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山西省晋中市平遥县第二中学校2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题
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这是一份山西省晋中市平遥县第二中学校2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题，共8页。
高二年级5月数学试题
（时间：120分钟，满分：150分）
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．7个人分4张无座音乐会门票，每人至多1张，票必须分完，那么不同的分法种类为（ ）
A．35 B．84 C．360 D．840
2．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．变量，具有线性相关关系，根据下表数据，利用最小二乘法可以得到其回归直线方程，则（ ）
2
4
5
6
8
20
40
60
70
80
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
4．已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
5．由数字0、1、2、3组成的无重复数字的4位数字中，比2020大的数的个数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
6．已知函数的图象在处的切线斜率为，则该切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．设随机变量服从正态分布，且函数没有零点的概率为，函数有两个零点的概率为，若，则（ ）
A．9 B．10 C．17 D．不能确定
8．2023年4月12日湖北省运会在宜昌奥体中心开幕，在观看湖北省运会的同时，也有很多游客慕名来宜昌旅游，甲乙两名游客准备分别从三峡大坝、三峡人家、三峡大瀑布和清江画廊四个5A景区中随机选择一个游玩，记事件：甲和乙至少一人选择三峡大坝景区，事件：甲和乙选择的景点不同，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．相关指数越接近1拟合效果越差
B．设有一个经验回归直线方程，变量增加1个单位时，减少5个单位
C．残差平方和越小，拟合效果越好
D．已知一系列样本点（）的经验回归直线方程，若样本点与的残差相等，则
10．已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列选项正确的是
0
2
A． B． C． D．
11．近期，某市疫情爆发，全国各地纷纷派出医护人员驰援该市．某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴该市的、、、四个区参加防疫工作，下列选项正确的是（ ）
A．若四个区都有人去，则共有20种不同的安排方法
B．若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法
C．若甲不去区，乙不去区，且每区均有人去，则共有14种不同的安排方法
D．若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服（每箱防护服均相同），且每区至少发放3箱，则共有81种不同的安排方法
12．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大项 D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，______．
14．端午节吃粽子是传统的习俗．一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子任意取出2个，则取到白米粽的个数的数学期望为______．
15．已知甲、乙两人进行比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，当比赛进行到一方比另一方多2分或者打满6局时停止比赛，设甲在每局中获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，则6局后才停止比赛的概率为______．
16．函数，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．
17．若，其中．
（1）求实数的值；
（2）求．
18．已知是公差为的等差数列，其前项和是，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求数列的前项和．
19．在2023年春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐样和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销、直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系．
（1）现对某时间段100名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据：
选择甲公司直播间购物
选择乙公司直播间购物
合计
用户年龄段19—24岁
40
50
用户年龄段25—34岁
合计
30
将表格补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为选择哪家直播间购物与用户年龄有关？
（2）若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能地从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8，求小李第二天去乙直播间购物的概率．
参考公式：，其中．
临界值表：
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
20．“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心．据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，关注生态文明建设的约占80%．现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求的值；
（2）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；
（3）用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设工不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为．求随机变量的分布列及期望．
21．市场研究机构Counterpoint发布了最新全球电动汽车市场报告，2022年总计销量超1020万辆，比亚迪、特斯拉和大众集团位列排行榜前三．某电动汽车公司调研统计了之前5年（2018年到2022年）自己品牌电动汽车年销售量（单位：万辆），并制作了如下表格．
年份（年）
2018
2019
2020
2021
2022
年销售量（单位：万辆）
9
16.5
29
46.5
69
（1）请根据表格中统计的数据作出散点图；
（2）记年份代码为，2018年到2022年分别对应，请根据散点图判断，模型①；（2）；③，哪一个更适合作为年销售量关于年份代码的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）；
（3）根据（2）的判断结果，求出年销售量关于年份代码的回归方程，并预测今年（2023年）该公司电动汽车的年销售量．
参考数据：
34
55
979
660
2805
参考公式：最小二乘估计公式：，．
22．已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）是否存在正实数，使得不等式恒成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
高二年级5月数学试题参考答案
一、单选题
1-5ABBDA 6-8CCCB
二、多选题
9．CD 10．AC 11．BCD 12．AD
三、填空题
13．13 14． 15． 16．
四、解答题
17．【答案】
（1）在中，，
∵展开式的通项为，
∴，解得：．
（2）由题意及（1）得，在中，
令，得，
∴
18．【答案】
（1）由题意，解得
∴．
（2）由，
∴．
19．【答案】
（1）解：列联表如下：
选择甲公司
选择乙公司
合计
19—24岁
40
10
50
25—34岁
20
30
50
合计
60
40
100
所以，，
所以，有99.5%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关．
（2）解：记事件：小李第一天去甲直播间，事件：小李第二天去乙直播间，
则，，，
由全概率公式可得．
因此，小李第二天去乙直播间购物的概率为．
20．【答案】
（1）由小矩形面积和等于1可得：，解得．
（2）第1组总人数为，第2组总人数为
根据分层抽样可得：第1组抽取人，第2组抽取人
再从这5人中抽取3人，设至少1人的年龄在第1组中的事件为，
其概率为．
（3）由题意可知：，
则有：，，
，．
∴的分布列为：
0
1
2
3
可得的数学期望．
21．【答案】
（1）如图．
（2）根据散点图可知②更适合；
（3）令，则，，，，对于回归方程，可得：，，
∴回归方程为，即，令，得，
预测2023年该公司电动汽车的年销售量为96.5万辆．
22．【答案】
（1）解：当时，，
则．
令，则，则在上单调递增，
且，所以当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，没有极大值．
（2）解：令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，当时，，
由，可得，
令，其中，且，
假设存在正实数，使得不等式恒成立，则，即，
所以，，
，当时，，函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，所以，，所以，．
高二年级5月数学试题
（时间：120分钟，满分：150分）
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．7个人分4张无座音乐会门票，每人至多1张，票必须分完，那么不同的分法种类为（ ）
A．35 B．84 C．360 D．840
2．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．变量，具有线性相关关系，根据下表数据，利用最小二乘法可以得到其回归直线方程，则（ ）
2
4
5
6
8
20
40
60
70
80
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
4．已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
5．由数字0、1、2、3组成的无重复数字的4位数字中，比2020大的数的个数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
6．已知函数的图象在处的切线斜率为，则该切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．设随机变量服从正态分布，且函数没有零点的概率为，函数有两个零点的概率为，若，则（ ）
A．9 B．10 C．17 D．不能确定
8．2023年4月12日湖北省运会在宜昌奥体中心开幕，在观看湖北省运会的同时，也有很多游客慕名来宜昌旅游，甲乙两名游客准备分别从三峡大坝、三峡人家、三峡大瀑布和清江画廊四个5A景区中随机选择一个游玩，记事件：甲和乙至少一人选择三峡大坝景区，事件：甲和乙选择的景点不同，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．相关指数越接近1拟合效果越差
B．设有一个经验回归直线方程，变量增加1个单位时，减少5个单位
C．残差平方和越小，拟合效果越好
D．已知一系列样本点（）的经验回归直线方程，若样本点与的残差相等，则
10．已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列选项正确的是
0
2
A． B． C． D．
11．近期，某市疫情爆发，全国各地纷纷派出医护人员驰援该市．某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴该市的、、、四个区参加防疫工作，下列选项正确的是（ ）
A．若四个区都有人去，则共有20种不同的安排方法
B．若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法
C．若甲不去区，乙不去区，且每区均有人去，则共有14种不同的安排方法
D．若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服（每箱防护服均相同），且每区至少发放3箱，则共有81种不同的安排方法
12．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大项 D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，______．
14．端午节吃粽子是传统的习俗．一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子任意取出2个，则取到白米粽的个数的数学期望为______．
15．已知甲、乙两人进行比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，当比赛进行到一方比另一方多2分或者打满6局时停止比赛，设甲在每局中获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，则6局后才停止比赛的概率为______．
16．函数，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．
17．若，其中．
（1）求实数的值；
（2）求．
18．已知是公差为的等差数列，其前项和是，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求数列的前项和．
19．在2023年春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐样和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销、直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系．
（1）现对某时间段100名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据：
选择甲公司直播间购物
选择乙公司直播间购物
合计
用户年龄段19—24岁
40
50
用户年龄段25—34岁
合计
30
将表格补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为选择哪家直播间购物与用户年龄有关？
（2）若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能地从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8，求小李第二天去乙直播间购物的概率．
参考公式：，其中．
临界值表：
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
20．“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心．据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，关注生态文明建设的约占80%．现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求的值；
（2）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；
（3）用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设工不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为．求随机变量的分布列及期望．
21．市场研究机构Counterpoint发布了最新全球电动汽车市场报告，2022年总计销量超1020万辆，比亚迪、特斯拉和大众集团位列排行榜前三．某电动汽车公司调研统计了之前5年（2018年到2022年）自己品牌电动汽车年销售量（单位：万辆），并制作了如下表格．
年份（年）
2018
2019
2020
2021
2022
年销售量（单位：万辆）
9
16.5
29
46.5
69
（1）请根据表格中统计的数据作出散点图；
（2）记年份代码为，2018年到2022年分别对应，请根据散点图判断，模型①；（2）；③，哪一个更适合作为年销售量关于年份代码的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）；
（3）根据（2）的判断结果，求出年销售量关于年份代码的回归方程，并预测今年（2023年）该公司电动汽车的年销售量．
参考数据：
34
55
979
660
2805
参考公式：最小二乘估计公式：，．
22．已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）是否存在正实数，使得不等式恒成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
高二年级5月数学试题参考答案
一、单选题
1-5ABBDA 6-8CCCB
二、多选题
9．CD 10．AC 11．BCD 12．AD
三、填空题
13．13 14． 15． 16．
四、解答题
17．【答案】
（1）在中，，
∵展开式的通项为，
∴，解得：．
（2）由题意及（1）得，在中，
令，得，
∴
18．【答案】
（1）由题意，解得
∴．
（2）由，
∴．
19．【答案】
（1）解：列联表如下：
选择甲公司
选择乙公司
合计
19—24岁
40
10
50
25—34岁
20
30
50
合计
60
40
100
所以，，
所以，有99.5%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关．
（2）解：记事件：小李第一天去甲直播间，事件：小李第二天去乙直播间，
则，，，
由全概率公式可得．
因此，小李第二天去乙直播间购物的概率为．
20．【答案】
（1）由小矩形面积和等于1可得：，解得．
（2）第1组总人数为，第2组总人数为
根据分层抽样可得：第1组抽取人，第2组抽取人
再从这5人中抽取3人，设至少1人的年龄在第1组中的事件为，
其概率为．
（3）由题意可知：，
则有：，，
，．
∴的分布列为：
0
1
2
3
可得的数学期望．
21．【答案】
（1）如图．
（2）根据散点图可知②更适合；
（3）令，则，，，，对于回归方程，可得：，，
∴回归方程为，即，令，得，
预测2023年该公司电动汽车的年销售量为96.5万辆．
22．【答案】
（1）解：当时，，
则．
令，则，则在上单调递增，
且，所以当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，没有极大值．
（2）解：令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，当时，，
由，可得，
令，其中，且，
假设存在正实数，使得不等式恒成立，则，即，
所以，，
，当时，，函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，所以，，所以，．
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