初中数学湘教版九年级上册第1章 反比例函数1.1 反比例函数获奖教案

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同学们，从今天开始我们将走进反比例函数，而这节课我们将一起学习是什么是反比例函数。接下来，我们一起回顾下有关函数的知识：

函数是指：在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数， x是自变量。

一次函数：一般形式：  y=kx+b    （k、b为常数，k ≠0），y称作x的一次函数. 特别地，当b=0时，称y是x的   正比例  函数，即y=  kx （k为常数，k≠0）.那么我们一起再来回忆一下反比例关系？什么是反比例关系呢？反比例关系是指：两个变量的积是一个不为零的常数，则称这两个变量成反比例.

那么如果函数跟反比例关系结合起来，这会成什么函数关系呢？今天我们就一起来探索，当函数和反比例关系都满足时候，成了什么函数。

接下来，我们看几个探究案例：

    1.2016年里约奥运会上，“闪电”博尔特延续传奇，再度夺得百米金牌.那么他所用的时间t和速度v之间有着怎样的数量关系呢？

当路程s=100m时，时间t(s)与速度v(m/s)的关系是：

∵路程=速度×时间

∴vt =100或t=.    

可以发现：v和t的积为100，v和t成反比例。

   2.小明想要在家门前草原上围一个面积约为15平方米的矩形羊圈，那么羊圈的长y（单位：m）和宽x（单位：m）之间有着什么样的关系呢？

当面积 S=15m2 时，长y(m)与宽x(m)的关系是：

 ∵面积=长×宽

∴ xy =15或y=

可以发现：x和y的积为15，x和y成反比例。

   3.一群选手在进行全程为3000m的赛马比赛时，各选手的平均速度与所用时间之间有怎样的关系？

   （1）写出它们之间的关系式.

∵路程=速度×时间，∴速度=，即v=

可以发现：路程一定，速度和时间成反比例。

（2）利用（1）的关系式完成下表：

v 随着t的增大而变小，随着t 的减小而变大.

      观察t=， y=， v=

       都有两个变量；

       变量成函数关系；

       两变量之积≠0，成反比例.

学生跟着教师回忆知识，并思考本节课的知识。

学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。

回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。

导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。

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例题讲解

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例题讲解

通过刚刚的问题，我们可以得到反比例函数的概念：一般地，如果两个变量y与x关系可以表示成：y=（k为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数.

   x：自变量，且x≠0；

   y：因变量，也称x的反比例函数；

     k：反比例函数的反比例系数，且k≠0.

【做一做】一群选手在进行全程为3000m的赛马比赛时，各选手的平均速度与所用时间之间有怎样的关系？ 平均速度v是时间t 的函数吗？为什么？

   ∵速度=，∴v=，当路程s一定时，每当t取一个值时，v都有唯一的一个值与它对应，因此平均速度v是所用时间t的函数.

    据速度=，得v=，可以知道速度v是时间t的反比例函数，3000是比例系数．

接下来我们看几个例子。

【例1】列y关于x函数中，哪些是反比例函数？如果是，请写出反比例函数的比例系数k以及自变量x的取值范围.

①y=     x和y不为反比例关系                   

②xy=6    x和y积为6，为反比例关系

③ y=   x和y积为，为反比例关系  k=，x≠0.                                 

④y=   x和y不为反比例关系

⑤y=3x-1   x和y的积为3，为反比例关系；k=，x取全体实数.

我们可以发现对于反比例函数：

1.判断一个函数为反比例函数的条件：

①函数表达式形如y＝或y＝kx－1或xy＝k的等式.②比例系数k是常数，且k≠0.

2.反比例函数y＝的取值范围：

①比例系数：k≠0；

②自变量：x≠0.

【例2】如图，已知菱形ABCD的面积为180，设它的两条对角线AC ，BD的长分别为x，y. 写出变量y与x之间的函数表达式，并指出它是什么函数.

解：∵菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，

      ∴S菱形==180，

      ∴x y = 360，即y与x成反比例关系.

      ∴y＝.

      ∴当菱形的面积一定时,它的一条对角线长y是另一条对角线长x的反比例函数.

【例3】已知y 是关于 x 的反比例函数，当 x =0.3时，y = －6.  求 y 关于 x 的函数表达式和自变量 x 的取值范围.

解：∵ y 是关于 x 的反比例函数，

∴可设 y= ( k 为常数， k ≠0).

将 x =0.3，y = －6代入 y = ，得

解得 k =-1.8.

∴所求的函数表达式为 y = ；自变量 x 的取值范围为 x ≠0的全体实数.

从例子中，我们可以发现：对于求反比例函数表达式

1.方法：待定系数法

2.具体步骤：

（1）设：设反比例函数的表达式为y＝（k≠0）；

（2）列：把已知的x与y的一对对应值代入y＝，得到关于k的方程；

（3）解：解方程，求出k的值；

（4）代：将k的值代入所设表达式中，即得到所求反比例函数的表达式．

【做一做】已知：y 是关于 x 的反比例函数，当 x =-0.75时，y = 2.  求 y 关于 x 的函数表达式和自变量 x 的取值范围.

解：∵ y 是关于 x 的反比例函数，

∴可设 y= ( k 为常数， k ≠0).

将 x =-0.75，y = 2代入 y = ，得2=，解得k= .

∴所求的函数表达式为y= ；

自变量 x 的取值范围为 x ≠0的全体实数.

结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握成反比例函数的概念。

老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。

在做一做的时候，学生需要运用自己所学的知识去解决问题。

讲授知识，让学生知道本节课的学习内容和重点。

用例题讲解的方式将知识运用起来，便于学生的理解和记忆。

课堂练习+扩展提高

课堂练习+扩展提高

1. 下列函数是不是反比例函数?若是，请写出它的比例系数.

（1）y=3x-1 ;  （2）y=-；  （3）y=；（4）y=-.

答：（1）式是反比例函数，比例系数是3;

   （2）式不是反比例函数;

   （3）式是反比例函数，比例系数是;

   （4）式是反比例函数，比例系数是- .

 2.生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中，x和y成反比例函数关系的个数有（ B   ）

（1）x人共饮水10kg，平均每人饮水ykg；（2）底面半径为xm，高为ym的圆柱形水桶的体积为10m3；（3）用铁丝做一个圆，铁丝的长为xcm，做成圆的半径为ycm；（4）在水龙头前放满一桶水,出水的速度为x，放满一桶水的时间y.

  A.1个      B.2个    C.3个    D.4个

3.在下列问题中，用函数式表示变量间的关系：

 ⑴ 一个游泳池的容积为2000m3 ，注满游泳池所用的时间t(单位:h)随注水速度v(单位:m3 /h) 的变化而变化.

t=

⑵ 某长方体体积为1000cm3 ，长方体高h(单位:cm)随底面积s(单位:cm2) 变化而变化.

h=

   ⑶ 一个物体重100牛顿 ，物体对地面的压强p随物体与地面的接触面积s的变化而变化.

p=

 4.小明家离学校1000 m，每天他往返于两地之间，有时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速度为v(m/min)，所用的时间为t(min)．

 (1)求变量v和t之间的函数表达式；

 (2)星期二他步行上学用了25 min，星期三他骑自行车上学用了8 min，那么他星期三上学时的平均速度比星期二快多少呢？

解：(1) v=  (t>0)．

  (2)当t＝25时，v==40 ； 当t＝8时，v==125 ，

   125－40＝85(m/min)．

答：小明星期三上学时平均速度比星期二快85 m/min.

5.已知y=y1+y2，y1与x-1成正比例，y2与x成反比例，且当x=2时y=4；x=3时y=6.求x=4时，y的值.

解：∵ y1与x-1成正比例、y2与x成反比例

∴1=k1(x-1)、y2

∴y=k1(x-1)+

∵当x=2时y=4；x=3时y=6.

∴  ，解得k1=

∴y(x-1)+，当x=4时, y(4-1)+=

【扩展提高】当m为何值时，函数y=(m-1)x︱m︱-2是反比例函数，并求出解析式.

分析：由反比例函数的一般形式，自变量x的次数是-1，且k≠0，列关于m的方程，确定m的值.

解：由反比例函数的定义得

解得：m=-1.

∴反比例函数的解析式是：y=.

1.根据题意，填空：

（1）已知函数 y=xm-7 是正比例函数，则 m =  8_  ；

（2）已知函数y=3xm-7是反比例函数，则 m =  _6  ；

（3）当m=__时，函数y= 是反比例函数.

2.已知y＝(a−3)xa²−10是反比例函数，则a的值为多少？

解：∵y＝(a−3)xa²−10是反比例函数，

∴a2-10=-1，且a-3≠0，

解得，a=-3，即a的值为-3．

学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。

学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。

学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。

借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。

借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。

借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。

课堂小结

在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：反比例函数：形如y= (k为常数，k≠0)，称y是x的反比例函数.   

2.函数表达式形式：y＝、y＝kx－1、xy＝k.

3.求解析式方法：

①设：设表达式为y= ；

②列：列关于k的方程；

③解：解方程，求出k的值；

④代：将求出的k的值代入所设表达式中.

跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。

帮助学生加强记忆知识。

板书

反比例函数

1.定义：形如y= (k为常数，k≠0)，称y是x的反比例函数.   

2.函数表达式形式：y＝、y＝kx－1、xy＝k.

3.求解析式方法：

①设：设表达式为y= ；

②列：列关于k的方程；

③解：解方程，求出k的值；

④代：将求出的k的值代入所设表达式中.

借助板书，让学生知识本节课的重点。

作业

教材3页练习第1、2题.

教材4页习题1.1第2、3、6题.