初中数学湘教版九年级上册4.3 解直角三角形一等奖教案

回顾知识

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导入新课

在上节课中，我们已经学习了有关正弦、余弦以及正切的定义，以及特殊角度的正弦、余弦、正切的值。而我们这节课要进一步探究直角三角形的三角函数。在上新课之前，我们一起回忆下前面学习的知识。

在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题.

对于这类问题，我们一般利用前面已学的锐角三角函数的有关知识来解决.

 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c .

（1）直角三角形的三边之间有什么关系？

a2+b2=c2(勾股定理)

（2）直角三角形的锐角之间有什么关系？ ∠A+∠B=90°.

（3）直角三角形的边和锐角之间有什么关系？

sin A=  cos A= tan A=

【议一议】 在一个直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？

如果知道的2个元素都是角，不能求解.因为此时的直角三角形有无数多个.

如果已知2个元素，且至少有一个边是边就可以了.

学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。

导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。

讲授新课

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例题讲解

从刚刚导入新课的探究中，我们可以得解直角三角形定义：

   在直角三角形中，除直角外的5个元素(即3条边和2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，根据三角函数，就可以求出其余的3个未知元素。

根据三角函数，借助已知的元素信息，可以求出三角形所需的元素。而在直角三角形中，我们把直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.

解直角三角形的依据：

(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；

(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；

(3)边角之间的关系:sin A＝cos A=

  (4)面积公式：S△ABC=

接下来，我们看一些具体的例子：

【例1】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，a=5，求∠B，b，c.

解：∵∠B=90°-∠A=60° ,∠A=30°.且tan B=.

∴b=a·tan B=5·tan60°=5

∵sin A=

∴= 10.

  【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cos A = ，BC = 5， 试求AB的长.

解：∵ ∠C=90° ，cos A = ，∴

设AB=x，则AC=

又AB²=AC²+BC²，则x²=（x）²+5²

∴x1=,x2=（舍去）

∴AB的长为.

 【例3】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tan A＝，求sin B＋cos B的值．

解：在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，

∴tan A＝＝＝32，∴AD＝4，

∴BD＝AB－AD＝12－4＝8.

在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，BD＝8，CD＝6，

∴BC＝＝10，

∴sin B＝＝35，cos B＝＝，

∴sin B＋cos B＝+＝.

小结：说说解直角三角形时，有哪些注意点？

 1.做标注：在遇到解直角三形的问题时，先画一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，以得于分析解决问题.

2.找关系式：选取关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积错误”.

3.遵循规则：遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”.

结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握解直角三角形的定义和方法。

老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。

讲授知识，让学生掌掌握直角三角形的定义和方法

让学生知道本节课的学习内容和重点。

课堂练习

  1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.

 (1)直角三角形的三边之间的关系为a2+b2=c2(勾股定理)_；

  (2)直角三角形的两个锐角之间的关系为_∠A+∠B=90°；

 (3)直角三角形的边和锐角之间的关系为sin A＝____，

  cos A＝____，tan A＝____，tan B＝____．

 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，则∠A的度数为(  D     )

 A．90°    B．60°   C．45°   D．30°

 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos A的值是(    A )

 A.   B.  C.     D.

      4．在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC等于(   D    )

A．3sin 40°      B．3sin 50°

C．3tan 40°      D．3tan 50°

      5．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为___4__．

6．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°.

(1)若c＝10，求a，b的值；

解：∵sinA=

∴

(2)若a＝4，求b及∠B的值．

解：∵tanA=∴=

∴b=，∠B=90°-60°=30°.

 7.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形。若AB=2，求△ABC的周长.（结果保留根号）

解：在等边△ABD中，∠B=60°

  ∵∠BAC=90°

∴∠C=30°，sinC= ，

∴BC=4.

∵cosC=     ∴AC=BC·cosC=2· 

∴△ABC的周长是6+2· .

学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。

学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。

借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。

借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。

课堂小结

在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：

 根据三角函数，借助已知的元素信息，可以求出三角形所需的元素。而在直角三角形中，我们把直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.

解直角三角形的依据：

(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；

(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；

(3)边角之间的关系:sin A＝cos A=

(4)面积公式：S△ABC=

跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。

帮助学生加强记忆知识。

板书

解直角三角形

在直角三角形中，我们把直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.

解直角三角形的依据：

(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；

(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；

(3)边角之间的关系:sin A＝cos A=

(4)面积公式：S△ABC=

借助板书，让学生知识本节课的重点。

作业

教材第123页练习第1、2、3题.