初中数学湘教版九年级上册2.1 一元二次方程精品教案

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同学们，在上节课中，我们已将学习了用直接开方的方法解一元二次方程的方法，这节课开始我们将学习一直解一元二次方程的新的方法，在上新课之前，我们一起回顾下前面学习的有关一元二次方程的知识：

1.完全平方公式：(a±b)2=   a2±2ab+b2  .

2.把完全平方公式从右到左地使用，在下列各题中，填上适当的数，使等式成立.

     ①x2+6x+   32   =(x+   3   )2

     ②x2-6x+    32      =(x-    3     )2

     ③x2+6x+5=x2+6x+ -    32   +5

=(x+  3  )2-  4  .

在第③个问题中，加上“3²”(即一次项系数6的一半的平方)，再减去这个数，可以使未知数x在一个完全平方式里.

3.怎样解方程：x2+4x-12=0 ?

  思路：将原方程变成x2+4x=12，但是方程左边不是完全平方式，需要先将方程左边变成完全平方式，再运用直接开平方的方法求解.

如何化成(ax+b)2=c的形式？

将方程左边化成完全平方式：x2+4x+22-22=12

在这里，方程的左边加上“2²”(即一次项系数4的一半的平方)，再减去这个数.

∴化简得：x2+4x+22=12+22

我们也可以说，方程的两边加上“2²”(即同时加上一次项系数4的一半的平方).

 可以得到：(x+2)2=16

∴x+2=4 或  x+2=-4

∴x1=2，x2= -6

我们可以发现，通过过非常左边的变形，将其左边未知数在一个完全平方式里，我们就可以求解一元二次方程的解。那这样的方法叫做什么呢？

学生跟着教师回忆知识，并思考本节课的知识。

学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。

回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。

导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。

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例题讲解

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例题讲解

 一般地，像上面这样，在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方.

 配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法叫作配方法.

 配方法的具体定义：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，然后根据平方根的意义求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

配方是为了直接运用平方根的意义，从而把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.

我们看一个具体的例子，再来了解下解一元二次方程：

【例1】用配方法解下列方程：

 (1)   x2+10x+9=0

解：配方，得：x2+10x+52 -52+9=0

整理，得：(x+5)2=16

得：x+5=4  或  x+5=-4

解得：x1=-1，x2=-9

(2)   x2-12x-13=0

解：移项，得：x2-12x=13

配方，得：x2-12x+62=13+62

整理，得：(x-6)2=49

得：x-6=7  或    x-6=-7

解得：x1=13，x2=-1

我们一起看看解一元二次方程的具体方法：

用配方法解二次项系数是1的一元二次方程x²+bx+c=0（b≠0）的步骤：

1.移项:把未知项移到方程左边，常数项移到方程的右边;

2.配方:方程左边加上一次项系数一半的平方再减去这个数;（或者说方程两边都加上一次项系数一半的平方）

3.开方:根据平方根意义，方程两边开平方;

4.求解:解一元一次方程;

5.定解:写出原方程的解.

【问题探究】据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为90万辆，两年后加到160万辆，求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程．

根据前面所学，可得方程式：

9x2 + 18x - 7 ＝ 0

那么如何求解这个方程呢？

如果二次项系数为1，那就好办了！

 解方程：9x2 + 18x - 7 ＝ 0

 为了便于配方，我们可以根据等式的性质，在方程两边同时除以9，将二次项系数化为1，即：0

  配方，得      x2+2x+12-12 =0，

   因此             （x+1）2= .

 由此开方得    x+1=或 x+1= ，

 解得             x1=，x2= .

 x2=不合题意，因为年平均增长率不可能为负数，应当舍去. 而x1=符合题意，因此年平均增长率为33.3%.

当一元二次方程二次项系数不为1的时候，首先将二次项系数化为1，然后再配方求解.

用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，b≠0）的步骤：

1.化：把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)；

2.移项:把未知项移到方程左边，常数项移到方程的右边;

3.配方:方程左边加上一次项系数一半的平方再减去这个数;（或者说方程两边都加上一次项系数一半的平方）

4.开方:根据平方根意义，方程两边开平方;

5.求解:解一元一次方程;

6.定解:写出原方程的解.

【例2】用配方法解方程：4x2-12x-1=0.                        

当一元二次方程二次项系数不为1的时候，首先将二次项系数化为1，然后再配方求解.

解： 将二次项系数化为1，得  x2-3x-=0.

   配方，得       x2-3x+（）²-（）²- =0，

   因此           （x-）2= .

   由此得        x-=  或 x-=-，

   解得          x1=，x2= .

【议一议】 解方程：-2x2+4x-8=0.                        

将上述方程的二次项系数化为1，得x2-2x+4=0.将其配方，得x2-2x+12-12+4=0，即（x-1）2=-3.

因为在实数范围内，任何实数的平方都是非负.因此，（x-1）2=-3不成立，即原方程无实数根.

 【总结】用配方法解一元二次方程时候，将方程化为（x-h）2=m的形式，当m<0时，原方程无实数根.

我们一起总结下用配方法求一元二次方程的解注意点：

用配方法解一元二次方程的步骤可概括为：

1.“化”，即若二次项系数不为1，则在方程两边同时除以二次项系数，将方程的二次项系数化为1；

2.“配”，即在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使含有未知数的项在一个完全平方式里；

3.“解”，即利用直接开平方法求得一元二次方程的解．

结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握用用配方法求一元二次方程的方法。

老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。

老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。

结合老师的讲解，利用练习和探究用配方法求一元二次方程的方法。

讲授知识，让学生掌掌握用用配方法求一元二次方程的方法。

让学生知道本节课的学习内容和重点。

用例题讲解的方式将知识运用起来，便于学生的理解和记忆。

课堂练习

课堂练习

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扩展提升

1.在下列各题中，填上适当的数，使等式成立.

(1). x2+8x+    42   =(x+   4    )2

(2). x2-6x+    32 =(x-  3    )2

(3). x2+x+1=x2+x+   ()2   -  ()2    +1

=(x+     )2+       .

2.将下列二次多项式配方：

(1).  x2+2x-5      (2).  x2-4x+1

配方结果：(x+1)2-6    配方结果：(x-2)2+5

3.用配方法解下列方程：

（1）x2-6x+8=0

解：移项：x2-6x= -8

配方：x2-6x+32-32= -8

即：x2-6x+32=32 -8

整理，得(x-3)2=1

得：x-3=1 或 x-3= -1

即：x1=4，x2= 2

 (2) -x2＋4x-3=0

解：原方程变形，得：x2-4x+3=0

配方，得：x2-4x+22 -22+3=0

整理，得：(x-2)2=1

得：x-2=1  或  x-2= -1

解得：x1=3，x2=1

（3）3x2 + 8x -3 = 0.

解：两边同除以3，得  x2 + x - 1=0.

        配方，得   x2 +  x + () 2 - ()2 - 1 = 0，

        即 （x +）2 -=0.

        移项，得       x +=±  ，

        即   x + = 或  x + =- .

        所以     x1= ，  x2 =  -3 .

 5.一个小球从地面上以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系：h=15t - 5t2.小球何时能达到10m高？

解：将 h = 10代入方程式中，得         15t - 5t2 = 10.

    两边同时除以-5，得      t2 - 3t = -2，

    配方，得t2 - 3t  + ()2=- 2+ ()2 ，即（t -）2 =，

    开方，得（t - ）2 =±，

即    t -= ，或  t -  =-  .

   ∴t1=  2 ，  t2 =  1 .

即在1s或2s时，小球可达10m高.

学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。

学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。

借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。

借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。

课堂小结

在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：

跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。

帮助学生加强记忆知识。

板书

用配方法解一元二次方程

借助板书，让学生知识本节课的重点。

作业

教材第33页练习第1、2题.

教材第36页练习.