初中数学湘教版九年级上册第1章 反比例函数1.1 反比例函数精品课后复习题

1.2.3 反比例函数图象与性质的综合应用

班级：___________姓名：___________得分：__________

（满分：100分，考试时间：40分钟）

一．选择题（共5小题，每题8分）

1．已知正比例函数y=kx的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标是（1，3），则另一个交点的坐标是（　　）

A．（﹣1，﹣3）     B．（﹣3，﹣1） 

C．（﹣1，﹣2）     D．（﹣2，﹣3）

2．如图，点A是y轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数y=（x＞0）图象上的一个动点，当点B的纵坐标逐渐减小时，△OAB的面积将（　　）

A．逐渐增大   B．逐渐减小  C．不变  D．先增大后减小

3．已知y与x﹣1成反比，并且当x=3时，y=4，则y与x之间的函数关系是（　　）

A．y=12（x﹣1）   B．   C．y=12x   D．

4．反比例函数y=与一次函数y=k（x﹣1）只可能是（　　）

A．       B． 

C．       D．

5．函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=AP．其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①②③    B．②③④   C．①③④   D．①②④

二．填空题（共4小题，每题5分）

6．在函数y=中，自变量x的取值范围是　   　．

7．在函数y=，y=x+5，y=﹣5x的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象有　   　个．

8．y与x+1成反比例，当x=2时，y=﹣1，则写出y关于x的函数解析式　   　，并写出自变量x的取值范围　   　．

9．如图，正比例函数y1=x的图象与反比例函数y2=（k≠0）的图象相交于A、B两点，点A的纵坐标为2．当y1＞y2时，自变量x的取值范围是　   　

10．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为　   　．

三．解答题（共3小题，第10、12题各15分，第11题10分）

11．如图，一次函数y=mx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（3，1），B（﹣，n）两点．

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）求n的值及该一次函数的解析式．

12．如图，点A为函数图象上一点，连结OA，交函数的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，求△ABC的面积．

13．如图，在平面直角坐标系xOy中的第一象限内，反比例函数图象过点A（2，1）和另一动点B（x，y）．

（1）求此函数表达式；

（2）如果y＞1，写出x的取值范围；

（3）直线AB与坐标轴交于点P，如果PB=AB，直接写出点P的坐标．

试题解析

一．选择题

1．A

【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

【解答】解：根据中心对称的性质可知另一个交点的坐标是（﹣1，﹣3）．

故选：A．

【点评】本题考查反比例函数图象的中心对称性，较为简单，容易掌握．

2．A

【分析】设B（x，y），则x＞0，y＞0，△OAB的面积=×OA×x，由于OA的长度不变，则△OAB的面积随着x的增大而增大．根据反比例函数的增减性可知，函数y=当x＞0时，y随x的增大而减小，故当点B的纵坐标y逐渐减小时，点B的横坐标x逐渐增大，进而得出结果．

【解答】解：根据反比例函数的增减性可知，

反比例函数y=（x＞0）图象y随x的增大而减小，

所以OA不变，△OAB的高随着点B的纵坐标逐渐减小而增大，

所以△OAB的面积将逐渐增大．

故选：A．

【点评】本题主要考查了反比例函数的增减性：（1）当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）当k＜0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大．

3．D

【分析】根据y与x﹣1成反比可以列出有关两个变量的解析式，代入已知的x、y的值即可求解函数关系式．

【解答】解：∵∴y与x﹣1成反比，

设反比例函数的解析式y=，把x=3时，y=4，代入解析式，解得k=8，

则反比例函数的解析式是y=，

故选：D．

【点评】本题考查了待定系数法确定反比例函数的解析式，反比例函数中只有一个待定系数，因此只需知道经过的一个点的坐标或一对x、y的值．

4．D

【分析】根据一次函数判断出k的取值，进而判断出反比例函数所在象限即可．

【解答】解：A、由一次函数y=k（x﹣1）=kx﹣k经过一二三象限可得k＞0，﹣k＞0，故A选项错误；

B、由一次函数y=k（x﹣1）=kx﹣k经过一二三象限可得k＞0，﹣k＞0，故B选项错误；

C、由一次函数y=k（x﹣1）=kx﹣k经过一二四象限可得k＜0，﹣k＞0，∴﹣k+1＞0，∴k﹣1＜0，∴反比例函数应在二四象，故C选项错误；

D、由一次函数y=k（x﹣1）=kx﹣k经过一二四象限可得k＜0，﹣k＞0，∴﹣k+1＞0，∴k﹣1＜0，∴反比例函数应在二四象，故D选项正确；

故选：D．

【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．

5．C

【分析】由于A、B是反比函数y=上的点，可得出S△OBD=S△OAC=，故①正确；当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形PAOB的面积为定值，故③正确；连接PO，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．

【解答】解：∵A、B是反比函数y=上的点，

∴S△OBD=S△OAC=，故①正确；

当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；

∵P是y=的图象上一动点，

∴S矩形PDOC=4，

∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3，故③正确；

连接OP，

===4，

∴AC=PC，PA=PC，

∴=3，

∴AC=AP；故④正确；

综上所述，正确的结论有①③④．

故选：C．

【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．

二．填空题

6．x≠且x≠4

【分析】根据反比例函数的定义和分式有意义的条件得出不等式，求出不等式的解集即可．

【解答】解：函数y=中3﹣4x≠0且x﹣4≠0，

解得：x≠且x≠4，

故答案为：x≠且x≠4．

【点评】本题考查了反比例函数的性质和定义和分式有意义的条件，能根据题意得出不等式是解此题的关键．

7．【分析】找到所给函数中的正比例函数和反比例函数的个数即可．

【解答】解：中心对称图形，且对称中心是原点的图象有y=，y=﹣5x共2个．

【点评】用到的知识点为：图象是中心对称图形，且对称中心是原点函数有正比例函数和反比例函数．

　8．y=﹣；x≠﹣1

【分析】由y与x+1成反比例，设出解析式，将x=2，y=﹣1代入求出k的值，确定出函数解析式，写出自变量范围即可．

【解答】解：设y=），

将x=2，y=﹣1代入得：﹣1=），即k=﹣3，

则y关于x的函数关系式为y=﹣；

由x+1≠0，得到x≠﹣1，

则自变量的范围为x≠﹣1．

故答案为：y=﹣；x≠﹣1．

【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

9．﹣2＜x＜0或x＞2

【分析】由点A的纵坐标为2结合正比例函数图象上点的坐标特征可得出点A的坐标，利用正反比例函数的对称性可得出点B的坐标，观察函数图象，找出正比例函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围，此题得解．

【解答】解：∵点A在正比例函数y1=x的图象上，且点A的纵坐标为2，

∴点A的坐标为（2，2）．

∵正、反比例函数图象关于原点中心对称，

∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用一次函数图象上点的坐标特征结合正方比例的对称性找出点A、B的坐标是解题的关键．

10．9

【分析】要求△AOC的面积，已知OB为高，只要求AC长，即点C的坐标即可，由点D为三角形OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（﹣6，4），可得点D的坐标为（﹣3，2），代入双曲线可得k，又AB⊥OB，所以C点的横坐标为﹣6，代入解析式可得纵坐标，继而可求得面积．

【解答】解：∵点D为△OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（﹣6，4），

∴点D的坐标为（﹣3，2），

把（﹣3，2）代入双曲线，

可得k=﹣6，

即双曲线解析式为y=﹣，

∵AB⊥OB，且点A的坐标（﹣6，4），

∴C点的横坐标为﹣6，代入解析式y=﹣，

y=1，

即点C坐标为（﹣6，1），

∴AC=3，

又∵OB=6，

∴S△AOC=×AC×OB=9．

故答案为：9．

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义及其函数图象上点的坐标特征，体现了数形结合的思想．

三．解答题

11．【分析】（1）根据反比例函数y=的图象经过A（3，1），即可得到反比例函数的解析式为y=；

（2）把B（﹣，n）代入反比例函数解析式，可得n=﹣6，把A（3，1），B（﹣，﹣6）代入一次函数y=mx+b，可得一次函数的解析式为y=2x﹣5．

【解答】解：（1）∵反比例函数y=的图象经过A（3，1），

∴k=3×1=3，

∴反比例函数的解析式为y=；

（2）把B（﹣，n）代入反比例函数解析式，可得

﹣n=3，

解得n=﹣6，

∴B（﹣，﹣6），

把A（3，1），B（﹣，﹣6）代入一次函数y=mx+b，可得

，

解得，

∴一次函数的解析式为y=2x﹣5．

【点评】本题考查了利用图象解决一次函数和反比例函数的问题．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．

12．【分析】根据题意可以分别设出点A、点B的坐标，根据点O、A、B在同一条直线上可以得到A、B的坐标之间的关系，由AO=AC可知点C的横坐标是点A的横坐标的2倍，从而可以得到△ABC的面积．

【解答】解：设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），

∵点C是x轴上一点，且AO=AC，

∴点C的坐标是（2a，0），

设过点O（0，0），A（a，）的直线的解析式为：y=kx，

∴=ak，

解得，k=，

又∵点B（b，）在y=x上，

∴=•b，解得，=3或=﹣3（舍去），

∴S△ABC=S△AOC﹣S△OBC=﹣=18﹣6=12．

【点评】本题考查反比例函数的图象、三角形的面积、等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

13．【分析】（1）由点A的坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数表达式；

（2）由反比例函数图象上点的坐标可得出x=，结合点B在第一象限以及y＞1，即可求出x的取值范围；

（3）分点B在点A的左侧和右侧考虑，构造图形，利于三角形的中位线即可求出点P的坐标．

【解答】解：（1）设反比例函数表达式为y=（k≠0），

∵此函数过A（2，1），

∴1=，解得：k=2，

∴此函数表达式y=．

（2）∵点B在反比例函数y=的第一象限的图象上，

∴x=，且x＞0，

∵y＞1，

∴0＜x＜2．

（3）当点B在点A左边时，分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，如图1所示．

∵AC∥BD，PB=AB，

∴BD为△PAC的中位线，

∴点B的坐标为（1，2），

∴PC=2CD=2，

∴OP=OC+PC=3，

∴点P（0，3）；

当点B在点A的右边时，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥AE于点F，则BF为△AEP的中位线，如图2所示．

∴点B（4，），

∴PE=2BP=4，

∴OP=OE+PE=6，

∴点P（6，0）．

综上所述：点P的坐标为（0，3）或（6，0）．

【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的中位线，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利于待定系数法求出反比例函数表达式；（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征找出x=；（3）构造三角形，利于三角形的中位线求出点P的坐标．