高考数学一轮复习课时训练：第9章 平面解析几何 50 Word版含解析（含答案）

第50节　曲线与方程

一、选择题

1．(2018南昌模拟)方程(x2＋y2－2x)＝0表示的曲线是(　　)

A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线

C．一个圆  D．一条直线

【答案】D

【解析】题中的方程等价于①x＋y－3＝0或②

注意到圆x2＋y2－2x＝0上的点均位于直线x＋y－3＝0的左下方区域，即圆x2＋y2－2x＝0上的点均不满足x＋y－3≥0，故②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x＋y－3＝0.

2．(2018呼和浩特调研)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)

A．圆  B．椭圆

C．双曲线  D．抛物线

【答案】B

【解析】设椭圆的右焦点是F2，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a＞2c，所以|PF1|＋|PO|＝(|MF1|＋|MF2|)＝a＞c，所以点P的轨迹是以F1和O为焦点的椭圆．

3．(2018银川模拟)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程为(　　)

A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4

C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2

【答案】D

【解析】如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)，连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1.

又∵|PA|＝1，∴|PM|＝＝，即|PM|2＝2.∴(x－1)2＋y2＝2.

4．(2018津南模拟)平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)．若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)

A．直线  B．椭圆

C．圆  D．双曲线

【答案】A

【解析】设C(x，y)，因为＝λ1＋λ2，

所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，

即解得

又λ1＋λ2＝1，所以＋＝1，即x＋2y＝5.

所以点C的轨迹为直线．故选A.

5．(2018河北沧州模拟)有一动圆P恒过定点F(a,0)(a＞0)且与y轴相交于点A，B.若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为(　　)

A．直线  B．圆

C．椭圆  D．双曲线

【答案】D

【解析】设P(x，y)，动圆P的半径为R，

∵△ABP为正三角形，

∴P到y轴的距离d＝R，即|x|＝R.

而R＝|PF|＝，

∴|x|＝·，

整理得(x＋3a)2－3y2＝12a2，即－＝1，

∴点P的轨迹为双曲线．故选D.

6．(2018深圳调研)已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程为(　　)

A．x2＝4y B．y2＝3x

C．x2＝2y D．y2＝4x

【答案】A

【解析】设点P(x，y)，则Q(x，－1)．

∵·＝·，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，

即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，

∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.

7．(2018江苏淮安模拟)已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹是(　　)

A．直线  B．圆

C．椭圆  D．双曲线

【答案】B

【解析】设P(x，y)，则＝2，

整理得x2＋y2－4x＝0，

又D2＋E2－4F＝16＞0，所以动点P的轨迹是圆．

二、填空题

8．(2018厦门模拟)已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)，则动点P的轨迹C的方程为__________．

【答案】x2－＝1(λ≠0，x≠±1)

【解析】由题意知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝·＝λ，

整理得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)，

即动点P的轨迹C的方程为x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．

9. (2018四川达州一诊)已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是__________．

【答案】＋＝1(y≠0)

【解析】设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4.由抛物线定义，得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4.故点F的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，所以抛物线的焦点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．

10．(2018河南洛阳统考)在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a＞0)，且满足条件sin C－sin B＝sin A，则动点A的轨迹方程是________．

【答案】－＝1(x＞0且y≠0)

【解析】由正弦定理得－＝×，

即|AB|－|AC|＝|BC|，

故动点A是以B，C为焦点，为实轴长的双曲线的右支，

即动点A的轨迹方程为－＝1(x＞0且y≠0)．

三、解答题

11．(2018山西孝义九校联考)在△ABC中，||＝4，△ABC的内切圆切BC于点D且||－||＝2　，求顶点A的轨迹方程．

【解】以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点，则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.

∵|AB|－|AC|＝2＜|BC|＝4，

∴点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝，c＝2.∴b＝.

∴顶点A的轨迹方程为－＝1(x＞)．

12．(2018唐山统考)已知动点P到直线l：x＝－1的距离等于它到圆C：x2＋y2－4x＋1＝0的切线长(P到切点的距离)，记动点P的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)点Q是直线l上的动点，过圆心C作QC的垂线交曲线E于A，B两点，设AB的中点为D，求的取值范围．

【解】(1)由已知得圆心为C(2,0)，半径r＝.

设P(x，y)，依题意可得|x＋1|＝，整理得y2＝6x.

故曲线E的方程为y2＝6x.

(2)设直线AB的方程为my＝x－2，

则直线CQ的方程为y＝－m(x－2)，可得Q(－1,3m)．

将my＝x－2代入y2＝6x并整理可得y2－6my－12＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝6m，y1y2＝－12，D(3m2＋2,3m)，|QD|＝3m2＋3，|AB|＝2，

所以2＝

＝∈，

故∈.