湘教版九年级上册3.4 相似三角形的判定与性质优秀测试题

3.4.1.2 相似三角形判定定理1

班级：___________姓名：___________得分：__________

（满分：100分，考试时间：40分钟）

一．选择题（共4小题，每题7.5分）

1．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（　　）

A．都含有一个40°的内角     B．都含有一个50°的内角

C．都含有一个60°的内角     D．都含有一个70°的内角

2．如图，已知∠1=∠2，欲证△ADE∽△ACB，可补充条件（　　）

A．∠B=∠C   B．DE=AB   C．∠D=∠E   D．∠D=∠C

3．如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A．      B．  

C．      D．

4．（易错题）已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有（　　）

A．1对    B．2对    C．3对    D．4对

二．填空题（共5小题，每题6分）

5．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，欲使△ADE∽△ACB，则需添加的一个条件是　   　．（只写一种情况即可）

6．如图标记了△ABC与△DEF边、角的一些数据，如果再添加一个条件使△ABC∽△DEF，那么这个条件可以是　   　．（只填一个即可）

7．如图，要使△ABC与△DAC相似，则只需添加一个条件是　   　（填一个即可）

8．如图，（1）若AE：AB=　   　，则△ABC∽△AEF；（2）若∠E=　   　，则△ABC∽△AEF．

9．如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：　   　，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）

三．解答题（共3小题，第10、11题各12分，第12题16分）

10．如图，AB∥DE，AC∥DF，点B、E、C、F在一条直线上，求证：△ABC∽△DEF．

11．如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB相交于点D，E，连接BD，求证：△ABC∽△BDC．

12．如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．

（1）求证：△DAE≌△DCF；

（2）求证：△ABG∽△CFG．

试题解析

一．选择题

1．C

【分析】若要判定两三角形相似，最主要的方法是找两对对应相等的角，答案A，答案B，答案D都只能找到一对相等的角，只有答案C可以找两对对应相等的角．

【解答】解：因为A，B，D给出的角40°，50°，70°可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A，B，D错误；

C、有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确．

故选：C．

【点评】本题考查相似三角形的最常用的方法判断方法：“AA”即找两对对应相等的角．

2．D

【分析】由∠1=∠2可得∠DAE=∠BAC．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得△ADE∽△ACB．

【解答】解：∵∠1=∠2，

∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC．

当∠D=∠C或∠E=∠B或时，△ADE∽△ACB．

故选：D．

【点评】此题考查了相似三角形的判定，属基础题，比较简单．但需注意对应关系．

3．D

【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．

【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．

D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；

故选：D．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形判定定理是解答此题的关键．

4．D

【分析】根据已知先判定线段DE∥BC，再根据相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．

【解答】解：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC

∴DE∥BC

∴△ADE∽△ABC，

∵DE∥BC

∴∠EDC=∠DCB，

∵∠ACD=∠ABC，

∴△EDC∽△DCB，

同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，

∴△ABC∽△ACD，

∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，

∴△ADE∽△ACD

∴共4对

故选：D．

【点评】考查了平行线的判定；

相似三角形的判定：

（1）两角对应相等的两个三角形相似；

（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；

（3）三边对应成比例的两个三角形相似；

（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

二．填空题

5．∠ADE=∠C或∠AED=∠B或

【分析】要使两三角形相似，已知一组角相等，则再添加一组角或公共角的两边对应成比例即可．

【解答】解：∵∠A=∠A

∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或时，△ADE∽△ABC，

故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或．

【点评】此题考查了相似三角形的判定的理解及运用，熟练应用相似三角形的判定是解题关键．

6．DF=6

【分析】根据相似三角形的判定定理：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似，添加条件可得．

【解答】解：∵∠A=∠D=80°，==，

∴当=，即=，DF=6时，△ABC∽△DEF；

或当∠C=∠F=60°时，△ABC∽△DEF，

故答案为：DF=6．

【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．

7．∠B=∠DAC（∠BAC=∠ADC或=或AC2=BC•DC）

【分析】由∠ACB=∠DCA结合相似三角形判定定理，即可找出添加的条件，此题得解．

【解答】解：∵∠ACB=∠DCA，

∴若要△ABC∽△DAC，只需∠B=∠DAC（∠BAC=∠ADC或=或AC2=BC•DC）．

故答案为：∠B=∠DAC（∠BAC=∠ADC或=或AC2=BC•DC）．

【点评】本题考查了相似三角形的判定，牢记各相似三角形的判定定理是解题的关键．

8．AF：AC，∠B

【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．

【解答】解：（1）若AE：AB=AF：AC，则△ABC∽△AEF；

（2）若∠E=∠B，则△ABC∽△AEF．

故答案为：AF：AC，∠B．

【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．

9．DF∥AC，或∠BFD=∠A

【分析】结论：DF∥AC，或∠BFD=∠A．根据相似三角形的判定方法一证明即可．

【解答】解：DF∥AC，或∠BFD=∠A．

理由：∵∠A=∠A，==，

∴△ADE∽△ACB，

∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，

∴△BDF∽△EAD．

②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，

∴△FBD∽△AED．

故答案为DF∥AC，或∠BFD=∠A．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质．平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

三．解答题

11．【分析】由线段垂直平分线的性质，得DA=DB，则∠ABD=∠BAC=40°，从而求得∠CBD=40°，即可证出△ABC∽△BDC．

【解答】证明：

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AD=BD．

∵∠BAC=40°，

∴∠ABD=40°，

∵∠ABC=80°，

∴∠DBC=40°，

∴∠DBC=∠BAC，

∵∠C=∠C，

∴△ABC∽△BDC．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，题目难度不大．

12．【分析】（1）由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；

（2）由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG=∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．

【解答】证明：（1）∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，

∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，

∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，

∴∠ADE=∠CDF，

在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF；

（2）延长BA到M，交ED于点M，

∵△ADE≌△CDF，

∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，

∵∠MAD=∠BCD=90°，

∴∠EAM=∠BCF，

∵∠EAM=∠BAG，

∴∠BAG=∠BCF，

∵∠AGB=∠CGF，

∴△ABG∽△CFG．

【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是准确寻找全等三角形或相似三角形的条件，属于中考常考题型。