，  B．－，C．－3,2 D．2,2【答案】A【解析】∵a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，∴解得或5．(2018济南月考)O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点(　　)A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．无法判断【答案】B【解析】因为＝＋＋，且＋＋＝1，所以P，A，B，C四点共面．6．(2018山东聊城一模)已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1，0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)A．－1 B．C． D．【答案】D【解析】由题意知ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝.7．(2018哈尔滨九中月考)若向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，则(　　)A．c∥d  B．c⊥dC．c不平行于d，c也不垂直于dD．以上三种情况均有可能【答案】B【解析】由题意得c垂直于由a，b确定的平面．∵d＝λa＋μb，∴d与a，b共面，∴c⊥d.8．(2018杭州模拟)在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)A．－1 B．0C．1 D．不确定 【答案】B【解析】如图，令＝a，＝b，＝c，则·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.二、填空题9．(2018西安联考)已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝且λ>0，则λ＝________.【答案】3【解析】因为λa＋b＝(4，－λ＋1，λ)，所以|λa＋b|＝＝＝，化简整理，得λ2－λ－6＝0，解得λ＝－2或λ＝3，又λ>0，所以λ＝3.10．(2018浙江金华模拟)已知向量a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)．若a∥b，则a与b的夹角为________．【答案】π【解析】∵a∥b，∴＝＝，∴x＝2，y＝－4.∴a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)，∴a＝－b，∴〈a，b〉＝π.11．(2018北京西城模拟)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是________．【答案】[0,1]【解析】由题意可设＝λ，其中λ∈[0,1]，·＝·(＋)＝·(＋λ)＝2＋λ·＝2＋λ·(－)＝(1－λ)2＝1－λ∈[0,1]，因此·的取值范围是[0,1]．12．(2018江西南昌模拟)在空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则＋(＋)＝________.【答案】【解析】由题意知＋(＋)＝＋×2＝＋＝.三、解答题 13．(2018山东滨州行知中学期末)已知在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，E是BC的中点，M是PD的中点，F是PC上的点．(1)求证：平面AEF⊥平面PAD；(2)当F是PC的中点，且AB＝AP时，求二面角F－AE－M的余弦值．(1)【证明】连接AC.∵底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形．∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.又∵AD∥BC，∴AE⊥AD.∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE.又∵PA∩AD＝A，∴AE⊥平面PAD.又AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAD.(2)【解】由(1)得，AE，AD，AP两两垂直，以点A为原点，AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB＝AP＝2，则AE＝，则A(0,0,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(，0,0)，F，M(0,1,1)，∴＝(，0,0)，＝，＝(0,1,1)．设m＝(x，y，z)是平面AEF的一个法向量，则取z＝1，得m＝(0，－2,1)．同理，平面AME的一个法向量n＝(0，－1,1)．则cos〈m，n〉＝＝.由图可知，二面角F－AE－M的平面角为锐角，∴二面角F－AE－M的平面角的余弦值为.