初中数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程2.5 一元二次方程的应用优秀课件ppt

2.5.2 图形面积与几何动点问题

班级：___________姓名：___________得分：__________

（满分：100分，考试时间：40分钟）

一．选择题（共5小题，每题8分）

1．如图，一块长和宽分别为30cm和20cm的矩形铁皮，要在它的四角截去四个边长相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的侧面积为272cm2，则截去的正方形的边长是（　　）

A．4cm   B．8.5cm   C．4cm或8.5cm   D．5cm或7.5cm

2．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（　　）

A．2秒钟    B．3秒钟    C．4秒钟   D．5秒钟

3．如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当S=66时，则n的值为（　　）

A．10     B．11     C．12     D．13

4．为响应市委市政府提出的建设“绿色泰安”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）（　　）

A．1.2米    B．15米    C．2米    D．1米

5．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（　　）

A．   B．   C．   D．

二．填空题（共5小题，每题8分）

6．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为　   　m．

2．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为　   　米．

8．学校课外生物小组的试验园地是长20米，宽15米的长方形，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵等宽的小道（如图），要使种植面积为252平方米，则小道的宽是　   　米．

9．准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花埔内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，（如图所示）四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为　   　米．

10．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到　   　秒时，点P和点Q的距离是10cm．

三．解答题（共3小题，第11、12题各5分，第13题10分）

11．公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（阴影部分），原空地一边减少了3m，另一边减少了2m，剩余空地面积为56m2，求原正方形空地的边长．

12．如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，篱笆总长为24m，设平行于墙的BC边长为xm．

（1）若围成的花圃面积为40m2时，求BC的长；

（2）如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50m2，请你判断能否成功围成花圃，如果能，求BC的长？如果不能，请说明理由；

（3）如图3，若计划在花圃中间用n道篱笆隔成小矩形，且当这些小矩形为正方形时，请列出x、n满足的关系式　   　．

13．（1）如图1．△ABC中，∠C为直角，AC=6，BC=8，D，E两点分别从B，A开始同时出发，分别沿线段BC，AC向C点匀速运动，到C点后停止，他们的速度都为每秒1个单位，请问D点出发2秒后，△CDE的面积为多少？

（2）如图2，将（1）中的条件“∠C为直角”改为∠C为钝角，其他条件不变，请问是否仍然存在某一时刻，使得△CDE的面积为△ABC面积的一半？若存在，请求出这一时刻，若不存在，请说明理由．

试题解析

一．选择题

1．C

【分析】可设截去正方形的边长为xcm，对于该长方形铁皮，四个角各截去一个边长为x厘米的小正方形，长方体底面的长和宽分别是（30﹣2x）厘米和（20﹣2x）厘米，侧面积为2x[（30﹣2x）+（20﹣2x）]cm2，现在要求长方体的侧面积为272cm2，令二者相等求出x的值即可．

【解答】解：设截去正方形的边长为xcm，依题意有

2x[（30﹣2x）+（20﹣2x）]=272，

解得x1=4，x2=8.5．

答：截去正方形的边长是4cm或8.5cm．

故选：C．

【点评】此题考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找出等量关系：侧面积为272cm2，列出方程求解即可．

2．B

【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．

【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，

则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，

×（8﹣t）×2t=15，

解得t1=3，t2=5（当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去）．

∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．

故选：B．

【点评】此题考查借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．

3．B

【分析】由S=n（n+1）结合S=66，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解答】解：根据题意得：S=n（n+1）．

∵S=66，

∴n（n+1）=66，

解得：n1=11，n2=﹣12（舍去）．

故选：B．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

4．D

【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．

【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）=532．

整理，得x2﹣35x+34=0．

解得，x1=1，x2=34．

∵34＞20（不合题意，舍去），

∴x=1．

即：小道进出口的宽度应为1米．

故选：D．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程．

5．B

【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为（a+b），右图是一个长方形，长宽分别为（b+a+b）、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式（a+b）2=b（b+a+b），而a=1，代入即可得到关于b的方程，解方程即可求出b．

【解答】解：依题意得（a+b）2=b（b+a+b），

而a=1，

∴b2﹣b﹣1=0，

∴b=，而b不能为负，

∴b=．

故选：B．

【点评】此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．

二．填空题

6．7

【分析】本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．

【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有

（x﹣3）（x﹣2）=20，

解得：x1=7，x2=﹣2（不合题意，舍去）

即：原正方形的边长7m．

故答案是：7．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．

7．1

【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．

【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）=532，

整理，得x2﹣35x+34=0．

解得，x1=1，x2=34．

∵34＞30（不合题意，舍去），

∴x=1．

答：小道进出口的宽度应为1米．

故答案为：1．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为532m2找到正确的等量关系并列出方程．

8．1

【分析】设小道的宽为x米，则种植区域可看成长为（20﹣2x）米、宽为（15﹣x）米的长方形，根据长方形的面积公式结合种植面积为252平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【解答】解：设小道的宽为x米，

根据题意得：（20﹣2x）（15﹣x）=252，

整理得：x2﹣25x+24=0，

解得：x1=1，x2=24（不合题意，舍去）．

答：小道的宽为1米．

故答案为：1．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

9．

【分析】设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为4x米，根据小路的横向总长度（30﹣4x）米和纵向总长度（24﹣4x）米，结合矩形的面积公式得到：（30﹣4x+24﹣4x）x=80．通过解方程求得x的值即可．

【解答】解：设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为4x米，

依题意得：（30﹣4x+24﹣4x）x=80

整理得：4x2﹣27x+40=0

解得x1=（舍去），x2=

故答案是：．

【点评】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到该小路的总的长度，利用矩形的面积公式列出方程并解答．

10．2或．

【分析】设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16﹣2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16﹣2x）cm，

根据题意得：（16﹣2x﹣3x）2+82=102，

解得：x1=2，x2=．

答：当P、Q两点从出发开始到2秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．

故答案为：2或．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键．

三．解答题

11．【分析】设原正方形空地的边长为xm，根据长方形的面积=长×宽结合剩余空地面积为56m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中的正值即可得出结论．

【解答】解：设原正方形空地的边长为xm，

根据题意得：（x﹣3）（x﹣2）=56，

整理，得：x2﹣5x﹣50=0，

解得：x1=﹣5（不合题意，舍去），x2=10．

答：原正方形空地的边长为10m．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

12．【分析】（1）由于篱笆总长为24m，设平行于墙的BC边长为xm，由此得到AB=m，接着根据题意列出方程•x=40，解方程即可求出BC的长；

（2）不能围成花圃；根据（1）得到，此方程的判别式△=（﹣24）2﹣4×150＜0，由此得到方程无实数解，所以不能围成花圃；

（3）由于在花圃中间用n道篱笆隔成小矩形，且这些小矩形为正方形，那么AB=，然后根据正方形的性质即可求解．

【解答】解：（1）根据题意得，

AB=m，

则•x=40，

∴x1=20，x2=4，

因为20＞15，

所以x1=20舍去

答：BC的长为4米；

（2）不能围成花圃，

根据题意得，，

方程可化为x2﹣24x+150=0△=（﹣24）2﹣4×150＜0，

∴方程无实数解，

∴不能围成花圃；

（3）∵用n道篱笆隔成小矩形，且这些小矩形为正方形，

∴AB=，

而正方形的边长也为，

∴关系式为：．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．

13．【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求出答案．

（2）过B，D作AC边上的高DH，BG，设D，E运动时间为x秒，根据锐角三角函数可分别求出DH、BG，然后利用三角形面积公式即可求出答案．

【解答】解：（1）2秒后

（2）如图，过B，D作AC边上的高DH，BG

设D，E运动时间为x秒，

则（8﹣x）（6﹣x）sin∠BCG=××6×8sin∠BCG

解得x=2或x=12（不合），

所以D点出发2秒钟时△CDE的面积为△ABC面积的一半，

【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟练运用三角形的面积公式，本题属于中等题型．