2023年高考数学真题模拟试题专项汇编：（11）平面解析几何（含答案）

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（11）平面解析几何——2023年高考数学真题模拟试题专项汇编
1. 【2023年全国乙卷文科】已知点在抛物线上，则A到C的准线的距离为_________.
2. 【2023年全国乙卷文科】设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A. B. C. D.
3. 【2023年全国甲卷理科】已知双曲线(，)的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则( )
A. B. C. D.
4. 【2023年全国甲卷理科】设O为坐标原点，，为椭圆C：的两个焦点，点P在C上，，则( )
A. B. C. D.
5. 【2023年全国甲卷理科】已知直线与抛物线交于A，B两点，.
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且，求面积的最小值.
6. 【2023年天津卷】双曲线(，)的左、右焦点分别为，.过作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
7. 【2023年新课标Ⅰ卷】在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程；
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于.
8. 【2023年天津卷】已知椭圆的左、右顶点分别为，.右焦点为F，已知，.
(1)求椭圆的方程和离心率e；
(2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线交y轴于点Q，若的面积是面积的二倍，求直线的方程.
9. 【2023年新课标Ⅱ卷】已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是面积的2倍，则( )
A. B. C. D.
10. 【2023年新课标Ⅰ卷】已知双曲线(，)的左、右焦点分别为，.点A在C上.点B在y轴上，，，则C的离心率为__________.




答案以及解析
1.答案：
解析：将点A的坐标代入抛物线方程，得，于是，则抛物线的准线方程为，所以A到准线的距离为.
2.答案：D
解析：通解：设，，的中点为，由点A，B在双曲线上，得，两式作差，得，即，化简得，即，因此.

由双曲线方程可得渐近线方程为，如图.对于A选项，因为，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，，此时直线AB与渐近线平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D选项，因为，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意.故选D.
光速解：选项中的点均位于双曲线两支之间，故A，B分别在双曲线的两支上且不关于原点对称，设线段AB的中点坐标为，则，即，结合选项可知选D.
3.答案：D
解析：根据双曲线的离心率，得，即，即，所以，，所以双曲线的渐近线方程为，易知渐近线与圆相交.
通解：由得.设，，则，.所以，故选D.
优解：则圆心到渐近线的距离，所以，故选D.
4.答案：B
解析：解法一：依题意，，.如图，不妨令，.设，，在中，①，由椭圆的定义可得②.由①②，解得.设.在和中，，由余弦定理得，得，所以.

解法二：依题意，，.如图(图同解法一)，设点P的坐标为，，则，故，则或(舍去).故的面积.又，故，又，所以，，.
解法三：依题意，，.如图(图同解法一)，设点P的坐标为，利用焦点三角形面积公式知.因为，所以，故.又，故，又，所以，，.
解法四：依题意，，.如图(图同解法一)，不妨令，.设，，在中，①，由椭圆的定义可得②.由①②，解得.因为，所以，所以.
5.答案：(1)
(2)
解析：(1)设，，
把代入，得，
由，得.
由根与系数的关系，可得，，
所以，
解得或(舍去)，
故.
(2)设，，由(1)知抛物线，则点.
因为，所以，
则.
当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称，
因为，
所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是-1.
不妨设直线MF的斜率为1，则，
由得，
得或
代入式计算易得，当时，的面积取得最小值，为.
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为.
由得，，
则
.
又，
所以，化简得.
所以
.
令，则，
因为，
所以，
即，得或，
从而得.
故面积的最小值为.
6.答案：D
解析：通解：不妨取渐近线，此时直线的方程为，与联立并解得，即.
因为直线与渐近线垂直，所以的长度即为点到直线(即)的距离，由点到直线的距离公式得，所以.
因为，，且直线的斜率为，所以，化简得，又，，所以，整理得，即，解得.
所以双曲线的方程为，故选D.
优解：因为过点向其中一条渐近线作垂线，垂足为P，且，所以，再结合选项，排除选项B，C；若双曲线方程为，则，，渐近线方程为，不妨取渐近线，则直线的方程为，与渐近线方程联立，得，则，又直线的斜率为，所以双曲线方程不符合题意，排除A，故选D.
7.答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)设点P的坐标为，依题意得，
化简得，
所以W的方程为.
(2)设矩形ABCD的三个顶点A，B，C在W上，
则，矩形ABCD的周长为.
设，依题意知直线AB不与两坐标轴平行，
故可设直线AB的方程为，不妨设，
与联立，得，
则，所以.
设，所以，所以，
所以，
，且，
所以.
因为，
当，即时，函数在上单调递减，函数在，上单调递减或是常函数(当时是常函数)，函数在上单调递增，
所以当时，取得最小值，且最小值为，
又，所以.
令，，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以.
当，即时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，函数在上单调递增，
所以当时，取得最小值，且最小值为，
又，所以.
令，，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以.
综上，矩形ABCD的周长大于.
8.答案：(1)椭圆的方程为，离心率
(2)
解析：(1)如图，由題意可知，
故，则，

所以椭圆的方程为，
此椭圆的离心率.
(2)由题易知直线的斜率存在且不为0，
所以可设直线的方程为.
由，可得，
设，则由根与系数的关系可知，
即，则.
由直线交y轴于点Q可得，
所以，，
因为，所以，
①当时，，即有，
解得，不符合题意，舍去.
②当时，，即有，解得.
故直线的方程为.
9.答案：C
解析：由题意，，，面积是面积的2倍，所以点到直线AB的距离是点到直线AB的距离的2倍，即，解得或(舍去)，故选C.
10.答案：
解析：解法一：由题意可知，，，设，，所以，，因为，所以，即，所以.
，，因为，所以，
即，解得.
因为点在双曲线C上，所以，又，所以，即，化简得，所以，所以.
解法二：由前面解法一得，，所以，
，
由双曲线的定义可得，即，即，所以双曲线的离心率.
解法三：由可得A，B，三点共线，且在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得.设，则，所以，，由可得，所以，所以，即.过作，垂足为D，则，即，所以，所以，所以，则，即，所以.