初中数学湘教版九年级上册4.3 解直角三角形精品教学设计

回顾知识

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导入新课

在上节课中，我们已经学习了有关正弦、余弦以及正切的定义，以及特殊角度的正弦、余弦、正切的值。而我们这节课要进一步探究直角三角形的三角函数，根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题。在上新课之前，我们一起回忆下前面学习的知识。

在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题.

对于这类问题，我们一般利用前面已学的锐角三角函数的有关知识来解决.

 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c .

（1）直角三角形的三边之间有什么关系？

a2+b2=c2(勾股定理)

（2）直角三角形的锐角之间有什么关系？ ∠A+∠B=90°.

（3）直角三角形的边和锐角之间有什么关系？

sin A=  cos A= tan A=

【导入知识】某探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3 500 m 的山峰顶点B处的水平距离. 他能想出一个可行的办法吗？

如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A 的海拔，AC⊥BD，垂足为点C. 先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可求出A，B两点之间的水平距离AC．

学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。

导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。

讲授新课

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例题讲解

从刚刚导入新课的探究中，我们了解到：

在进行测量时，

从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；

从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.

【做一做】如图，如果测得点A的海拔AE为1600m，仰角∠BAC=40°，求A、B两点之间的水平距离AC.（结果保留整数）.

解：∵ BD = 3500 m， AE = 1600 m，

      AC⊥BD， ∠BAC = 40°，

∵在Rt△ABC中，tan∠BAC=40°

∴即AC≈2264（m）

 因此，Ａ，B两点之间的水平距离AC约为2264 m.

接下来，我们看一些具体的例子：

【例1】如图，在离上海东方明珠塔底部1000 m 的A 处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC 为25°，仪器距地面高AE为1.7 m． 求上海东方明珠塔的高度BD（结果精确到1 m）.

分析：在直角三角形中，已知一角和它的邻边，求对边利用该角的正切即可.

解：如图， 在Rt△ABC 中，

∠BAC ＝25°， AC ＝ 1000 m， 因此

tan25°=从而BC≈1000 × tan 25°≈466.3（m）．

因此，上海东方明珠塔的高度:BD ＝ 466.3 ＋ 1.7 ＝ 468（m）．

答： 上海东方明珠塔的高度BD为468 m.

 【例2】如图，某飞机于空中A处探测到地平面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，若测得飞机到目标B的距离AB约为2400米，已知sinα=0.52，求飞机飞行的高度AC约为多少米？

解：由题意得：∠B=∠α，∠C=90°．

∴sin B=sin α≈0.52．

∵sin B=，

∴AC=AB•sin B=2400×0.52=1248（米）．

答：飞机飞行的高度约为1248米．

小结：用解直角三角形知识解决此类问题的一般步骤：

（1）通过读题把已知转化为数学图形；

（2）找出直角三角形和已知、未知元素；

（3）选择合适的锐角三角函数求未知数；

（4）解题.

结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握解直角三角形有关仰角、俯角的方法。

老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。

讲授知识，让学生掌掌握解直角三角形有关仰角、俯角的方法。

让学生知道本节课的学习内容和重点。

课堂练习

课堂练习

  1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.

 (1)直角三角形的三边之间的关系为a2+b2=c2(勾股定理)_；

  (2)直角三角形的两个锐角之间的关系为_∠A+∠B=90°；

 (3)直角三角形的边和锐角之间的关系为sin A＝____，

  cos A＝____，tan A＝____，tan B＝____．

 2.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为(    A                 )

A．100 m   B．50 m

C．50 m   D.100 m

 3．如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE＝33°，AB＝a，BD＝b，则下列表示旗杆CD的长的式子是(  C   )

   A．CD＝bsin 33°＋a   

B．CD＝bcos 33°＋a

   C．CD＝btan 33°＋a 

D．CD＝b

 4.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆高度（精确到0.1m）

解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，BC=DC=40m，

在Rt△ACD中，tan∠ADC=

∴AC= tan∠ADC·DC= tan54°×40≈1.38×40=55.2

∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2 (m)

答：棋杆的高度为15.2m.

 5.某中学初三年级学生开展测量物体高度实践活动，要测量一幢建筑物AB高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点A的仰角为60°，则建筑物AB的高度是多少m？（结果用根式表示）

解：设DB=xm，则

在Rt△ADB中，AB=xtan60°=xm，

在Rt△ACB中，=tan30°，即=，

整理得，3x=x+10，解得，x=5，则AB=5m．

故，建筑物AB的高度是5m．

 6.某日，一架直升飞机前往救援一艘刚在南海巡航的渔政船．当飞机到达距离海面3 000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？(结果保留根号)

解：在Rt△CDA中，∵∠ACD＝30°，CD＝3 000米，

∴AD＝CDtan∠ACD＝1000(米)，

在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，

∴BD＝CDtan∠BCD＝3000(米)，

∴AB＝BD－AD＝2000(米)．故此时渔政船和渔船相距2000米.

学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。

学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。

借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。

借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。

课堂小结

在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：

从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；

从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.

跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。

帮助学生加强记忆知识。

板书

解直角三角形——仰角、俯角

从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；

从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.

借助板书，让学生知识本节课的重点。

作业

教材第126页练习第1、2题.