河北省石家庄市辛集市育才中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题（解析版）

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辛集市育才中学高二年级下学期6月份月考
数学
2023-6-15
一､选择题
1. 已知随机变量服从二项分布，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二项分布的概率公式计算．
【详解】．
故选：D．
2. 某校有1200人参加某次数学模拟考试，考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次考试成绩在90分以下的人数约为（ ）
A. 180 B. 240 C. 360 D. 480
【答案】B
【解析】
【分析】利用频率估计概率结合正态分布的对称性性可得：考试成绩在90分以下的概率为，据此估计相应人数．
【详解】利用频率估计概率
根据正态分布的对称性可知：考试成绩在90分以下的概率为
则此次考试成绩在90分以下的人数约为
故选：B．
3. 在等差数列{an}和{bn}中，a1=25，b1=75，a100+b100=100，则数列{an+bn}的前100项的和为（ ）
A. 10000 B. 8000
C. 9000 D. 11000
【答案】A
【解析】
【分析】由已知推出为等差数列，再根据等差数列前项和公式可求出结果.
【详解】由已知得{an+bn}为等差数列，故其前100项的和为S100=.
故选：A
4. 我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件，可以求,运用公式，求出.
【详解】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件，
所以，因此,故本题选A.
【点睛】本题考查了求对立事件的概率问题，考查了运算能力.
5. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如下表所示：

3
4
5
6


3
4


若根据表中数据得出关于的线性回归方程为，则表中的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：，由回归方程：，解之得,故选D.
考点：线性回归.
6. 已知数列满足且，的通项公式为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，得到，再利用“叠加法”，结合等差数列的前n项和公式，即可求解.
【详解】由题意，数列满足，
可得，
这个式子相加可得.
当，也符合该式，故.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中根据数列的递推公式，合理利用叠加法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
7. 已知数列{an}的前n项和为Sn，则“{an}是等差数列”是“是等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的定义证明求解.
【详解】首先证“充分条件”：因为{an}是等差数列，所以
所以，
所以常数，
所以是等差数列．
证“必要条件”因为是等差数列，所以设数列的公差为，
则所以
当时，
所以当时满足.
所以常数，
所以{an}是等差数列.
故选C.
【点睛】本题考查等差数列的证明和充要条件的判断，属于中档题.
8. 我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、土、水、火这五种物质，称为“五行”，得到图中外圈顺时针方向相邻的后一物生前一物，内圈五角星线路的后一物克前一物的相生相克理论.依此理论，每次随机任取两行，重复取次，若取出的两行为“生"的次数记为，则与的值分别为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
从五行中随机任取两行为“生”的概率为，则重复取次，所以随机变量服从二项分布，然后用二项分布的期望和方差公式求解.
【详解】设从五行中随机任取两行为“生”的事件为
则
依题意，随机变量服从二项分布，有，
故
故选:
【点睛】本题考查古典概率和二项分布的期望和方差的计算，属于中档题.
二､多项选择题
9. 为庆祝中国共产党成立100周年，某单位组织开展党史知识竞赛活动．某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】第1次抽到选择题的概率为，根据古典概型即可计算；第1次抽到选择题且第2次抽到选择题时概率为，根据古典古典概型即可计算；在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题的概率为，根据条件概率计算公式即可计算；在第1次没有抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题的概率为，根据条件概率计算公式即可计算．
【详解】第1次抽到选择题时，则，故A正确；
第1次抽到选择题且第2次抽到选择题时，则，故B正确；
在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题，则，故C正确；
在第1次没有抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题，则，故D错误﹒
故选：ABC．
10. 对任意实数x，有则下列结论成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由二项式定理，采用赋值法判断选项ACD，转化法求指定项的系数判断选项B.
【详解】由，
当时，，，A选项错误；
当时，，即，C选项正确；
当时，，即，D选项正确；
，由二项式定理，，B选项正确.
故选：BCD
11. 阳山水蜜桃迄今已有近七十年的栽培历史，产于中国著名桃乡江苏无锡阳山镇.水蜜桃果形大、色泽美，皮韧易剥、香气浓郁，汁多味甜，入口即化，有“水做骨肉”的美誉，阳山水蜜桃早桃品种5月底开始上市，7月15日前后，甜度最高的湖景桃也将大量上市.已知甲、乙两个品种的阳山水蜜桃的质量（单位：斤）分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示则下列说法正确的是（ ）


A. 乙品种水蜜桃的平均质量
B. 甲品种水蜜桃的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C. 甲品种水蜜桃的平均质量比乙类水果的平均质量小
D. 乙品种水蜜桃的质量服从的正态分布的参数
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据图像以及正态密度曲线的性质即可逐一分析四个选项得到结论.
【详解】对于选项A：，故A对；
对于选项B：甲图像相对乙更高瘦，故B对；
对于选项C：，故C对；
对于选项D：乙图像的最高点为1.99，故对称轴取值为，所以，故D错.
故选：ABC.
12. 5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围.目前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好！某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示：
月份
2020年6月
2020年7月
2020年8月
2020年9月
2020年10月
月份编号
1
2
3
4
5
销量/部
52
95

185
227
若与线性相关，由上表数据求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约10台
B.
C. 与正相关
D. 预计12月份该手机商城的5G手机销量约为318部
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据表中数据求得样本中心，进而求得a，然后逐项判断.
【详解】由表中数据可知，
又因为回归方程为，
代入回归方程，解得，
所以，
解得，
由此知5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约40台左右，
将代入回归方程得，
因为，所以与正相关，
故选：BCD.
三､填空题
13. 某人射击8枪命中4枪，这4枪恰有3枪连中的不同种数为__________．
【答案】20
【解析】
【分析】根据捆绑法及插空法求解即可.
【详解】把连中的三枪看成1个元素（捆绑），另外命中的一枪看成1个元素，这2个元素在其余4个元素组成的5个空中插空，共有种插法．
故答案为：20
14. 已知数列满足，且，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据递推式倒推即可解出．
【详解】因为，且，所以，解得，，解得，，解得．
故答案为：．
15. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】令可得，分析可知为展开式中的系数，然后利用二项式定理可求得的值.
详解】令可得，则，
所以，，
所以，为展开式中的系数，
的展开式通项为，
所以，.
故答案为：.
16. 某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率_________．（结果用分数表示）
附参考数据：，.
【答案】
【解析】
【分析】利用正态分布性质和条件概率公式求解即可.
【详解】由题知，
事件为“记该同学的成绩”，
因为，，
所以，
又，
所以.
故答案为：
四､解答题
17. 若的展开式中，第二､三､四项的二项式系数成等差数列．
（1）求的值；
（2）此展开式中是否有常数项？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得.
（2）根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【小问1详解】
由题意得：，
，
化简得：，
解得：或（舍去），所以.
【小问2详解】
不存在，理由如下：
且，
时，解得，
所以展开式中不存在常数项.
18. 等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列, ，且．
(1)求与； (2)求和：．
【答案】（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，
，
依题意有①————————4分
解得或(舍去)
故————6分
（2） ——————8分
∴——————10分

【解析】
【详解】（1）设公差为，的公比为，则为正整数，
，
依题意有①
解得或(舍去)
故
（2）
∴



19. 已知数列中，，.
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)答案见解析；(2) .
【解析】
【详解】试题分析：⑴根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明是等比数列，并求的通项公式，⑵利用错位相减法即可求得答案；
解析：（1）∵
∴
∴，
∵，，
∴是以为首项，以4为公比的等比数列
∴，
∴，
∴，
（2），


∴①
②
①-②得


∴.
20. 近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式.可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任.某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡.食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造.为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄､褐两种颜色的蜂蜡罐，对两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：

黄色蜂蜡罐
褐色蜂蜡罐
品种蜜蜂
40
20
品种蜜蜂
50
10

（1）依据小概率值的独立性检验，分析蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐是否与蜜蜂种类有关联？
（2）假设要计算某事件概率，常用的一个方法就是找一个与事件有关的事件，利用公式：求解，现从装有只品种蜜蜂和只品种蜜蜂的蜂蜡蠸中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到品种蜜蜂为事件，第二次抽到品种蜜蜂为事件，求（用表示）
附：，其中.
临界值表：

0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联；
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知数据结合公式求，比较其与临界值的大小，由此确定蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联，进一步求频率判断；
（2）由古典概型概率公式和条件概率公式求，再代入所给公式求解.
【小问1详解】
根据列表得，
所以依据的独立性检验，蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联，
品种进入黄色蜂蜡罐的频率为，品种进入褐色蜂蜡罐的频率为，
品种进入黄色蜂蜡罐的频率为，品种进入褐色蜂蜡罐的频率为，
依据频率分析，品种的蜜蜂选择褐色蜂蜡罐的频率是品种的蜜蜂的两倍，
所以品种的蜜蜂选择进入黄色蜂蜡罐与褐色蜂蜡罐有显著差异；
【小问2详解】
由已知上式知，
则，
所以，
所以，
所以.
21. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）．
【解析】
【详解】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为．
（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为．
详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P




随机变量X的数学期望．
（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A=B∪C，且B与C互斥，
由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．
所以，事件A发生的概率为．
点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
22. 从集市上买回来的蔬菜仍存有残留农药，食用时需要清洗数次，统计表中的表示清洗的次数，表示清洗次后千克该蔬菜残留的农药量（单位：微克）．
x
1
2
3
4
5
y
4.5
2.2
1.4
1.3
0.6
（1）在如图的坐标系中，描出散点图，并根据散点图判断，与哪一个适宜作为清洗次后千克该蔬菜残留的农药量的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据判断及下面表格中的数据，建立关于的回归方程；
表中，．







3
2
0.12
10
0.09
-8.7
0.9

（3）对所求的回归方程进行残差分析．
附：①线性回归方程中系数计算公式分别为，；
②，说明模拟效果非常好；
③，，，，．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）拟合效果非常好．
【解析】
【分析】（1）先根据数据作出散点图，结合散点图给出判断；
（2）根据，，及相关公式可求关于的回归方程；
（3）先求解估计值与真实数据间的差，根据公式求出，然后进行判断.
【详解】（1）散点图如图，

根据散点图可知用作为清洗次后千克该蔬菜残留的农药量的回归方程类型．
（2）由题知，，
故所求的回归方程为．
（3）列表如下：

0
0
0.1
03
-0.3

2.5
0.2
-0.6
-0.7
-1.4
所以，，，
所以回归模拟的拟合效果非常好．
【点睛】本题主要考查回归分析，散点图是选择回归方程的一个常用手段，非线性回归方程的求解一般利用换元法转化为线性回归方程，残差分析是判断模拟效果的常用方法，侧重考查数据分析的核心素养.